16/08/17 16:24:03.04 oj9b67dk.net
>>755
LHS = |re^(iφ)| = r = sqrt(|a^2 + b^2 + c^2|) ≦ sqrt(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) ≦ 2/3 (|a| + |b| + |c|) ≦ RHS
あとから細かな間違い見つかって嫌だわ
【質問】
m を正の整数とし，a[1], …, a[m] を区間 [1/2, 1] 上の数列，s[1], …, s[m] をその各次数に対する基本対称式とする。いま
f(x) := (x-a[1])…(x-a[m]) = x^m - s[1]x + s[2]x^2 -+ …
とし，条件
・m-1/2 ≦ s[1]
・s[m] = 1/2
・f(1/2) ≧(≦) 0
・min[x≧1] f'(x) ≧ 0
・max(min)[x≦1/2] f'(x) ≦(≧) 0
を定めます。≧(≦) は m が偶数なら≧，奇数なら≦を表します。max(min) も同様。
このとき，s[1], … s[m] ならびに a[1], … a[m] を決定することは可能ですか？
m が小さい場合はできたのですが…
797:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/17 17:42:31.10 z7oUOJDv.net
￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5535 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 18:53:14 ID:???
> ￥
>
>5536 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 21:08:24 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5537 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/13(土) 21:25:44 ID:???
> ￥
>
>5538 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:23:07 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5539 ：kmath1107★ ：2016/08/13(土) 23:41:45 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5540 ：名無しさん ：2016/08/14(日) 00:05:47 ID:???
> かつて僕（増田哲也、痴漢で逮捕）が大阪大学基礎工学部の学部学生であった時、大学院の指導教官となってくれそうな先生を
> 探して各地のいろんな先生方を訪ねて回った時の事である。理論物理学を大学院で専攻しようとして理
> 論物理学の初歩をかじっていた僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は、当時京都大学数理解析研究所に居られた超一流の理論物理学者で
> おられる中西先生にこんな質問をした事がある。
>
> 僕（増田哲也、痴漢で逮捕） ： 「理論物理学では円周率が様々な所に出てきますが、それには何か深い物理的な理由があるの
> でしょうか？」
>
> 中西先生： 「そういう事を何時も頭の片隅に置いておくのはとても大切な事です。でもそんな事ばかり
> 考えていたら研究論文が書けなくなります。研究者とはそんな甘いものではありません。」
>
> 僕（増田哲也、痴漢で逮捕） ： 「は－そうなんですか－」
>
> 結局僕（増田哲也、痴漢で逮捕）は京都大学の中西先生ではなく、別の先生に大学院の指導教官になって頂き、理論物理学ではな
> く純粋数学を専攻した。しかしこの時の中西先生のお言葉は今でも何となく「気になって」いる
>
>5541 ：名無しさん ：2016/08/14(日) 00:22:38 ID:???
> いい加減、芳雄に謝罪しろ
>
798:１３２人目の素数さん
16/08/21 04:46:49.13 pVzqltIf.net
>>742
|a|≧|b|≧|c|とすれば
｜aa+bb+cc｜^(1/2)≦|a|＋(√2－1)|b|＋(√3－√2)|c|,
だが
799:１３２人目の素数さん
16/08/22 09:25:35.49 CXTBAMOO.net
a≧b>0、nは自然数のとき、
(1/n)(a^n-b^n)≦(1/2)(a-b){a^(n-1)+b^(n-1)}
800:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 09:42:21.75 q01q4Ck8.net
￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5615
> うるさい
>
> >>5616
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5617 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権�
801:ﾐには擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。 > ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。 > ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。 > ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。 > ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。 > ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。 > ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。 > ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。 > ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。 > > ￥ >
802:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 11:05:47.62 q01q4Ck8.net
￥
803:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 11:06:05.75 q01q4Ck8.net
￥
804:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 11:06:22.37 q01q4Ck8.net
￥
805:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 11:06:40.23 q01q4Ck8.net
￥
806:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 11:06:56.79 q01q4Ck8.net
￥
807:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 11:07:13.84 q01q4Ck8.net
￥
808:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 11:07:31.34 q01q4Ck8.net
￥
809:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 11:07:56.71 q01q4Ck8.net
￥
810:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 11:08:16.13 q01q4Ck8.net
￥
811:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 11:08:35.97 q01q4Ck8.net
￥
812:１３２人目の素数さん
16/08/22 11:34:33.16 ZJVUMCJi.net
ageると荒らされるぞ。
このスレを見ている奴はageなくても見ているのだから、書き込みの度にageるなよ >>761
813:１３２人目の素数さん
16/08/22 11:36:27.52 Qopa6DmG.net
>>761
n{a^(n-1)＋b^(n-1)}－2(a^n－b^n)/(a-b)
＝n{a^(n-1)＋b^(n-1)}－Σ[k=0,n-1] {a^k･b^(n-1-k)＋a^(n-1-k)･b^k}
＝Σ[k=0,n-1] (a^k－b^k){a^(n-1-k)－b^(n-1-k)}
≧0,
814:１３２人目の素数さん
16/08/22 11:47:45.37 ZJVUMCJi.net
上がっているスレに対して、自動で荒らし書込をしているんだろうな。
>>708-709 がageた２時間後に 708-734 の荒らし
>>743 がageた後に 740-750 の荒らし
>>756 がageて荒らした後に 754、756 の荒らし
>>761 がageた後に 758-768 の荒らし
常連はageずに出題＆解答しているから、他の人もageぬようお願いします。
815:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 12:45:59.46 q01q4Ck8.net
￥
816:１３２人目の素数さん
16/08/22 12:51:21.49 Qopa6DmG.net
>>761
加法公式から
sinh(nt)/sinh(t)＝cosh((n-1)t)＋sinh((n-1)t)/tanh(t)
＝cosh((n-1)t){1＋tanh((n-1)t)/tanh(t)}
≦n･cosh((n-1)t),
ageさんは分かってないね。
817:１３２人目の素数さん
16/08/22 15:48:52.26 Qopa6DmG.net
>>774
n{a^(n-1)＋b^(n-1)}－2(a^n－b^n)/(a-b)
＝Σ[k=1,n-2] (a^k－b^k){a^(n-1-k)－b^(n-1-k)}
＝(a-b)^2･Σ[k=1,n-2] k(n-1-k)･a^(k-1)･b^(n-2-k)
≧0,
818:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 15:49:08.30 q01q4Ck8.net
￥
819:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 18:59:08.42 q01q4Ck8.net
￥
820:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 18:59:25.75 q01q4Ck8.net
