13/03/09 22:22:07.38 .net
・不等式の和書
[1] 不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代
3:科学社，1987年 http://amazon.jp/dp/4844372661 [4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/978432001... [5] 不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494 [6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812 [7] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740 [8] 不等式 ～ 21世紀の代数的不等式論 ～，安藤哲哉，数学書房，2012年 http://amazon.jp/dp/4903342700 ・不等式の項目を含む和書 [1] 数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年 http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988 [2] 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年 http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113... [3] 数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年 http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871 [4] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年 http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180... [5] 最大値と最小値の数学，P.J.ナーイン，シュプリンガー，2010年 http://amazon.jp/dp/4621062131 [6] 最大・最小（数学one Point双書24），服部泰，共立出版，1979年 http://amazon.jp/dp/4320012445
4:不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
13/03/09 22:24:39.92 .net
・不等式の洋書
[1] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[2] Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[3] Inequalities: Theorems (Techniques and Selected Problems)，Zdravko Cvetkovski，Springer，2012年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[4] Analytic Inequalities，Xingzhi Zhan，Dragoslav S., Dr. Mitrinovic，Springer，1970年
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
[5] Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics, No.1790)，Xingzhi Zhan，Springer，2002年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[6] Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics)，Rajendra Bhatia，Springer，1996年
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
・不等式の記事
[1] 特集 「現代の不等式」 （数理科学 No.386） ，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2] 特集 「不等式の世界」 （数学セミナー No.2-569） ，日本評論社，2009年2月号
URLﾘﾝｸ(amazon.jp)
[3] 連載 「不等式の骨組み」 （大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号
URLﾘﾝｸ(www.tokyo-s.jp)
5:不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
13/03/09 22:26:43.52 .net
・不等式の埋蔵地
[1] RGMIA URLﾘﾝｸ(rgmia.vu.edu.au)
[2] Crux Mathematicorum Synopses URLﾘﾝｸ(www.journals.cms.math.ca)
[3] Maths problems URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[4] Mathematical Inequalities & Applications URLﾘﾝｸ(www.ele-math.com)
[5] American Mathematical Monthly URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
[6] Problems in the points contest of KöMaL URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
[7] IMO リンク集 URLﾘﾝｸ(imo.math.ca)
[9] Mathematical Olympiads Correspondence Program URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
[10] Mathematical Excalibur URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
[11] MathLinks Contest URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE URLﾘﾝｸ(www.math.northwestern.edu) (要自動登録)
[13] Wolfram MathWorld URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
[14] GRA20 Problem Solving Group URLﾘﾝｸ(www.mat.uniroma2.it)
[15] American Mathematical Monthly Problems URLﾘﾝｸ(www.mat.uniroma2.it)
[16] Journal of Inequalities and Applications URLﾘﾝｸ(www.hindawi.com)
[17] すうじあむ URLﾘﾝｸ(suseum.jp)
・海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics URLﾘﾝｸ(jipam.vu.edu.au)
[2] MIA Journal URLﾘﾝｸ(www.mia-journal.com)
[3] MathLinks Math Forum URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
6:１３２人目の素数さん
13/03/09 22:35:09.24 .net
〔問題〕
a,b,c>0, (r=2/3 または r=1 または r≦0) のとき
{2a/(b+c)}^r + {2b/(c+a)}^r + {2c/(a+b)}^r ≧ 3.
を示せ。
casphy - 高校数学 - 不等式２ - 032-035, 042-043
USAMO ?
7:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1
13/03/10 07:31:04.00 .net
円周率をπと書く. 223/71 < π < 22/7. Archimedes の時代から知られていたらしい.
