24/05/24 00:20:26.71 QRIuqGrQ.net
>>778
R環上の平坦加群の直和因子が全て平坦であることを証明します。
まず、R加群 M, N がそれぞれ平坦であるとは、任意の R-加群準同型 f: P → M に対し、ある R-加群準同型 g: M → P で fg = id_P となるようなものが存在することを意味します。
ここで、M, N が R環上の平坦加群であり、それらの直和 M ⊕ N を考えます。このとき、任意の R-加群準同型 h: P → M ⊕ N に対して、h を M への射影と N への射影に分解できます。
さらに、M, N が平坦であることから、それぞれに対して M への射影と N への射影を fg = id_P となるような R-加群準同型 f, g に分解できます。
これらの分解を用いることで、h = (f, g) となるような R-加群準同型 f, g が存在することを示すことができます。
よって、M ⊕ N も R環上の平坦加群であることが証明できます。