￥
821:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 18:59:45.01 q01q4Ck8.net
￥
822:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 19:00:02.17 q01q4Ck8.net
￥
823:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 19:00:21.40 q01q4Ck8.net
￥
824:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 19:00:39.89 q01q4Ck8.net
￥
825:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 19:01:02.28 q01q4Ck8.net
￥
826:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 19:01:21.57 q01q4Ck8.net
￥
827:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/22 19:01:42.38 q01q4Ck8.net
￥
828:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/08/23 01:11:00.02 dXrvzIKU.net
￥
829:１３２人目の素数さん
16/08/23 01:38:48.93 MlD6b3PU.net
>>774
n{a^(n-1)＋b^(n-1)}－2(a^n－b^n)/(a-b)
＝Σ[k=1,n-2] (a^k－b^k){a^(n-1-k)－b^(n-1-k)}
＝(a-b)^2･Σ[k=1,n-2] k(n-1-k)･a^(k-1)･b^(n-2-k)
＝(a-b)^2･Ｃ[n,3]･δ,
とおくと
{(a+b)/2}^(n-3)≦δ≦{a^(n-2)－b^(n-2)}/{(n-2)(a-b)},
ageさんはだめだね。
830:１３２人目の素数さん
16/08/25 02:15:08.67 gDSxL4jk.net
[第６章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3),
（Inequalitybot[186]）☆9
[問題787]
a,b,c>0のとき、(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2≧24abc(aa+bb+cc)
（じゅー、Inequalitybot[196]）☆7
831:１３２人目の素数さん
16/09/02 01:25:56.28 8nXURLtK.net
正の数 x に対して、log(cosh x) > (x・tanh x)/2
ﾌｧｻｧ
∧＿∧
（ ・∀・） ）)
/つ（￣｀ヽO_ノ⌒ヽ
ノ ） ＼ ）)
(__丿＼ヽ :: ノ:::: ）
丿 ,:' ）)
(（ （___,,.;:-－''"´｀`'‐'
もう寝まつ。
∧＿∧
（ ・∀・ ）
/ _ノ⌒⌒⌒`～､_
(￣⊂人 //⌒ ﾉ ヽ）
⊂ﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆﾆニニニニニﾆ⊃
832:１３２人目の素数さん
16/09/04 02:05:19.01 kABoMFjs.net
>>792
x=0のとき等号成立。
(左辺－右辺）’＝(1/2)tanh(x)－x/{2cosh(x)^2}
＝(1/2)tanh(x){1－(2x)/sinh(2x)}
＞0,
833:１３２人目の素数さん
16/09/05 01:30:20.77 k5MxNxjW.net
>>792
t=tanh(x) のべき級数に展開する。(McLaurin展開)
2*(左辺)＝2*log(cosh(x))
＝－log(1-tt)
＝t^2+(1/2)t^4+(1/3)t^6+(1/4)t^8+…,
2*(右辺)＝x*t
＝(t/2)log{(1+t)/(1-t)}
＝(t/2)log(1+t)－(t/2)log(1-t)
＝t^2＋(1/3)t^4＋(1/5)t^6＋(1/7)t^8＋…,
834:１３２人目の素数さん
16/09/05 15:20:50.90 HWkA5iDY.net
>792
x^(3/2)･√tanh(x)/2 ≧ log(cosh(x)) ≧ x･tanh(x)/2,
かな。
835:１３２人目の素数さん
16/09/05 17:55:44.15 HWkA5iDY.net
>>792
x･{x+tanh(x)}/4 ≧ log(cosh(x)) ≧ x･tanh(x)/2,
836:１３２人目の素数さん
16/09/05 23:34:31.26 HWkA5iDY.net
>>796
t=tanh(x)とおくと、
(左辺－中辺)’＝{(3-tt)x+t}/4－t
＝(3/4){(1-tt/3)xーt}
≧0,
〔補題〕
x>0 のとき、x>t/(1-tt/3),
837:１３２人目の素数さん
16/09/05 23:42:53.55 HWkA5iDY.net
>>797
〔補題〕
x>0 のとき、x＞t/(1-tt/3),
調和数列＞等比数列で、
x＝t＋(1/3)t^3＋(1/5)t^5＋(1/7)t^7＋…
＞t＋(1/3)t^3＋(1/9)t^5＋(1/27)t^7＋…
＝t/1-tt/3),
x＝(1/2)log{(1+t)/(1-t)}
＝∫[0～t] 1/(1-uu) du
＞∫[0～t] (1+uu/3)/(1-uu/3)^2 du
＝t/(1-tt/3),
∵相乗-相加平均で
(1-uu)(1+uu/3)＝(1-uu/3)^2－(2u/3)^2≦(1-uu/3)^2,
838:１３２人目の素数さん
16/09/11 02:04:22.52 41nsXD0z.net
〔問題〕
任意の自然数ｎ、および任意の正の実数a_0,a_1,a_2,…,a_nに対して
1/(a_0+a_1)＋1/(a_0+a_1+a_2)＋…＋1/(a_0+a_1+…+a_n)＜ｋ(1/a_0＋1/a_1＋1/a_2＋…＋1/a_n)
が成り立つような実定数ｋの最小値を求めよ。
（JMO-2016春合宿）
839:１３２人目の素数さん
16/09/12 05:18:02.26 gqJaGjEC.net
>>799
n=1でk=0.25
n=2でk=0.3009441
n=3でk=0.3190867
だから、もうﾁｮﾄ大きそう…
840:１３２人目の素数さん
16/09/12 12:52:02.08 7LUxH/Az.net
k ≦ π^2/6 - 1 ≒ 0.644934 しか分からん
まだ評価甘そう
841:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/09/12 13:06:12.78 wdbNdCQa.net
￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5714 ：名無しさん：2016/09/01(木) 22:40:59 ID:???
> >>5751
> 黙ってろカスが。お前こんなことずっと続けてて父親に申し訳ないと思わないのか。
>
>5718 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/09/02(金) 07:47:45 ID:???
> >>5754
> マジレスしておくが、芳雄にはきちんと罰だけは受けて貰う。あんな酷い事をし
> ておきながら、無傷であの世に逃亡というのは絶対に許されない。死ぬ前に充分
> な精神的苦痛をタップリと味わうべき。あの糞野郎だけは絶対に許されないので。
> 芳雄に対する怒りと憎しみは、馬鹿板に対する怒りとは比べ物にはならんわ。
>
> ￥
>
>5720 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/09/02(金) 08:54:09 ID:???
> >>5754
> 言って置くが、被害を受け始めた高校生の頃から私は芳雄を論理分析し、その欠
> 陥や弱点を精密に理解し、そしてその横暴
842:極まりない無責任な態度に対抗しなが > ら狙い撃ちにして来た。私は芳雄のせいで甚大な被害を被ったのであり、それを > 「親が責任を取る」という様ないい加減な逃げ口上で逃亡し、無責任を通す卑怯 > な行為は到底許されない。なのでその報いだけでもきちんと受けさせてやるだけ。 > > 糞芳雄の野郎、このまま逃げ切りは許さない。自分から言い放った『親としての > 責任』というものが微塵でも残ってるのであれば、それ相当の行為が自らなされ > て当然というものだろう。手を切り落とすもよし、足を切り落とすもよし。或い > は自分で主張した釜ヶ崎に自分で行って、そして労務者にでも殴られて撲殺され > るのもいいだろう。 > > とにかく自分で言った事だけは、きちんと自分から実行するべき。知らぬ存ぜぬ > で、無責任な逃げ切りだけは許されない。ソレこそが芳雄が言う所の卑怯者だか > らだ。糞芳雄は恥を知るべき。今からでもいいから、尊厳の意味を理解するべき。 > > ￥ >
843:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/09/12 13:21:36.11 wdbNdCQa.net
￥
844:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/09/12 13:22:40.51 wdbNdCQa.net
￥
845:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/09/12 13:22:59.55 wdbNdCQa.net
￥
846:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/09/12 13:23:16.70 wdbNdCQa.net
￥
847:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/09/12 13:23:34.01 wdbNdCQa.net
￥
848:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/09/12 13:23:51.35 wdbNdCQa.net
￥
849:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/09/12 13:24:08.63 wdbNdCQa.net
￥
850:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/09/12 13:24:25.58 wdbNdCQa.net
￥
851:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/09/12 13:25:33.90 wdbNdCQa.net
￥
852:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/09/12 13:25:52.34 wdbNdCQa.net