8:１３２人目の素数さん
13/03/10 23:03:05.50 .net
不等式大好きでつ！
9:１３２人目の素数さん
13/03/10 23:11:29.38 .net
>>2
追加でつ！
不等式への招待 第６章
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:901番)
901 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/12/06(木) 23:47:56.44
美しい不等式の世界 ─数学オリンピックの問題を題材として─
A5／272ページ／2013年01月25日
ISBN978-4-254-11137-8 C3041
定価3,990円（税込）
佐藤淳郎 訳
"Inequalities A Mathematical Olympicd Approach"の翻訳。
数学全般で広く使われる有名な不等式や実用的テクニックを系統立てて説明し，
数学オリンピックの問題をふんだんに使って詳しく解説。
多数の演習問題およびその解答も付す。
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ /
10:１３２人目の素数さん
13/03/11 12:45:08.18 .net
>>5
そういえば、東大の入試で円周率の不等式が出て話題になったな。
簡単と思いきや、出来が悪かったそうだ。
問題．円周率 π は、３．０５ より大きいことを証明せよ。
11:不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
13/03/12 00:25:08.56 .net
>>2 の修正
すまなんだ
まとめWikiからコピペしたら、長いURLは ...... と略されるのを忘れていました
>>2
・不等式の和書
[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
・不等式の項目を含む和書
[2] 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
[4] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
URLﾘﾝｸ(www.asakura.co.jp)
>>4
・不等式の埋蔵地
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE
URLﾘﾝｸ(www.math.northwestern.edu) (要自動登録)
∧＿∧
（´Д｀ ） 死んでお詫びを…
/ y/ ヽ
Σ(m)二フ ⊂[_ノ
（ノノノ | | | l ）
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
12:１３２人目の素数さん
13/03/12 15:48:06.49 .net
最近不等式の証明の世界を知りました高一です
学校ではn=2の場合においてのAM-GM不等式しか習いませんでした
ですが、最近とある人から数オリクラスの不等式の証明もある事を聞き興味を持ってます
まずこのスレに出てくるような問題を解くために勉強すべき事はなんでしょうか
現時点で三角関数までしかやってないです
13:１３２人目の素数さん
13/03/12 17:12:10.60 .net
>>11
あらゆる問題に触れる
14:１３２人目の素数さん
13/03/12 19:19:54.75 .net
何をおいてもまずは微分積分を身に着けてから
数Ⅲの教科書を取り寄せて勉強するべし
15:１３２人目の素数さん
13/03/13 00:24:33.98 .net
>>9
原点(0,0)を中心とする単位円上に2点
A (1, 0)
B (1/√2, 1/√2)
をとる。弧AB は円周の 1/8 である。
|AB|^2 = (1 - 1/√2)^2 + (1/√2)^2
= 2 - √2 > 2 - 1.414775 = 0.585225 = 0.765^2,
AB = √(2-√2) > 0.765
π > 4･AB > 3.06
16:１３２人目の素数さん
13/03/13 01:05:14.09 .net
>>9
2003年の東大理系の問題だったんだよね。
当時は小学校で円周率がおよそ３で済ます、ということになり、それでは数学教育として余りにも酷い、
というメッセージを世間に送る意味で出題させれたという時代背景があった。
一応日本の最高学府のしかも理系の問題でそれを提示することで、当時の数学教育に反論するのが狙い。
東大ともなると、単に難しい問題を出すだけでなく、高校数学界への影響も考慮してと意外と大変ですね。
17:１３２人目の素数さん
13/03/13 12:48:17.91 .net
今年の入試問題
URLﾘﾝｸ(nyushi.yomiuri.co.jp)
18:１３２人目の素数さん
13/03/13 21:44:36.82 .net
>>14
C (cosθ, sinθ)
とおくと、
|AC|^2 = (1-cosθ)^2 + (sinθ)^2
= 2(1-cosθ),
(例) θ=π/6 のとき
C((√3)/2, 1/2)
|AC|^2 = 2 - √3 = 0.268
π > 6|AC| > 3.10
|BC|^2 = 2 - √(3/2) - √(1/2) = 0.068
π > 12|BC| > 3.13
19:１３２人目の素数さん
13/03/14 00:28:02.56 .net
>>17
円周率の評価の証明で、弧度法を使ったらダメだろうが！
証明すべきこと（１周=2π）を使っているんだから、全然証明になってない。
20:１３２人目の素数さん
13/03/14 00:34:32.89 .net
１周=2πはsinの周期（あるいはexpの周期）からわかることです
問題ありません
21:１３２人目の素数さん
13/03/14 00:38:11.02 .net
証明すべきことは
＞問題．円周率 π は、３．０５ より大きいことを証明せよ。
なんだが
22:１３２人目の素数さん
13/03/14 00:44:08.22 .net
>>20
円周率の定義を知らないのか？
23:１３２人目の素数さん
13/03/14 00:45:34.17 .net
>>21
教えて
24:１３２人目の素数さん
13/03/14 01:20:56.01 .net
>>16
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…してもよろしいでしょうか？
25:１３２人目の素数さん
13/03/14 02:14:13.46 .net
>>15
円周率が3となっていたのは日能研の電車の吊り広告での話
実際の教科書見たらそうじゃないってのはすぐにわかるのに
メディアが円周率3って大きく取り上げた
それだけのこと
26:１３２人目の素数さん
13/03/14 02:26:39.53 .net
>>16
(1) x=1 で最小
（２） x＝y で最小、
最小値が x＝y＝１ のとき ０になる
おしまい
27:１３２人目の素数さん
13/03/15 00:26:03.20 .net
>>16 (1)
t≠1 のとき、f(x) = t^x は下に凸。
{f(c)-f(0)}/(c-0) ≧ f '(0) ≧ {f(0)-f(-b)}/{0-(-b)},
28:１３２人目の素数さん
13/03/15 04:39:07.65 .net
>>16 (2)
重み付き相加相乗平均より、
(a/(a+b+c))s + (b/(a+b+c))t + (c/(a+b+c))u ≧ s^(a/(a+b+c)) t^(b/(a+b+c)) u^(c/(a+b+c)).
