16/02/11 21:33:50.56 hVpjOeGV.net
本戦問４の解説
問題:関数f:R→Rと任意の実数x,yに対し
f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x
となるfをすべて求めよ。
x,yに0を代入してf(0)=(f(0))^2
よりf(0)=0or1
f(0)=0のときy=0を代入するとf(-x)=2xとなるので
f(x)=-2x
f(0)=1のとき
y=0を代入すると
よって
f(yf(x)+x)=f(x)(f(y)+2y)+2x-2(yf(x)+x)=f(x)f(y)
これと元の式より
f(yf(x)+x)-f(yf(x)-x)=-2x
f(-x)=f(x)+2x ・・・☆
yに-yを代入すると
f(-yf(x)-x)=f(x)f(-y)+2x
=f(x)(f(y)+2y)+2x
ここで☆よりk>0に対しf(k)またはf(-k)の一方は０ではない。
そこで(x,y)=(k,k/f(x)),(-k,-k/f(-k))の一方を代入して、整理することで
f(2k)-f(0)=-2kかf(-2k)-f(0)=2kが言える。
よってx=2k,-2kの一方でf(x)=1-xがいえるので、もう一方も☆より言える。
f(0)=1とkを動かしていくことにより、全ての実数xについてf(x)=1-xが言える。
以上より答えはf(x)=-2xとf(x)=1-x。
1011:１３２人目の素数さん
16/02/11 21:36:44.26 hVpjOeGV.net
すまん順番が逆
本戦問４の解説
問題:関数f:R→Rと任意の実数x,yに対し
f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x
となるfをすべて求めよ。
x,yに0を代入してf(0)=(f(0))^2
よりf(0)=0or1
f(0)=0のときy=0を代入するとf(-x)=2xとなるので
f(x)=-2x
f(0)=1のとき
y=0を代入すると
f(-x)=f(x)+2x ・・・☆
yに-yを代入すると
f(-yf(x)-x)=f(x)f(-y)+2x
=f(x)(f(y)+2y)+2x
よって
f(yf(x)+x)=f(x)(f(y)+2y)+2x-2(yf(x)+x)=f(x)f(y)
これと元の式より
f(yf(x)+x)-f(yf(x)-x)=-2x
ここで☆よりk>0に対しf(k)またはf(-k)の一方は０ではない。
そこで(x,y)=(k,k/f(x)),(-k,-k/f(-k))の一方を代入して、整理することで
f(2k)-f(0)=-2kかf(-2k)-f(0)=2kが言える。
よってx=2k,-2kの一方でf(x)=1-xがいえるので、もう一方も☆より言える。
f(0)=1とkを動かしていくことにより、全ての実数xについてf(x)=1-xが言える。
以上より答えはf(x)=-2xとf(x)=1-x。
1012:１３２人目の素数さん
16/02/11 21:37:40.62 pZnlv49k.net
関西会場は壊滅だったようで
今年も東京圧勝だな
1013:１３２人目の素数さん
16/02/11 21:39:29.65 +iWZH2HI.net
結果いつ頃でるん？
1014:１３２人目の素数さん
16/02/11 21:46:34.12 32DFKbqe.net
（自称）3完の層異常に厚いし減点されるかで入賞決まるのかな
1015:１３２人目の素数さん
16/02/11 21:59:14.52 wD/3B6fN.net
黙れ松島
1016:１３２人目の素数さん
16/02/11 22:25:10.73 VhA+ZTd+.net
2完と2点だとキツイですか…
1017:１３２人目の素数さん
16/02/11 23:05:34.16 gjE9zZnE.net
レベルが低くて申し訳ないが、問３で上のふたりの解答だとn=2のときにS=3か4になるんだが、どうしたら3枚もしくは4枚の貨幣で永久に徴税できるか説明して�
1018:ｭれる人はいませんか
1019:１３２人目の素数さん
16/02/11 23:07:38.44 gjE9zZnE.net
ゴメン4枚のときはわかった。
3枚はどうしても無理なきがする。
1020:１３２人目の素数さん
16/02/11 23:15:49.30 mqsS+B3A.net
>>998
本当だね。
1円2円3円…の枚数を計算したつもりだったのだけれども。
計算方法がそもそも間違ってたか。
1021:１３２人目の素数さん
16/02/11 23:21:52.37 VhA+ZTd+.net
よし来年頑張る
1022:１３２人目の素数さん
16/02/11 23:25:16.09 gjE9zZnE.net
本当にすごい。
答えはなんとなく勘で分かるけど、記述なんてどうやってやるんだ...
1023:１３２人目の素数さん
16/02/11 23:34:09.90 k2sUWesj.net
具体的な話を聞くと、自称3完も実はそこまで多くなさそうだったし、
ボーダーは3完～3完-2点ぐらいじゃないかな
1024:１３２人目の素数さん
16/02/11 23:46:01.43 k2sUWesj.net
3.について簡単に書くと、
それぞれ2^n人が、硬貨のみで、0,1,2,3,…,(2^n-1)円持っていて、
毎晩、それぞれ自分の持っている硬貨全てを右の人に渡し、
0枚の人は王に2^n紙幣を渡せば、永遠に続く。
また、それぞれの硬貨がn枚以上必要な事もわかるから、
結果、n*2^(n-1)がSの最小値とわかる。
みたいな感じ？
日本語不足ですいません。
1025:１３２人目の素数さん
16/02/11 23:49:39.01 k2sUWesj.net
ごめん誤植
一種類の硬貨あたり、2^(n-1)枚以上必要
1026:１３２人目の素数さん
16/02/11 23:52:34.37 32DFKbqe.net
>>1003
>それぞれの硬貨がn枚以上必要な事もわかるから、
ウソだろ
1円硬貨が0+1+…+(2^n-1)枚あっても永遠に続けられる
これが自称勢か…
1027:１３２人目の素数さん
16/02/12 00:07:13.18 RivUVWZ7.net
次スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1028:１３２人目の素数さん
16/02/12 01:36:03.33 AnRmT6HL.net
１０００
1029:1001
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もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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