￥
853:１３２人目の素数さん
16/09/15 10:32:49.10 glMCJfdL.net
どうせ期限切れになるのを見越してるのかもしれないが、
債務者に無断で過払い金の返還請求してネコババする（弁）は辞めてもらいたいね。→
854:１３２人目の素数さん
16/09/18 10:38:59.46 KcEt3KAv.net
>>799
n=1 で k=0.25 （a0=a1=1)
n=2 で k=0.3009441531（a0=a1=1 a2=2.4305） a2=2(1+√7)/3
n=3 で k=0.3190867373（a0=a1=1 a2=2.1491 a3=5.3864)
n=4 で k=0.3266922362（a0=a1=1 a2=2.0639 a3=4.4987 a4=11.4234）
だから、もうﾁｮﾄ大きそう…
855:１３２人目の素数さん
16/09/20 15:01:00.56 znrqlsji.net
>>799
等比数列
a_0=a_1=1、a_k=r^(k-1) （公比r>1）
の場合を考える。
(右辺)＝ｋ{1+1+1/r+…+1/r^(n-1)}
＝ｋ{2r-1-(1/r)^(n-1)}/(r-1)
→ｋ(2r-1)/(r-1), (n→∞)
(左辺)はチト面倒だが…
r≒2の辺りでｋは最大になる。
r=2の場合はｋ→1/3 (n→∞）
856:811
16/09/20 15:33:02.10 znrqlsji.net
>>799
等比数列
a_0=a_1=1、a_j=r^(j-1) （公比r>1）
の場合を考える。
訂正ｽﾏｿ
857:１３２人目の素数さん
16/09/20 20:49:49.22 YmQwqlus.net
参考文献に挙げられていた論文を国会図書館から取り寄せたら、ドイツ語でした… Σ(ﾟДﾟ )！
858:１３２人目の素数さん
16/09/21 10:10:08.47 iZ3Xpz7k.net
>>817
まづは無料のGoogleで探し倒そう。
859:１３２人目の素数さん
16/10/03 04:50:15.28 hlTdGaar.net
正の実数 x、y、z が xyz=1 をみたすとき、
√{(x+1)/(x^2-x+1)} + √{(yx+1)/(y^2-y+1)} + √{(z+1)/(z^2-z+1)} ≦ 3√2
"; ;ヾ; ;ヾ; ;ﾒヾ "ゞ ;ヾ ;ゞ ;" "ゞ ; ; ; ゞ ;" "ゞ";ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;ゞ ;" "ゞ /. ヽ
;" "ゞ ; ; ; ゞ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ; ヾ ; ヾ ;ゞ; ;ゞ ;" ";ゞ ; ;ヾ l l
" ;ヾ ; ;";ヾ; ;"/" ; ;ヾ ;ヾ;ヾ ; ;ヾ ; ; ヾ ;ゞ " ;ヾ ; ;";ヾゝゝ" ;ヾゞ ヽ /
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861:１３２人目の素数さん
16/10/08 16:41:27.99 VzLBekw5.net
>>819
凸性より
(左辺)≦(√3)√{(x+1)/(xx-x+1)＋(y+1)/(yy-y+1)＋(z+1)/(zz-z+1)},
ゆえ、
(x+1)/(x^2-x+1)＋(y+1)/(y^2-y+1)＋(z+1)/(z^2-z+1)≦6, …(*)
を示そう。
(i) x,y,z≦2 のとき
(a+1)/(aa-a+1)＝(3-a)－(2-a)(1-a)^2/(aa-aa+1)≦3-a,
(*)≦9-(x+y+z)≦6,
(ii) x≧2 のとき
(x+1)/(xx-x+1)＝1－x(x-2)/(xx-x+1)≦1,
(b+1)/(bb-b+1)＝M{1－(b+1-√3)^2/(bb-b+1)}≦M,
ここで M＝1＋(2/√3)＝2.1547
(*)≦1+M+M＝3＋(4/√3)＝5.3094＜6,
862:１３２人目の素数さん
16/10/09 15:18:04.31 Dmd9ztww.net
>>820
凸関数じゃないんだけど
>>819
f(x) = (x+1)/sqrt(x^3+1) とおく。x ≧ y ≧ z と仮定してよい
・x ≦ 32.82951185 のとき
f(x) ≦ -log(x)/2sqrt(2) + sqrt(2) からこれを巡回的に足して主張を得る
・x ≧ 32.82951185 のとき
z ≦ 1/sqrt(32....) = 0.174529 である。よって
f(x) ≦ f(32...) ≦ 0.179843
f(y) ≦ f(0.73...) ≦ 1.46788
f(z) ≦ f(0.17...) ≦ 1.17142
となる。したがって
LHS ≦ 0.179843 + 1.46788 + 1.17142 ≦ RHS
が得られる
3f(x) ≦ 4.40366..., RHS = 4.24264 だから値域を少し厳密に評価するだけで解ける
863:816
16/10/10 04:11:35.08 noR8aJyR.net
>>821
凸性と言ったのは
√a + √b + √c ≦ √(1+1+1)･√{a+b+c},
という意味です。
コーシーを持ち出すまでもないと思ったので…
864:１３２人目の素数さん
16/10/10 05:41:25.02 noR8aJyR.net
>>819 を改造してみる…
実数 x、y、z（≧-1）が x+y+z≧3 をみたすとき、
√{(x+1)/(xx-x+1)} + √{(y+1)/(yy-y+1)} + √{(z+1)/(zz-z+1)} ≦ 3√2,
実数 x、y、z（≧-1）が x+y+z≦3/2 をみたすとき、
√{(x+1)/(xx-x+1)} + √{(y+1)/(yy-y+1)} + √{(z+1)/(zz-z+1)} ≦ 3√2,
865:１３２人目の素数さん
16/10/14 16:19:00.33 s2NnBcrE.net
正の実数 a, b, c に対して次の不等式を示せ
Σ[cyc] (a+2c)/(a+2b) ≧ sqrt((5(a^2+b^2+c^2)/(ab+bc+ca)) + 4)
866:１３２人目の素数さん
16/10/15 04:34:28.61 htY30JEj.net
>>824
s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc, ⊿=(a-b)(b-c)(c-a) とおくと、
(左辺) = 2s{1/(a+2b)＋1/(b+2c)＋1/(c+2a)}－3 = 2s{(2ss+3t)/(3st-⊿)}－3,
(右辺) = √(5ss/t－6),
さて、どうする？
867:１３２人目の素数さん
16/11/08 04:15:31.61 LIWaiFBV.net
〔相加-相乗平均〕
(a_1)^n＋(a_2)^n＋……＋(a_n)^n－ n･a_1･a_2……a_n
＝Σ[i<j] (a_i-a_j)^2 Ｐ_(i,j)
Ｐ_(i,j)＝{1/(n-1)}Σ[k=0,n-2] {ai^
868:(k+1)－aj^(k+1)}/(ai-aj)･Ｑ_(n-2-k)(i,j) Ｑ_L(i,j)は、aiとajを除く(n-2)文字によるL次の基本対称式を、その項数Ｃ[n-2,L]で割ったもの。 Ｑ_0＝1, (注） {ai^(k+1)－aj^(k+1)}／(ai－aj)＝(ai)^k＋(ai)^(k-1)･aj＋……＋ai･(aj)^(k-1)＋(aj)^k, なので、正係数の多項式である。 「フルヴィッツ・ムーアヘッドの等式」と云うらしい。
869:１３２人目の素数さん
16/11/16 12:48:24.75 sZgcCO+R5
任意の非負実数 x, y, z に対して次の不等式が成り立つ最良の正の定数 k は？
|(x-y)(y-z)(z-x)| ≦ k(x+y+z)((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)
870:１３２人目の素数さん
16/11/16 13:25:30.54 f4/M3jIZ.net
任意の非負実数 x, y, z に対して次の不等式が成り立つ最良の正の定数 k は？
|(x-y)(y-z)(z-x)| ≦ k(x+y+z)((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2)
871:１３２人目の素数さん
16/11/23 09:39:23.50 KCIuqlXC.net
>>828
x,y,zを一斉に増すと、右辺は増加、左辺は不変。
∴{x,y,z}＝{x,1,0} としてもよい。
(3k)^4＋3(3k)^2－(3/16)＝0,
k＝(-1+√3)/{12^(3/4)}＝0.1135416731
872:１３２人目の素数さん
16/11/23 09:47:19.41 KCIuqlXC.net
>>829
訂正
(3k)^4＋(3/2)(3k)^2－(3/16)＝0,
873:１３２人目の素数さん
16/11/23 15:08:48.32 n5BWZq4/.net
>>829-830
正解です
y=1, z=0 としていいことに気づけるかどうか
874:１３２人目の素数さん
16/11/23 15:54:15.99 n5BWZq4/.net
(1) a+b+c=3 をみたす任意の正の数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つ最良の正の定数は？
(a-b)(b-c)(c-a) ≦ 4/√(27abc)
(2) a+b+c=1 をみたす正の数に対して次の最大値は？
(abc)^(1/3)(a-b)(b-c)(c-a)
両方共ﾜｶﾗﾝ
875:１３２人目の素数さん
16/11/23 22:45:45.11 n5BWZq4/.net
>>832
間違えた(1)は不等式を示せだ
876:１３２人目の素数さん
16/12/01 01:08:06.58 laYsAhNA.net
hlawka って何て読むんだすか？ らうか？
何人？
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887:１３２人目の素数さん
16/12/02 08:07:58.05 7xVhMtBb.net
>>832 (1)
題意より
a+b+c = 3,
また、等号成立条件より
ab+bc+ca = 2,
abc = 2/9,
が出るので、（a,b,c）は
t^3 -3t^2 +2t -2/9 = 0,
の3実根。
すなわち
a = 1 + (2/√3)cos(θ/6) = 2.096648361
b = 1 + (2/√3)cos(θ/6 - 2π/3) = 0.764760120
c = 1 + (2/√3)cos(θ/6 + 2π/3) = 0.138591519
θ = arccos(-1/3) = 109ﾟ 28' 16.4”（四面体角）
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895:１３２人目の素数さん
16/12/02 08:30:16.30 7xVhMtBb.net
>>845
ちなみに、四面体角の半分
θ/2 = 54ﾟ 44' 08.2"
をマジック角というらしい...