上式に、 s = x^(a+b+c), t = y^(a+b+c), u = 1 を代入して整理。
29:１３２人目の素数さん
13/03/15 23:47:38.17 .net
>>16 (1)
上式に、 a=0, s>0, t=T^(b+c), u=1 を代入して整理。
30:１３２人目の素数さん
13/03/16 02:05:50.63 .net
今年の入試問題
URLﾘﾝｸ(kaisoku.kawai-juku.ac.jp)
31:１３２人目の素数さん
13/03/16 16:33:04.08 .net
x_i(1≦i≦n+1)は正の実数でx_1+x_2+……+x_n=1, x_(n+1)=0を満たす時
Σ[k=1_n]{√(Σ[p=1_k]x_k)×√(1+Σ[q=k+1_n+1]x_q)×x_k}＞π/4
32:１３２人目の素数さん
13/03/17 00:30:31.82 .net
>>30
半径1の四分円を幅がx_iになるようにスライスして面積を考える
33:１３２人目の素数さん
13/03/25 03:03:59.89 .net
>>30
【審議凍結】
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
／|／／ ／ ／ ／|
／／|／ ／ ／／ ／ ／ |
|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|.///.|
|／ | .∧,,∧. ∧,,∧.／／／ │ .|
| ∧∧(´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀)∧∧. .| .|
| (´‐ω‐).∧∧) (∧∧ (‐ω‐｀) .│///|
| ｜ Ｕ (´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀) と ﾉ .／| . |
| ｕ-ｕ （l ) ( ﾉ u-ｕ ／ .|/// |
| `ｕ.／ '／ｕ-u' | ／
|／／ ／／ ／／ .|／
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
34:１３２人目の素数さん
13/03/26 00:14:38.70 .net
>>30
y_0 = 1,
y_k = Σ[q=k+1,n] x_q
y_n = 0,
とおくと、y_k は単調減少で
(左辺) = Σ[k=1_n] √(1 - y_k) × √(1 + y_k) × {y_(k-1) - y_k}
= Σ[k=1_n] √{1 - (y_k)^2} × {y_(k-1) - y_k}
> Σ[k=1_n] ∫[y_k, y_(k-1)] √(1-yy) dy
= ∫[0,1] √(1-yy) dy （半径1の四分円 >>31)
= π/4.
35:１３２人目の素数さん
13/03/26 00:28:41.47 .net
>>29
どこの入試問題ですか？
36:１３２人目の素数さん
13/03/26 00:40:00.39 .net
問題の表記や文字から神戸大
37:１３２人目の素数さん
13/03/30 21:23:53.23 .net
〔問題〕
√(1+xx) － |x| = F(x) とおくとき、次を示せ。
(1) |xy|≦1/2 ⇒ F(x) + F(y) ≧ 1,
(2) |xyz| ≦ (4/3)^3 ⇒ F(x) + F(y) + F(z) ≧ 1,
(3) |xy| ≧ (3/4)^2 ⇒ F(x) + F(y) ≦ 1,
[元スレ.414, 459, 482]
casphy - 高校数学 - 不等式スレ [1-919]
38:１３２人目の素数さん
13/03/30 23:05:12.60 .net
>>36
(1) 分子を有利化する。
F(x) + F(y) -1 = √(1+xx) + √(1+yy) - (1+x+y)
= {2√(1+xx)･√(1+yy) - (-1+2x+2y+2xy)}/D1
= {1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)}/(D1･D2)
≧ 0, (← |xy|≦1/2)
ここに、D1 = √(1+xx) + √(1+yy) + (1+x+y) >0,
D2 = 2√(1+xx)･√(1+yy) + (-1+2x+2y+xy) >0,
(3) 上と同様に
1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)
= 1 + 2(1-2GG)(1+2x+2y)
≦ 1 + 2(1-2GG)(1+4G) (← AM≧GM)
= (3-4G)(1+2G)^2
≦ 0, (← G≧3/4)
39:１３２人目の素数さん
13/04/28 07:48:43.97 .net
実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=1 を満たすとき
xy^2 + yz^2 + zx^2 のとり得る値の範囲はどうもとめればいいでしょｙか
40:１３２人目の素数さん
13/04/28 10:08:16.03 .net
x≦y≦zとしてあげたらいいんじゃない？
41:１３２人目の素数さん
13/04/29 19:19:55.62 .net
>>38
ｷｬｽﾌｨｰの解答....
コーシーにより
(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ {(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2}(y^2 + z^2 + x^2),
等号成立は x=y=z のとき,
とし、右辺に
XY+YZ+ZX = {2(X+Y+Z)^2 -(X-Y)^2 -(Y-Z)^2 -(Z-X)^2}/6
≦ (1/3)(X+Y+Z)^2,
を使えばいいんじゃない？
(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ (1/3)(x^2 + y^2 + z^2)^3 = 1/3,
∴取り得る値の範囲は －1/√3 ～ 1/√3.
