24/02/28 06:56:21.78 ijdyqSaZ.net
>>699
2^{√2} が代数的数であるとする
a＝2^{√2} とおく
aは実数の代数的数である
指数関数 y＝2^x は単調増加で正の値を取るから、
仮定から a＞2 であって、a^2＞4 を得る
また、仮定から a^{√2}＝2^2＝4 であって、(1/a)^{√2}＝1/4 である
a＞1 から指数関数 y＝(1/a)^x は単調減少で正の値を取るから、1/a＞1/4 である
よって、4＞a＞2 であって、2＞a＞√a＞√2 から 4＞a^2＞a＞2 である
故に、a^2＞4 と a^2＜4 が両立し、実数の大小関係に反し矛盾が生じる
この矛盾は実数 2^{√2} を代数的数と仮定したことから、2^{√2} は実数の超越数である
実数の超越数は無理数だから、2^{√2} は無理数である
今更だが、有理数(または実数の代数的数)の稠密性を使えば、こういう証明はある