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906:１３２人目の素数さん
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いい勉強になった ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
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908:１３２人目の素数さん
16/12/03 01:04:48.92 JV/Azs1X.net
実数 a, b, c が a^2+b^2+c^2=3 をみたすとき，a+b+c-abc の最大値は？
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>前科持ち変質者と絶対出会える掲示板 [無断転載禁止]
>
>1 �
910:ｼ前：１３２人目の素数さん 2016/11/16(水) 21:02:24.40 ID:8UX5OsVV > 変質者前科持ちと気が触れ合える掲示板 > >11 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 08:36:12.59 ID:6KwDBI7h > 変質者前科持ち＝増田哲也 > >12 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 09:04:39.15 ID:AZB04dZ8 > わざわざ言わんでもええ > >13 名前：出会える掲示板 ◆2VB8wsVUoo ：2016/11/19(土) 15:58:01.20 ID:21LrO2+x > 絶対に… > > ケケケ￥ > >14 名前：１３２人目の素数さん ：2016/11/19(土) 16:31:33.55 ID:6KwDBI7h > 六十目前で父親逆恨みしたり掲示板逆恨みする根性の腐れっぷりは凄くて困る >
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921:１３２人目の素数さん
16/12/04 03:23:03.70 igohLjS8.net
>>866
a = b = √{(5+√13)/6} = 1.197605338
c = -√{(4-√13)/3} = -0.36260572
のとき
a+b+c - abc = 2a +(aa-1)(-c)
= 2a + ((√13 -1)/6)(-c)
= 2.552675308961574826258
かな。
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934:１３２人目の素数さん
16/12/04 07:47:28.84 igohLjS8.net
>>866
ついでに…
a=b=c=1 で 2（鞍点？）
a=b=0.4820872, c=1.5922260 で 2.1863542858636（極大)
a=b=0, c=√3 で √3（極小？)
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16/12/04 07:57:01.30 l4ny/Yu3.net
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945:１３２人目の素数さん
16/12/05 11:42:11.58 9Kv+bmZv.net
xi > 0,
A(n) = (x1+x2+...+xn)/n, 相加平均
G(n) = (x1･x2･...･xn)^(1/n), 相乗平均
H(n) = n/(1/x1+1/x2+...+1/xn), 調和平均
とおく。
[1] 略
[2]
A(2) + m･H(2) ≧ (1+m)G(2), m=1.0
[3]
A(3) + m･H(3) ≧ (1+m)G(3), m=0.90096030150908885
(1,1,x3) x3=0.396257004730747667698678 は 64x^3 +87x^2 -42x -1 =0 の根
[4]
A(4) + m･H(4) ≧ (1+m)G(4), m=0.7761577683742073233
(1,1,1,x4) x4=0.229929540827345357763 は 6561x^5 +18299x^4 +11210x^3 -3210x^2 -91x-1=0 の根
が成り立つか？
946:１３２人目の素数さん
16/12/05 14:03:12.44 SKxowvFC.net
>>902
成り立ちます
五変数以上になると厳密な評価は難しそう
947:１３２人目の素数さん
16/12/05 15:21:43.32 SKxowvFC.net
>>902
(3)
A[3] + m*H[3] ≧ n*G[3]
ここで m=0.90096, n=m+1 が最適な係数
等号成立は (1, 1, 0.39625)
(4)
A[4] + m*H[4] ≧ n*G[4]
ここで m=0.77615, n=m+1 が最適な係数
等号成立は (1, 1, 1, 0.39625) または (1, 1, 4.32911, 4.32911)
948:１３２人目の素数さん
16/12/05 15:22:42.49 SKxowvFC.net
(4) は 0.39625 じゃなく 0.22992 ね
949:１３２人目の素数さん
16/12/05 15:42:04.76 SKxowvFC.net
また間違えちゃった (4) は (1, 4.34915, 4.34915, 4.34915) だ
950:１３２人目の素数さん
16/12/05 23:41:34.31 SKxowvFC.net
>>902
[4]
p=1.444113430416044 は x^5+3*x^4+6*x^3-6*x^2-11*x-9=0 の解
q=0.692466380367298 は 9*x^5+11*x^4+6*x^3-6*x^2-3*x-1=0 の解
等号成立は (p, p, p, 1), (q, 1, 1, 1) のとき
等号を成立させる方程式の係数と符号が反転してて面白いので載せてみた
951:１３２人目の素数さん
16/12/05 23:43:41.41 SKxowvFC.net
(p^4, p^4, p^4, 1), (q^4, 1, 1, 1) でした
952:１３２人目の素数さん
16/12/06 06:14:40.46 61lM6Ipy.net
>>903-908
thx.
>>902
x_3 = t^3 とおくと、
4t^3 + 3t^2 - 3t - 1 = 0,
t = {2(√5)cosθ -1}/4 = 0.734500874964259
ただし θ = (1/3)arccos[1/(5√5)] = 0.49374463978515
953:１３２人目の素数さん
16/12/06 07:59:56.74 61lM6Ipy.net
>>903
n-5 は
[5]
A(5) + m･H(5) ≧ (1+m)G(5), m=0.676175
（1,1,1,1,r^5) r = 0.6897105532534071796 は 16r^7 + 23r^6 +21r^5 +10r^4 -10r^3 -6r^2 -3r -1 =0 の正根。
と予想するが...