(x=y=z=±1/√3 のとき)
42:１３２人目の素数さん
13/04/30 15:56:19.65 .net
a,b,c∈R
(a^2+b^2+c^2)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3)
43:１３２人目の素数さん
13/04/30 21:32:41.45 .net
>>41
その問題は [第５章.288] のように、
p = a^2 -ca +bc,
q = b^2 -ab +ca,
r = c^2 -bc +ab,
とおくといいらしいよ。
p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
pq + qr + rp = ab^3 + bc^3 + ca^3,
より
(a^2 +b^2 +c^2)^2 - 3(ab^3 +bc^3 +ca^3)
= (p+q+r)^2 - 3(pq+qr+rp)
= (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}
≧ 0,
[第５章.268-269, 284-290]
[ｷｬｽﾌｨｰ 不等式１-517, 563]
44:１３２人目の素数さん
13/04/30 22:02:48.24 .net
〔類題〕
a,b,c ≧ 0 のとき
(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^(4/3)･b^(8/3) + b^(4/3)･c^(8/3) + c^(4/3)･a^(8/3)},
(略解)
相加･相乗平均により
(ab)^2 + (ab)^2 + b^4 = (a^2 +a^2 +b^2)b^2 ≧ 3a^(4/3)･b^(8/3),
循環的にたす。
45:１３２人目の素数さん
13/04/30 22:33:15.02 .net
第５章とはどの書物のことでしょうか
46:１３２人目の素数さん
13/04/30 23:03:40.70 .net
スレタイをよく読め
47:１３２人目の素数さん
13/04/30 23:09:46.08 .net
ああああああそうか
すみません
48:１３２人目の素数さん
13/05/26 20:35:53.55 .net
〔問題〕
n∈N のとき、
1/{2n + 4/(n+3)} < ∫[0,π/4] {tan(x)}^n dx < 1/(2n),
を示せ。（ﾌﾞﾘｼﾞｯﾀ）
casphy - 高校数学 - ∫積分∫ - 046
49:１３２人目の素数さん
13/05/31 23:01:32.22 .net
>>47
ｷｬｽﾌｨｰの解答....
(右)
tan(x) = t とおくと、dx = dt/(1+tt),
1+tt > 2t, （← 相加・相乗平均）
Ｉ_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt) dt
< ∫[0,1] t^(n-1) /2 dt
= [ (t^n) /(2n) ](x=0,1)
= 1/(2n),
(左)
Ｉ_n = 1/(n+1) - Ｉ_(n+2)
> 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
= (n+3)/{2(n+1)(n+2)}
= (n+3)/{2n(n+3) + 4}
= 1/{2n + 4/(n+3)},
50:１３２人目の素数さん
13/06/03 22:28:46.67 .net
>>48
Ｉ_n > 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
= ∫[0,1] (t^n)(1 - t/2) dt,
は t=1 で接線を引いて
1/(1+tt) ≧ 1 - t/2,
としたことに相当する。
さらに
1/(1+tt) ≦ (5-4t+tt)/4,
から、
Ｉ_n < {5/(n+1) -4/(n+2) +1/(n+3)}/4
= (nn+6n+10)／{2(n+1)(n+2)(n+3)}
= (nn+6n+10)／{2n(nn+6n+10) +2(n+6)}
= 1／{2n + 2(n+6)/[n(n+6)+10]}
= 1／{2n + 2/[n + 10/(n+6)]}.
51:１３２人目の素数さん
13/06/03 23:11:29.81 .net
ｷｬｽﾌｨｰから....
〔問題731〕
0 < |x| < π/2 のとき、
sin(x)/x > cos(x/√3) > cos(x)^(1/3),
（でえ）
52:１３２人目の素数さん
13/06/05 23:07:37.09 .net
↑のハイパボリック版...
〔問題738〕
sinh(x)/x > cosh(x/√3) > cosh(x)^(1/3),
(prime_132)
cos(√t) (0<t<π^2)、cosh(√t) は下に凸らしい....