954:１３２人目の素数さん
16/12/09 00:17:37.77 sgxdKdhy.net
>>910
成り立つよ
一般に，等号成立はn-1 個の変数が等しいとき
955:１３２人目の素数さん
16/12/09 00:40:57.61 sgxdKdhy.net
最近の不等式の証明技法をまとめようかなと思ってるけど面倒でやる気が起きない
956:１３２人目の素数さん
16/12/11 09:01:03.18 688mVHLv.net
>>911 のとき
ｘ = {1,1,････,t^n}
A(n) = [t^n + (n-1)] / n,
G(n) = t,
H(n) = n･t^n / [(n-1)t^n + 1]
A-G = (t-1)^2 (1/n) f(t),
G-H = (t-1)^2 {t/[(n-1)t^n + 1]} g(t),
(A-G)/(G-H) = [(n-1)t^n +1]f(t) / {nt･g(t)} ≧ m,
ここで
f(t) = [t^n -nt +(n-1)] / (t-1)^2 = t^(n-2) + 2t^(n-3) + ････ + (n-2)t + (n-1),
g(t) = [(n-1)t^n -nt^(n-1) +1] / (t-1)^2 = (n-1)t^(n-2) + (n-2)t^(n-3) + ････ +2t +1,
(A-G)/(G-H) が極小のとき、
[(n-1)^2･t^n -1]{f(t)/g(t)} + [(n-1)t^n +1]t{f(t)/g(t)} ' = 0,
[(n-1)^2･t^n -1]f(t)g(t) - [(n-1)t^n +1]t{f(t)g '(t) - f'(t)g(t)} = 0,
ここで
f(t)g(t) = Σ[k=0～n-3] ((k+1)(k+2)(3n-3-k)/6){t^k + t^(2n-4-k)} + ((n-1)n(2n-1)/6)t^(n-2),
f(t)g '(t) - f '(t)g(t) = n･Σ[k=0～n-4] ((k+1)(k+2)(k+3)/6){t^k + t^(2n-6-k)} + n((n-2)(n-1)n/6)t^(n-3),
957:１３２人目の素数さん
16/12/19 03:17:02.97 4qCEI1DC.net
>>902 >>910
Sierpinskiの不等式
A(n)^(n-1)･H(n)≧G(n)^n
を使えば
A(n) + (1/(n-1))H(n) ≧ (n/(n-1)){A(n)^(n-1)･H(n)}^(1/n) ≧ (n/(n-1))G(n),
m ≧ 1/(n-1),
は簡単に出ます。
しかし掛け算すると、ｘ→（1,1,････,1,0）のとき下限値1/(n-1)に近づくので、これ以上改良できそうにない…
というワケで加減で比べてみました。
958:１３２人目の素数さん
16/12/20 06:49:30.48 9UZFmJjk.net
>>914
〔Sierpinskiの不等式〕
A(n+1)^n･H(n+1)/G(n+1)^(n+1) ≧ A(n)^(n-1)･H(n)/G(n)^n ≧ ･･･ ≧ A(2)H(2)/G(2)^2 = 1,
(略証)
nについての帰納法で。
n=2のとき、等号成立。
x_{n+1} = x,
A(n)=Ao, G(n)=Go, H(n)=Ho,
A(n+1)=A, G(n+1)=G, H(n+1)=H,
と略記する。
A = (n･Ao + x)/(n+1)
G^(n+1) = x･Go^n,
1/H = (n/Ho + 1/x)/(n+1),
(A^n･H)/G^(n+1) ÷ {Ao^(n-1)･Ho}/Go^n
= {A^n/Ao^(n-1)} H/(Ho･x)
≧{n･A -(n-1)Ao} H/(Ho･x)
= (Ao + nx)/(Ho + nx)
≧ 1, (← Ao≧Ho)
959:１３２人目の素数さん
16/12/20 14:43:09.84 9UZFmJjk.net
〔問題〕
A, B が実対称行列のとき、次を示せ。
tr｛exp(A+B)｝≦ tr｛exp(A)exp(B)},
等号成立は AB=BA のとき。
（京大RIMS元所長）荒木教授ご提出らしい。
数セミ増刊「数学の問題」第２集、日本評論社（1978) No.96
960:１３２人目の素数さん
16/12/23 15:20:00.53 N1oFke4u.net
>>902 >>910 >>914
n >>1 のとき、
m ～ {1.157*log(n) + 1.111}/(n-1),
A(n) ～ (n-1)/n,
G(n) ～ 1/(1+m),
らしい。
961:１３２人目の素数さん
16/12/23 22:29:02.46 N1oFke4u.net
>>914
〔Jacobsthalの不等式〕
(n+1)(A-G) ≧ n(Ao - Go),
(略証)
（左辺）= (n･Ao +x） -(n+1)(Go^n･x)^{1/(n+1)}
≧(n･Ao +x) - (n･Go +x)
= n(Ao - Go)
=（右辺）,
962:１３２人目の素数さん
16/12/25 03:08:58.00 HgkzhkFu.net
>>918
(n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n ≧ (n+1)G - nGo,
∴ (n+1)(A-G) ≧ n(Ao-Go),
同様にして
A^(n+1)/Ao^n ≧ (n+1)A - nAo = x = G^(n+1)/Go^n,
∴ (A/G)^(n+1) ≧ (Ao/Go)^n,
963:１３２人目の素数さん
16/12/25 05:29:38.31 HgkzhkFu.net
>>917
nが10～1000 の辺りでは
m ～ {1.1287*log(n) + 1.2272}/(n-1),
1/H ～ 1.153*log(n),
1/x ～ 1.153n*log(n) - (n-1),
A(n) = (n-1+x)/n,
らしい。
964:１３２人目の素数さん
17/01/04 00:41:34.36 F1JEFz8G.net
〔問題567〕
a,b,cを和が３となる正の実数とする。このとき次を示せ。
√{b/(aa+3)} + √{c/(bb+3)} + √{a/(cc+3)} ≦ 3/2,
高校数学の質問スレPart397(c)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:567番)
965:１３２人目の素数さん
17/01/08 06:07:07.63 rl9rb1ia.net
>>921 (注意)
1/(aa+3) + 1/(bb+3) + 1/(cc+3) ≦ 3/4,
は成り立ちません。
a = b = 0.29712745268 (*)
c = 2.40574509464
のとき、
0.761405273304
(*) 2a^3 -7a^2 +12a -3 = 0 の根
(1/6){7 + (36√58 -251)^(1/3) - (36√58 +251)^(1/3)},
966:１３２人目の素数さん
17/01/10 04:33:57.70 FU/1ZKud.net
>>921 (注意)
(2√b)/(a+3) + (2√c)/(b+3) + (2√a)/(c+3) ≦ 3/2,
も成り立ちません。
a = 0.818145
b = 0.823310
c = 1.358545
のとき
1.500059562452
967:１３２人目の素数さん
17/01/11 12:38:59.99 o5/kKbcv.net
〔問題〕
a,b,cを正の実数とするとき、次を示せ。
[2] a + √(ab) ≦ ｛(1+√2)/2}(a+b),
[3] a + √(ab) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)(a+b+c),
968:１３２人目の素数さん
17/01/12 09:21:49.92 OCuLi6LZ.net
a,b,c,dを正の実数とするとき、
[4] a + √(ab) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ K(4)(a+b+c+d),
K(4) = 1.4208443854096138127
969:１３２人目の素数さん
17/01/12 11:12:31.15 OCuLi6LZ.net
>>924-925
〔Carlemanの不等式〕（有限版）
相加-相乗平均をたした形であるが、そのままでは係数が合わない。
そこで正の係数 c_1～c_n を掛けて
K(n)･(a1+a2+････+an) － {a1 + √(a1･a2) + ･････ + (a1･a2････an)^(1/n)}
= Σ[L=2～n] {(c1･a1+c2･a2+･････+cL･aL)/(L･d_L) - (a1･a2･･･aL)^(1/L)},
とおく。ここに、d_L = (c1･c2･････cL)^(1/L),
a_L の係数を比べて
1/(L･dL) + 1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_L,
1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_(L+1),
辺々引いて
1/(L･dL) = K/c_L － K/c_(L+1),
∴ 1/c_(L+1) = 1/c_L － 1/(K･L･d_L),
により c_Lが定まる。
c_1 = 2 とおくと、
c_2 = 2K/(K-1),
c_3 = 2K/{K -1 -√((K-1)/4K)},
････
また、K(n) は 1/c_(n+1)=0 から定まる。
970:１３２人目の素数さん
17/01/16 05:37:39.15 +viXJ8tP.net
カレーパンマンの不等式キタ━━┌(_Д_┌ )┐━━！！
971:１３２人目の素数さん
17/01/17 10:39:38.76 Qggnth+1.net
〔Stirlingの公式〕
正の整数ｎについて
log(n!) ＞ (n+1/2)log(n)－ｎ＋0.8918
を示せ。
972:１３２人目の素数さん
17/01/21 18:59:32.43 HdECjTmQ.net
1/2 ≦x≦1、0<a≦y≦2a のとき、x/y + y/x -xy のとりうる値の範
973:囲を求めよ。
974:１３２人目の素数さん
17/01/22 07:55:35.43 j1H92TDS.net
>>929
・0＜a≦1/(2√5）のとき［3a＋1/(4a)，1/a］
最小：(x，y)＝(1/2，2a)
最大：(x，y)＝(1，a)
・1/(2√5)≦a≦1/(2√2）のとき［2√{1-(2a)^2}，1/a］
最小：(x，y)＝(2a/√{1-(2a)^2}，2a)
最大：(x，y)＝(1，a)
・1/(2√2)≦a≦1/2 のとき［1/(2a)，1/a］
最小：(x，y)＝(1，2a)
最大：(x，y)＝(1，a)
・1/2≦a のとき［1/(2a)，3a＋1/(4a)］
最小：(x，y)＝(1，2a)
最大：(x，y)＝(1/2，2a)
975:１３２人目の素数さん
17/01/26 19:21:52.26 wshNWY83.net
>>930
エレガントな解き方あるのん？
976:１３２人目の素数さん
17/02/11 13:08:49.63 cVU0SCtk.net
不等式の問題をハッケソ！
URLﾘﾝｸ(www.toshin.com)
977:１３２人目の素数さん
17/02/14 01:57:11.20 U44OFY/t.net
単位円（原点Oを中心とする半径1の円）の周上に2点 A,B がある。
∠AOB = ω の二等分線を OM とすると
∠AOM = ∠MOB = ω/2,
また、OMと反対の方向に点Cをとる。
∠OCA = θ，OC=k とおくと、
tanθ = sin(ω/2)／{k＋cos(ω/2)},
とくに k=2 のとき
tanθ = sin(ω/2)／{2＋cos(ω/2)｝< ω/6，（仁平氏による）
数セミ '17年3月号 p.44 NOTE
978:１３２人目の素数さん
17/02/14 02:35:05.63 U44OFY/t.net
>>933
〔補題〕
0<t<π のとき
sin(t) < 3sin(t)/{2+cos(t)} < t,
｛sin(t)，sin(t)，tan(t)｝の調和平均はｔより小さい。（B.C.Carlson)
(略証)
左側は明らか。
右側はｔで微分して
3cos(t)/{2+cos(t)}＋3{sin(t)}^2/{2+cos(t)}^2
=１－3{[1-cos(t)]/[2+cos(t)]}^2
< 1,
不等式の和書[3] p.45 の式でｘをcos(2t)とおく。
なお、相加平均はｔより大きい。（Snellius-Huygens)
979:１３２人目の素数さん
17/02/18 13:35:55.24 8Xd9SMLI.net
a,b,c≧0の時
a(a-b)(a-2b)+b(b-c)(b-2c)+c(c-a)(c-2a)≧0
を示せ
980:１３２人目の素数さん
17/02/22 16:20:23.47 zQPH35Dc.net
>>935
a,b≧c≧0 としてもよい。
(左辺) = (a-c)(a-2b+c)^2 + b(a-b)^2 + c(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0,
対称式ぢゃないからﾁｮﾄ面倒...
981:１３２人目の素数さん
17/02/26 18:46:56.98 6Ynn6p4F.net
a、b、c ∈[0,1] のとき、{ab(1-c)}^(1/p) + {bc(1-a)}^(1/p) + {ca(1-b)}^(1/p) ≦ 1
982:１３２人目の素数さん
17/02/26 23:13:36.91 DmeGzA4L.net
>>934 〔応用問題〕
１周の長さが 2π である正n角形において、外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、
(1） r < 1 < R,
(2） 3／(2/R + 1/r) < (RRr)^(1/3) < 1 < (2R+r)/3,
を示せ。
983:１３２人目の素数さん
17/02/27 17:58:31.54 tcvWjEXJ.net
>>937
p≦3/2 のとき
{ab(1-c)}^(1/p）≦｛ab(1-c)}^(2/3)
≦｛ab+b(1-c)+(1-c)a}/3 （←相乗･相加平均）
=｛1-(1-a)(1-b)+(2ab-bc-ca)}/3
≦｛1 + (2ab-bc-ca)}/3,
巡回的にたす。
p＞3 - log(4)/log(3）= 1.7381405 のとき不成立
反例 (a,b,c）=（2/3,2/3,2/3）
984:１３２人目の素数さん
17/03/01 18:16:01.30 7mo/d06r.net
>>937
元ネタ（Terence Tao）
URLﾘﾝｸ(terrytao.wordpress.com)
985:１３２人目の素数さん
17/03/03 07:01:45.16 Fl6w77Qk.net
△ABCについて次を示せ。
(tan(A/2)+tan(B/2))^(-1/2)
+(tan(B/2)+tan(C/2))^(-1/2)
+(tan(C/2)+tan(A/2))^(-1/2)
≧2+2^(-1/2)
986:１３２人目の素数さん
17/03/04 16:24:50.85 HY67hoMk.net
>>938
(1)
辺の長さ 2π/n,
r = π/{n･tan(π/n)} < 1,
R = π/{n･sin(π/n)} > 1,
987:１３２人目の素数さん
17/03/05 22:51:16.40 rca0XhBC.net
〔問題2714〕
a,b,c,p,q,r は正の実数で、abc=1, p≧2, q≧2, r≧2 をみたすとする。
(a^p +p)(b^q +q)(c^r +r)
≧ (2+aa)(2+bb)(2+cc)
≧ (2+1/a)(2+1/b)(2+1/c)
≧ (2+√a)(2+√b)(2+√c)
≧ {2 + 1/a^(1/4)}{2 + 1/b^(1/4)}{2 + 1/c^(1/4)}
≧ {2 + a^(1/8)}{2 + b^(1/8)}{2 + c^(1/8)}
≧ ･････
≧ 27,
を示せ。（「すうじあむ」の問題を元に改作）
URLﾘﾝｸ(suseum.jp)
988:１３２人目の素数さん
17/03/08 00:01:03.85 hSPnYqZt.net
正の数nと、正の実数a_1、…a_nに対し、次式をみたす実数Mの最大値を求めよ。
n・Σ[1≦k≦n] (a_1 + … + a_k)・(a_k)^2 ≧ M・(a_1 + … + a_n)^3
989:１３２人目の素数さん
17/03/08 07:51:24.09 hSPnYqZt.net
The positive numbers x, y satisfy the equation x^3 + y^3 = x?y. Prove that x^2 + y^2 < 1.
The positive numbers a_1,…,a_n satisfy √a_1 + … + √a_n = 1. Show that (a_1)^(a_1)・…・(a_n)^(a_n) ≧ (a_1 + … + a_n)^2.
Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] 1/|xi?xj| + 1/{2π?|xi?xj|} ≧ (n^2/π)納k=1 to n?1] 1/k.
990:１３２人目の素数さん
17/03/09 09:14:49.54 3QaTlDUD.net
-が?に文字化けしているな
Let 0 < x_1 < x_2 <…< x_n < 2π. Show that 納i,j=1;i≠j to n] (1/|x_i-x_j| + 1/{2π-|x_i-x_j|} ) ≧ (n^2/π)納k=1 to n-1] 1/k.
991:１３２人目の素数さん
17/03/10 00:46:09.66 VVolMD9v.net
>>944
n=1 のとき M_1 = 1,
n=2 のとき M_2 = 2(47-14√7)/27 = 0.73773938
2{a^3 + (a+b)bb} - M_2･(a+b)^3 = (2-M_2)･(a-tb)^2･(a+b/tt) ≧0,
t = (1+√7)/3 = 1.215250437
>>945 上
題意より xy ≧ 0,
(x-y)y ≧ 0,
xx+xy+yy = (x^3-y^3)/(x-y) = 1 - 2(y^3)/(x-y) ≦ 1,
992:１３２人目の素数さん
17/03/11 03:43:57.83 S/5xVczT.net
>>944
M_n は既知とし、
a_{n+1} = x,
a_1 + a_2 + ････+ a_n + x = S,
とおく。
a_1 + a_2 + ････+ a_n = S-x,
(左辺) = {M(n)/n}(S-x)^3 + Sxx = f(x),
f '(x) = -3{(M_n)/n}(S-x)^2 + 2Sx
= -3{(M_n)/n}{xx - 2(coshθ)Sx + SS} {coshθ=1+n/(3M_n) とおいた}
= -3{(M_n)/n}{x - S･e^(-θ)}(x - S･e^θ),
左辺は x = S･e^(-θ）で最小となる。このとき
S - x = S{1 - e^(-θ)},
f(S･e^(-θ)) / S^3 = {(M_n)/n}{1 - e^(-θ)}^3 + e^(-2θ)
= M_(n+1)/(n+1),
ここに、coshθ = 1 + n/(3M_n),
これにより M_{n+1} が定まる。
M = lim[n→∞] M_n = 4/9.