53:１３２人目の素数さん
13/06/09 21:28:40.72 .net
>>50 右
g(t) = cos(√t) は下に凸。3倍角公式から、
cos(x/√3)^3 = {3cos(x/√3) + cos((√3)x)}/4
= {3g(xx/3) + g(3xx)}/4
> g(xx) (← Jensen)
= cos(x),
>51 右
g(-t) = cosh(√t) は下に凸。3倍角公式から、
cosh(x/√3)^3 = {3cosh(x/√3) + cosh((√3)x)}/4
= {3g(-xx/3) + g(-3xx)}/4
> g(-xx) (← Jensen)
= cosh(x),
54:１３２人目の素数さん
13/06/09 21:33:06.16 .net
>>52
g(t) は t≦20 で下に凸。
(略証)
・t>0 のとき
g(t) = cos(√t),
g '(t) = -sin(√t)/(2√t),
g "(t) = {sin(√t) - (√t)cos(√t)}/(4t√t),
そこで sinθ - θ･cosθ = 0, θ>0 となる最小のθを求める。
1/θ = 1/tanθ = tan((3/2)π - θ) > (3/2)π - θ,
1/θ + θ > (3/2)π > (20 + 1)/(√20),
θ > √20 ≧ √t,
・t≦0 のとき
マクローリン展開
g(-t) = 1 + (1/2!)t + (1/4!)tt + ････ + {1/(2k)!}t^k + ････
の係数がすべて正。
55:１３２人目の素数さん
13/06/10 20:40:07.13 .net
>>53
θ ～ 4.493409457909
= (3/2)π - 0.21897952247563
√20 ～ 4.472135955
56:１３２人目の素数さん
13/06/16 00:09:30.45 .net
左側はマクローリン展開。
>>50 左
sin(x)/x > 1 - xx/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7!
= 1 - xx/3! + (x^4)/216 + (x^4)(1/270 - xx/7!)
> 1 - xx/3! + (x^4)/216 (← xx<14)
> cos(x/√3),
>>51 左
2k+1 ≦ 3^k,
sinh(x)/x = ∑[k=0,∞) (xx)^k／(2k+1)!
> ∑[k=0,∞) (xx/3)^k／(2k)!
= cosh(x/√3),
57:１３２人目の素数さん
13/06/16 00:18:37.18 .net
成程
58:１３２人目の素数さん
13/06/18 22:07:49.29 .net
〔類題〕
|xyz| ≦1 のとき、次を示せ。
√(1+xx) + √(1+yy) + √(1+zz) -|x| -|y| -|z| ≧ 1,
[前スレ.414、459、482]
59:１３２人目の素数さん
13/06/18 22:12:24.34 .net
>>57
ｷｬｽﾌｨｰの解答....
√(1+xx) - |x|
= 1/{√(1+xx) + |x|}
≧ 1/(1+2|x|)
= X／{X + 2|x|^(1/3)}
≧ X／{X + 2/|yz|^(1/3)} (x≦1/yz)
≧ X／{X + 1/|y|^(2/3) + 1/|z|^(2/3)}
= X／(X + Y + Z),
ここに、X = 1/|x|^(2/3)、Y = 1/|y|^(2/3)、Z = 1/|z|^(2/3),
60:１３２人目の素数さん
13/07/12 NY:AN:NY.AN .net
a, b, c>0, (1/ab)+(1/bc)+(1/ca)=1 のとき.
(a-1)(b-1)(c-1)>=2(3√3-5)を示せ。
61:１３２人目の素数さん
13/07/17 NY:AN:NY.AN .net
>>59
例によって基本対称式を
a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u,
とおく。題意より
s = u,
9/t = 9/(ab+bc+ca) ≦ 1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca) = 1,
t ≧ 9,
したがって
(4t-9)[t + 3(2√3 -3)]^2 - 4t^3 = (t-9){3(16√3 -27)t + 27(2-√3)^2} ≧0,
Schur不等式（n=-2）より
0 ≦ F_(-2)(a,b,c)
= abc･F_1(1/a,1/b,1/c)
= (t^3 -4stu +9uu)/uu
= {4t^3 - (4t-9)(s+u)^2}/(4uu) (← s=u)
≦ (4t-9){[t + 3(2√3 -3)]^2 - (s+u)^2}/(4uu),
∴ [t + 3(2√3 -3)] ≧ s+u,
∴ (a-1)(b-1)(c-1) = u -t +s -1 ≦ 2(3√3 -5),
62:１３２人目の素数さん
13/07/18 NY:AN:NY.AN .net
昨日行ったファミレス。席に着くなり「ただいま○○フェアで
○○○○がお勧めです」と言うので「じゃあそれを」と頼んだら
「申し訳ありません、本日は完売となっております」って。
じゃあ勧めるなよおい。完売でもとにかく言わないといけないという
決まりでもあるのかね。
63:nobu
13/07/20 NY:AN:NY.AN .net
mixi招待してください
64:１３２人目の素数さん
13/07/20 NY:AN:NY.AN .net
>>59
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
a>1, b>1, c>1, で示せばいい。
附帯条件は
0 = (a-1)(b-1)(c-1) + (a-1)(b-1) + (b-1)(c-1) + (c-1)(a-1) -2
≧ (a-1)(b-1)(c-1) + 3{(a-1)(b-1)(c-1)}^(2/3) -2
= GGG +3GG -2
= (G+1)^3 -3(G+1)
= (G+1){(G+1)^2 -3},
ここに、 G = {(a-1)(b-1)(c-1)}^(1/3),
∴ G ≦ √3 -1,
∴ (a-1)(b-1)(c-1) = GGG ≦ (√3 -1)^3 = 2(3√3 -5),
（じゅー）
65:１３２人目の素数さん
13/07/25 NY:AN:NY.AN .net
log(x+√1+x^2)>sinx (x>0)
66:１３２人目の素数さん
13/07/26 NY:AN:NY.AN .net
ピーター・フランクルの本より出題
任意の実数xについて、
sinx+sin√2x≦2-1/(100*(1+x^2))
が成立することを示せ
67:１３２人目の素数さん
13/07/26 NY:AN:NY.AN .net
あんまし美しいと思えないなあその不等式
68:１３２人目の素数さん
13/07/26 NY:AN:NY.AN .net
>>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
|x| < π/2 のとき、｜tan(x)| > |x|
(d/dx)log(x+√(1+x^2)) = 1/√(1+x^2),
(d/dx)sin(x) = cos(x) = 1/√{1+tan(x)^2},
から出る。
|x| > sinh(1) = 1.1752 のとき
(左辺) = arcsinh(x) > 1 ≧ (右辺).
69:１３２人目の素数さん
13/08/28 NY:AN:NY.AN .net
〔問題17〕
非負値の多項式、たとえば
f(x,y,z) = (x^4)(y^2) + (x^2)(y^4) + (z^6) - 3(xyz)^2,
は
{xy(x-y)}^2 + (2|xy| + z^2)(|xy| - z^2)^2,
のように、|xy| と z^2 の多項式によって表わせますが、
x, y, z の多項式の平方の和では表わせないでしょうか？
(参) ヒルベルト「数学の問題」 No.17
70:１３２人目の素数さん
13/09/28 18:28:22.89 .net
自然数 n≧2 に対して次を示せ。
(1) Σ_[k=1]^n (-1)^{k+1} n_C_k (1/n^2 )^k < 1/n
(2) Σ_[k=1]^n n_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 1/n
(3) Σ_[k=1]^{2n} {2n}_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 2/(n-1)
ただし、n_C_k = n ! /( k! (n-k)! ) は二項係数とする。
71:１３２人目の素数さん
13/09/28 22:13:24.35 .net
>>69
それ数セミ10月号の問題じゃん
72:１３２人目の素数さん
13/10/04 06:41:24.02 .net
最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた
いまこそ、学問の)いち分い地一分野になれるかどうか
ともきいやた。
がんばれ不等式
俺は創業以あなた方ファンです。
73:狢 ◆yEy4lYsULH68
13/10/04 07:10:46.99 .net
狢
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
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74:１３２人目の素数さん
13/10/04 11:32:39.72 .net
>>71
> 最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた
ﾉ ∧ ／) ∧
彡 ノW ＼从／V W ＼ ミ
( ノ | ノ ＼)
∩V 、、 | >V7
（ｅLＬ／￣￣＼/ L／￣￣＼┘/3）
(┗（ )⌒（ ）┛/
~| ＼＿＿／ | ＼＿＿／ |~ ／￣￣￣￣￣￣
爻 < | ； 爻 ＜ 続けたまえ
~爻 ＼_／ ＿, 爻~. ＼＿＿＿＿＿＿
~爻__／⌒￣￣￣~~ヽ_ 爻~
／ ー￣￣＼_￣＼
＿一‘ ＜￣￣＼＼＼Ｊ
＜＼ ー￣￣ヽ_ヽＪ ￣＼_
＼ ＿ニニニヽ ） ~＼
＼ _／⌒|＼ ヽ_~~ ~⌒＼_
＿＿／~ V ＼_| ~＼＿
75:福地 裕
13/10/04 12:59:17.73 .net
１．不等式 ２１世紀の代数的不等式論 安藤 哲哉 著 数学書房
ソン何知ってるよたいしたことない。場合は笑って許して。でもここだけは
レベル上げといてね。他はたよりにならんから。
これは大田図書館（大田区）でみつけた。
76:福地 裕
13/10/04 13:05:05.59 .net
もう一冊は楽しめそう。
美しい不等式の世界
ーーーー数学オリンピックの問題を題材としてーーーーー
砂糖 淳郎 訳 朝倉書店
残念ながらともに大田図書館所蔵です
77:福地 裕
13/10/04 13:07:23.30 .net
私は真摯な数学ファンのあなた方のファンです。がんばってください、
78:１３２人目の素数さん
13/10/04 17:05:18.87 .net
安藤さんは数オリの問題を何問も解いた天才だな
79:１３２人目の素数さん
13/10/07 10:30:44.11 .net
>>77 ご用ですか？
ところで，3変数4次巡回不等式
f(x,y,z) = Σx^4 + A Σx^3 y + B Σ x y^3 + C Σ x^2 y^2 + D Σ x^2 y z
が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
A, B, C, D についての必要十分条件を求めました．
複雑でここに書けないので，以下のプレプリの
Theorem 3.5, Theorem 3.6をご覧下さい．
(2ch制限でLinkが貼れないので，
[安藤哲哉] → 論文・プレプリコーナー → 論文[9] で探して下さい)
80:１３２人目の素数さん
13/10/07 10:33:47.42 .net
(直前の続き ---- 長すぎで2chで拒否されるので)
日本語で読みたい方は以下の正誤表の補遺(系2.3.9b, 系2.3.9c)をご覧ください．
(Linkを貼ろうとすると2chから怒られるので，
[安藤哲哉] → 「不等式」正誤表 で探して下さい)
ここで，S_4=Σx^4, S_{3,1}=Σx^3 y, S_{1,3}=Σ x y^3, S_{2,2}=Σ x^2 y^2, US_1 = Σ x^2 y z です．
81:１３２人目の素数さん
13/10/07 10:44:43.57 .net
すいません。>78 でタイプミスしました。