993:１３２人目の素数さん
17/03/11 10:10:59.71 S/5xVczT.net
>>944（補足）
e^(-θ) ≒ 1/(2coshθ) = 1/{2(n/3M_n + 1) = (3/2)M_n/(n+3M_n) を使って
f(S･e^(-θ)) / S^3 = (1/3)e^(-θ){2+e^(-θ)} ≒ M_n{n+(15/4)M_n}/(n+3M_n)^2
∴ M_{n+1} - M_n = M_n*(n+1){n+(15/4)M_n}/(n+3M_n)^2 - M_n = M_n*{1-(9/4)M_n}/n + O(1/nn),
1/n の係数が0に収束しないと M_n が発散してしまうから、
M = lim[n→∞] M_n = 4/9,
994:１３２人目の素数さん
17/03/13 20:43:05.22 UB++6Hh4.net
>>945 下
k=1,2,…,n-1 とする。
Σ[i-j=k] 1/(x_i - x_j) および Σ[i-j=n-k] 1/{2π - (x_i-x_j)}
のn項について、相加-調和平均（コーシー）すると、
Σ[i-j=k] 1/(x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] 1/{2π - (x_i-x_j)}
≧ nn／{Σ[i-j=k] (x_i - x_j) + Σ[i-j=n-k] {2π - (x_i-x_j)}}
=（nn/2π)(1/k),
k=1,2,…,n-1 でたす。
等号成立は x_i - x_j = (2π/n)(i-j）のとき。
995:１３２人目の素数さん
17/03/15 22:14:08.94 Oh51
996:f5Dy.net
997:１３２人目の素数さん
17/03/16 18:00:56.77 /k5pY9BZ.net
>>945 中
0 < a_k < 1 より
(左辺) > a_1 + a_2 + … + a_n,
1 = √a_1 + √a_2 + … + √a_n > a_1 + a_2 + … + a_n,
辺々掛ける。
998:１３２人目の素数さん
17/03/19 15:18:46.64 guCpjB2q.net
>>942
R_n = ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx → 1 （n→∞)
(R_n)^2 - (r_n)^2 = (π/n)^2 → 0 （n→∞）
999:１３２人目の素数さん
17/03/20 18:16:48.99 ZS4SrzTA.net
For n≧2, let a_1, …, a_n be posithive real numbers. Prove
{ Π[i=1 to n] (1+a_i) }^{n-1} ≧ { Π[1≦i<j≦n] [1 + (a_i・a_j)/(a_i + a_j)] }^2
1000:１３２人目の素数さん
17/03/20 22:19:37.49 yRo4d+xZ.net
>>954
a,b>0のとき, a>ab/(a+b)だから
(1+a)(1+b)>(1+ab/(a+b))^2
これを使って終わり.
>>941も等号が成立しない気がする.
1001:１３２人目の素数さん
17/03/21 06:34:34.56 lHafklKO.net
>>954
a,b>0のとき、√ab ≧ ２ab/(a+b) だから
(1+a)(1+b) ≧ (1+√ab)^2≧ {1+２ab/(a+b)}^2
これを使って終わり.
等号成立は a_i = 一定 のとき。
1002:１３２人目の素数さん
17/03/23 23:56:17.13 foDcA2jG.net
>>953
1 - x^n < 1/(1+x^n) < 1 (0<x<1)
0 < 1/(1+x^n) < 1/x^n (1<x)
より、
1 - 1/(n+1) < ∫[0,1] 1/(1+x^n) dx < 1,
0 < ∫[1,∞) 1/(1+x^n) dx < 1/(n-1),
1003:１３２人目の素数さん
17/03/24 17:34:59.61 /hdr0DUv.net
>>953 (続き)
辺々たすと
n/(n+1) < ∫[0,∞) 1/(1+x^n) dx < n/(n-1),
一方、 >>942 より
1 < R_n < 1/{cos(π/n)}^(1/3),
1004:１３２人目の素数さん
17/03/29 06:28:52.30 qmY7hsva.net
Prove that the inequality
1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) + 2 ≧ 4/√(x+2) + 4/√(y+2)
holds for all pairs (x,y) of positive real numbers.
1005:１３２人目の素数さん
17/04/04 08:50:30.08 h0o7Rnkh.net
>>959
f(x,y) = 1/√(2x) + 1/√(2y) + 2/√(x+y) +2 -4/√(x+2) -4/√(y+2) とおく。
x=y のときは凸性から、
f((x+y)/2, (x+y)/2) = 4/√(2x) + 4/√(2+2) - 8/√(x+2) ≧0,
となる。
f(x､y) - f((x+y)/2, (x+y)/2) ≧ 0 を示さねば...
1006:１３２人目の素数さん
17/04/12 09:05:18.35 kkWXQg4L.net
(1)
Let a, b anc c be the lengths of the sides of a triangle with inradius r.
Prove a^6 + b^6 + c^6 ≧ 5184*r^6.
(2)
Suppose that f : [0,1] → R is a differentiable function with continuous derivative and with
∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] xf(x)dx = 1.
Prove that
∫[0,1] |f'(x)|^3 dx ≧ {128/(3π)}^2.
(3)
Calclate lim[x→∞] (Σ[n=1 to ∞] (x/n)^n )^(1/x).
(4)
Evaluate ∫[0, π/2] (sin x)/(1 + sqrt{sin 2x}) dx.
(5)
Calclate ∫[0,∞]∫[0,∞] (sin x * sin y * sin(x+y))/{xy(x+y)} dx dy.
(6)
Calclate Σ[n=1 to ∞] {2^(2n-1)/(2n+1)}*{(n-1)!/(2n-1)!!}^2 = π-2.
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
1007:１３２人目の素数さん
17/04/12 09:06:02.65 kkWXQg4L.net
(1) anc → and
1008:１３２人目の素数さん
17/04/12 22:09:51.74 kkWXQg4L.net
(7)
Find the greatest real number M such that the inequality
a^2 + b^2 + c^2 + 3abc ≧ M(ab + bc + ca)
holds for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a + b + c = 4.
(8)
Find the greatest real number M such that
(x＾2 + y^2)^3 ≧ M(x^3 + y^3)(xy - x - y)
for all real numbers x, y satisfying x + y ≧ 0.
(9)
Let a, b, c be nonnegative real numbers satisfying a^2 + b^2 + c^2 = 1. Prove that
sqrt(a + b) + sqrt(b + c) + sqrt(c + a) ≧ sqrt{ 7(a + b + c) - 3}
(10)
Prove that for all positive real numbers a, b, c satisfying a^2 + b^2 + c^2 + 2abc ≧1,
the following inequality holds:
1/a + 1/b + 1/c ≧ a/b + b/c + c/a + 2(a + b + c).
(11)
Find the greatest real number T satisfying
(x^2 + y)(x + y^2)/(x+y-1)^2 + (y^2 + z)(y + z^2)/(y+z-1)^2 + (z^2 + x)(z + x^2)/(z+x-1)^2 -2(x+y+z) ≧ T
for all real numbers x, y and z such that x+y≠1, y+z≠1, z+x≠1.
(12)
Show that for all nonnegative real numbers a, b, c satisfying a^2 +b^2 +c^2 ≦ 3 the following inequality holds:
(a + b + c)(a + b + c - abc) ≧ 2(a^2・b + b^2・c + c^2・a)
（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ
1009:１３２人目の素数さん
17/05/01 11:53:32.30 8wByLQwx.net
(e^(1/π) + e^e)/2 ≧ e^(1/3)
（*ﾟ∀ﾟ）=3ﾊｧﾊｧ
1010:１３２人目の素数さん
17/05/01 16:09:03.66 Gg+cOD9T.net
>>964
(左辺)>e^e/2>(e+1)/2>e^(1/2)>(右辺)
1011:１３２人目の素数さん
17/05/01 16:11:04.11 Gg+cOD9T.net
>>963
(10)反例 a=b=c=1
1012:１３２人目の素数さん
17/05/01 16:11:58.65 Gg+cOD9T.net
萎える
1013:￥
17/05/08 19:57:56.04 OR+quqWp.net
￥
1014:￥
17/05/08 19:58:19.10 OR+quqWp.net
￥
1015:￥
17/05/08 19:58:42.05 OR+quqWp.net
￥
1016:￥
17/05/08 19:59:07.75 OR+quqWp.net
￥
1017:￥
17/05/08 19:59:32.20 OR+quqWp.net
￥
1018:￥
17/05/08 19:59:56.65 OR+quqWp.net
￥
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17/05/08 20:00:21.27 OR+quqWp.net
￥
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17/05/08 20:00:42.72 OR+quqWp.net
￥
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17/05/08 20:01:06.04 OR+quqWp.net
￥
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17/05/08 20:01:27.26 OR+quqWp.net
￥
1023:１３２人目の素数さん
17/05/17 17:57:55.19 +8Z09fzP.net
もげる
1024:１３２人目の素数さん
17/05/20 00:42:07.99 VJhJZ8Xf.net
Bihari?LaSalle inequality
1025:１３２人目の素数さん
17/06/10 18:52:40.27 3dLjunNb.net
>>961 (1) コーシーで
(1+1+1)(1+1+1)(a^6 + b^6 + c^6) ≧ (aa+bb+cc)^3,
aa+bb+cc ≧ 36rr を示す。
>>961 (4) (π-2)/2,
>>964
1/π + 1/π + 1/e ≧ 1,
相加-相乗 または 凸性から
e^(1/π) + e^(1/π) + e^(1/e) ≧ 3e^(1/3),
1026:１３２人目の素数さん
17/06/10 19:06:10.51 3dLjunNb.net
ついでに
π + π + e ＞ 9,
(π +e+e) π ＜ 27,
ππe ＜ 27,
1027:１３２人目の素数さん
17/06/11 16:28:29.36 JurbFnaF.net
>>961 (1) コーシーで
(1+1+1)^5 (a^6 + b^6 + c^6) ≧ (a+b+c)^6,
一方、
a = r {cot(B/2) + cot(C/2)},
b = r {cot(C/2) + cot(A/2)},
c = r {cot(A/2) + cot(B/2)},
∴ a+b+c = 2r {cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2)} ≧ 6r cot((A+B+C)/6) = 6r cot(π/6) =（6√3）r
1028:１３２人目の素数さん
17/06/11 16:52:20.52 JurbFnaF.net
>>963 (7)
(a+b+c) {aa+bb+cc - M(ab+bc+ca)} + 12abc
= s(ss-2t) - Mst + 12u
= F_1(a,b,c) + (2-M)st + 3u (← Schur)
≧0,
∴ M=2
1029:１３２人目の素数さん
17/06/16 12:24:58.16 LCy4Y8vy.net
>>961 (1) >>982
(a+b+c)/2 = s とおく。
相乗-相加平均で
(s-a)(s-b)(s-c) ≦ (s/3)^3,
r = ⊿/s
= √{(s-a)(s-b)(s-c)/s} (Heron)
≦ s/(3√3)
= (a+b+c)/(6√3),
1030:１３２人目の素数さん
17/06/17 20:27:24.45 bhb/G+K8.net
問題と一緒に出典も書いてほしい
1031:１３２人目の素数さん
17/06/18 03:45:08.00 95rGKKjv.net
Flanders' Inequality を検索したら、空っぽだった…。
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
1032:１３２人目の素数さん
17/06/18 16:20:22.03 tfNCpQJl.net
>>986
【Flanders' inequality】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、
0 < sin(A)sin(B)sin(C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ABC ≦ (3√3)/8,
(初代スレ.668)
g(x) = log{sin(x)/x},
g '(x) = cot(x) - 1/x
1033:, g "(x) = 1/x^2 - 1/sin(x)^2 < 0, ゆえ、g(x) は上に凸。 【類題】A+B+C=π, 0<A,B,C<π のとき、 -1 < cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8, (初代スレを参照、右：557-558,566、中：580-587)
1034:１３２人目の素数さん
17/06/18 17:14:01.37 95rGKKjv.net
>>987
ありがたき幸せにござる。
1035:１３２人目の素数さん
17/06/23 00:32:52.83 P0aRc9y/.net
実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
1036:１３２人目の素数さん
17/06/23 00:51:31.25 4kCqmLoG.net
>>989
大学への数学7月号の表紙の裏の代ゼミの広告の問題（原題は最小値を求めよ）
1037:１３２人目の素数さん
17/06/23 00:56:35.78 P0aRc9y/.net
>>990
それは最小値のみ。改造済み。
1038:１３２人目の素数さん
17/06/23 00:57:54.04 P0aRc9y/.net
>>989
ちなみに出典は、「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」らしい。
1039:１３２人目の素数さん
17/06/23 03:23:02.02 P0aRc9y/.net
ノート整理中に見つけたが出典不明。正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。
改造しようと思ったが、すぐには思いつかんかった。
1040:１３２人目の素数さん
17/06/23 04:52:54.50 P0aRc9y/.net
>>993
(a^b)(b^c)(c^a) と (abc)^{(a+b+c)/3} との大小は定まるかな？
1041:１３２人目の素数さん
17/06/23 12:58:33.41 vMBsUZ6Z.net
>>993
対数とってチェビシェフ
>>994
さだまさし
(a, b, c) = (1/8, 8, 64) のとき
b log(a) + c log(b) + ａ log(c) > 100 > (a+b+c)/3 log(abc),
1042:１３２人目の素数さん
17/06/24 00:52:20.05 u2QpKHjV.net
>>995
さんくす。さだまさしか…。
1043:１３２人目の素数さん
17/06/24 01:17:12.91 u2QpKHjV.net
（不等式への招待 第５章 698、708より）
> a,b,c>0→a^{b+c}+b^{c+a}+c^{a+b}≧1
>
> (1) a,b,c の中に１以上のものがあるときは明らか。
>
> 次に M = Max{b+c,c+a,a+b} とおく。
>
> (2) a,b,c ≦ 1 かつ M ≦ 1 のとき
> b+c≦1, …, …
> y=x^(b+c) は xについて上に凸だから（x=1での）接線の下側にある。
> x^(b+c) ≦ 1 +(b+c)(x-1) ≦ 1 + (b+c)x,
> (1/x)^(b+c) ≧ 1/{1 + (b+c)x}, (ベルヌーイの式)
> x=1/a とおいて
> a^(b+c) ≧ a/(a+b+c),
> 循環的にたす。
>
> (3) a,b,c ≦ 1 かつ M ≧ 1 のとき
> 0 < a ≦ b,c ≦ 1 としても一般性を失わない。
> a+b, a+c ≦ b+c = M,
> (与式) ≧ b^(c+a) + c^(a+b)
> ≧ b^M + c^M
> ≧ 2･(M/2)^M (← 下に凸)
> ≧ 2(1/2) (← *)
> = 1,
>
> *) {M･log(M/2)} ' = 1 + log(M/2),
> ∴ (M/2)^M は M>2/e で単調増加。
> ∴ (M/2)^M ≧ 1/2, (M≧1)
>
> casphy - 高校数学 - 不等式 - 710～713
等号成立条件が分かりませんぬ。
1044:１３２人目の素数さん
17/06/24 01:19:48.15 u2QpKHjV.net
>>961-962
出典をきちんと記録してなかった。
URLﾘﾝｸ(www.komal.hu) などから適当に拾ってきたなり。
1045:１３２人目の素数さん
17/06/25 02:29:19.46 dLSgUfzK.net
そろそろ次スレ建てようと思うが、数学板はスレ落ち対策（スレが立ってすぐの時期に、一定時間書き込みが無かったら落ちる）しなくて大丈夫だっけ？
1046:１３２人目の素数さん
17/06/25 08:25:27.08 pKHgR4Is.net
去年たった２レスしかないスレがまだ残っているのを見ればわかるだろう
1047:１３２人目の素数さん
17/06/25 08:35:04.48 dLSgUfzK.net
>>1000
さんくす。専ブラ使っていて、不等式スレ、面白スレ以外はあぼーんしているので分からなかったぜ。
1048:１３２人目の素数さん
17/06/25 17:20:11.69 dLSgUfzK.net
a,b,c を正の定数、
x,y,z は ax+by+cz=1 をみたす実数、
min{ x/a, y/b, z/c } の最大値を求めよ。
（出典不明）
1049:１３２人目の素数さん
17/06/26 01:13:09.35 vrMzbwMW.net
>>1002
x/a=X, y/b=Y, z/c=Z とおく。
X,Y,Z は aaX + bbY + ccZ = 1 をみたす実数。
(aa+bb+cc)*min{X,Y,Z} ≦ aaX + bbY + ccZ = 1,
∴ min{X,Y,Z} ≦ 1/(aa+bb+cc),
1050:１３２人目の素数さん
17/06/26 01:23:02.89 vrMzbwMW.net
>>989-992
（-1000/√3, 1000/√3）に一票
1051:１３２人目の素数さん
17/06/26 01:24:06.95 xsefyNln.net
不等式への招待 第８章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
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