> が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
が任意の非負実数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
82:１３２人目の素数さん
13/10/08 18:28:27.55 .net
証明の肝が不等式であることは実際多いんだよ。
君が何を証明したいにしてもね。
83:１３２人目の素数さん
13/10/13 19:40:49.65 .net
〔問題〕
0 < A,B,C ≦ π/2（△ABCは鈍角△でない）とき、
cos(A)cos(A)cos(B) + cos(B)cos(B)cos(C) + cos(C)cos(C)cos(A) ≦ 2/(3√3),
等号成立は (cosA, cosB, cosC) = (0, √（2/3), √(1/3)）またはその rotation.
を示せ。
ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 095
84:１３２人目の素数さん
13/10/14 03:23:11.65 .net
>>69-70
便宜上 C[n,n+1] = 0 としておく。
(1) Σ_[k=1,n] (-1)^{k+1} C[n,k] (1/nn)^k
= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] {C[n,2k](1/nn)^(2k) - C[n,2k+1] (1/nn)^(2k+1)}
= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] C[n,2k](1/nn)^(2k) {1 - [(n-2k)/(2k+1)](1/nn)}
< C[n,1] (1/nn) = 1/n,
(2) Σ_[k=1,n] C[n,k]{1/(nn-1)}^k > C[n,1]{1/(nn-1)} = n/(nn-1),
85:１３２人目の素数さん
13/10/14 03:26:51.02 .net
>>69-70
(3) Σ_[k=1,2n] C[2n,k]{1/(nn-1)}^k > C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2
86: + C[2n,3]{1/(nn-1)}^3 > C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + {6(nn-1)(n-2)/3!}{1/(nn-1)}^3 = C[2n,1]{1/(nn-1)} + n(2n-1){1/(nn-1)}^2 + (n-2){1/(nn-1)}^2 = C[2n,1]{1/(nn-1)} + 2(nn-1){1/(nn-1)}^2 = 2n{1/(nn-1)} + 2{1/(nn-1)} = 2(n+1)/(nn-1) = 2/(n-1),
87:１３２人目の素数さん
13/10/16 16:39:34.30 .net
S_{m,n} = a^m･b^n + b^m･c^n + c^m･a^n, >>79
[Corollary 2.6]
f(a,b,c) = S_3 + p･S_{2,1} + q･S_{1,2} + r･U.
とおく。任意の a,b,c∈Ｒ_+ に対して f(a,b,c)≧0 が成り立つための条件は、
以下の２つの条件が成り立つことである。
(1) f(1,1,1) = 3+3p+3q+r ≧ 0.
(2) 4p^3 + 4q^3 +27 ≧ (pq)^2 +18pq or "p≧0 and q≧0"
//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq17.pdf
88:１３２人目の素数さん
13/10/16 17:27:41.96 .net
>>78
〔定理2.3.9d.〕
f(x,y,z) = S_4 + A･S_{3,1} + B･S_{1,3} + C･S_{2,2} + D･U･S_1,
は
f(1,1,1) = 3(1+A+B+C+D) = 0,
を満たすとする。任意の非負実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための条件は、
以下の(1)～(6)のいずれかが成立することである。
89:１３２人目の素数さん
13/10/16 17:30:44.20 .net
>>78 （続き)
(1) C+2≧0, A+B≧0, A≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(2) C+2≧0, A+B≧0, B≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(3) C+2≧0, -√(C+4) ≦ A+B ≦ 0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2), φ(A,B,C)≧0.
(4) C+2≧0, A+B≧0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2).
(5) C≧0, AA+AB+BB ≦ 3C+3.
(6) C+2≦0, A+B≧0, φ(A,B,C)≦0.
ここに、φ(A,B,C) = (ABC)^2 -4(AB)^3 +18(AA+BB)ABC -4(AA+BB)C^3 -(27A^4 +6AABB +27B^4) +16C^4 -80ABCC +144(AA+BB)C -192AB -128CC +256
//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf
90:１３２人目の素数さん
13/10/19 10:25:56.89 .net
>> 87
その話で，f(1,1,1)=0という条件をはずした場合はどうなるのかというと，
実はかなり難しいのです。
「不等式」正誤表の末尾に，その話を追加しておきました。
長くて難しい話ですので，そちらをご覧下さい。
Linkは>>87の通りです。
91:１３２人目の素数さん
13/10/19 18:40:21.91 .net
>>86-87
(A,B,C,D) = (0,-3,2,0） の場合が >>41-42
92:１３２人目の素数さん
13/10/20 00:02:09.40 .net
>>41
和書[8], p.74-75 例題2.3.10 (3)
〔類題〕
a,b,c∈R のとき
(a^2+b^2+c^2)^2 + (8/√7)(aaab+bbbc+ccca) ≧ 0,
和書[8], p.77-78 例題2.3.13 (2)
93:１３２人目の素数さん
13/10/21 23:40:17.56 .net
〔問題〕 次式を代数的に示せ。
(1) x≧y≧1 のとき、
1/(1+x^n) + (n-1)/(1+y^n) ≧ n/(1+x･y^(n-1)),
(2) a_1, a_2, ････, a_n ≧ 1 のとき、
1/(1+a_1) + 1/(1+a_2) + ･･･････ + 1/(1+a_n) ≧ n/(1+G),
ここに、G = (a_1･a_2･･････a_n)^(1/n),
和書[8]、p.170 例題3.3.9 (10)
94:ななし
13/10/22 00:26:11.28 .net
>>91
(1) n=1のときは明らかなので n≧2とする。
移項して分母を払うと
{n + (n-1)x^n + y^n}{1+x･y^(n-1)} - n(1+x^n)(1+y^n)
= {x･y^(n-1)}⊿_1 - ⊿_2
≧ ⊿_1 - ⊿_2 (← x･y^(n-1) ≧1)
= (x-y)^2 Σ[k=0,n-2] (k+1){x^k･y^(n-2-k) - x^(n-2-k)･y^k}
= (x-y)^3 Σ[k=0,n-3] (k+1)(n-2-k) x^k y^(n-3-k)
≧ 0, (← x-y≧0)
ここに
⊿_1 = (n-1)x^n - n･x^(n-1)･y + y^n
= Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)x^(n-1-k) ≧ 0,
⊿_2 = x^n - n･x･y^(n-1) + (n-1)y^n
= Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)y^(n-1-k) ≧ 0,
(2) nについての帰納法で。
和書[8] のような解析的な方法もあるが....
95:１３２人目の素数さん
13/10/25 13:26:38.30 .net
確率関連の不等式（Markovの不等式とか，Hoeffdingの不等式とか）が充実してる本やサイトってない？
どの本にも載ってなさげなんだが．．．
96:１３２人目の素数さん
13/10/25 15:43:17.57 .net
stochastic inequalities とか probability inequalities でAmazon検索すればいっぱい出てくる
97:１３２人目の素数さん
13/10/30 12:23:26.57 .net
>>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
|t| >
98:｜tanh(t)| (d/dt)arcsin(t) = 1/√(1-tt), (d/dt)sinh(t) = cosh(t) = 1/√{1-tanh(t)^2}, から |t|≦1 のとき arcsin(t) > sinh(t) > 0, が出る。 t > sin(sinh(t)) > 0, |t| ≧ 1 でもこの式が成立つことは明らか。 sinh(t) = x とおくと arcsinh(x) > sin(x) > 0,
99:１３２人目の素数さん
13/11/07 11:41:28.21 .net
ｷｬｽﾌｨｰから....
〔問題〕
A,B,C>0, ABC ≧1 のとき
(A+1)/(A+B+1) + (B+1)/(B+C+1) + (C+1)/(C+A+1) ≦ 2,
B/(A+B+1) + C/(B+C+1) + A/(C+A+1) ≧ 1,
等号成立は A=B=C=1.
casphy - 高校数学 - 不等式２ - 028(5), 112
100:１３２人目の素数さん
13/11/15 01:38:28.47 .net
幾何的な不等式でもよければ
幾何学大辞典にもけっこう載ってるよね
著者本人が見つけたやつもいっぱい出てるからチェックしてみるといいよ
101:ななし
13/11/15 15:47:56.27 .net
ｷｬｽﾌｨｰ! 不等式２ の じゅー さんへ。
まづはWEBで....
「一般化固有値問題」（明治大）
URLﾘﾝｸ(www.math.meiji.ac.jp)
「極値としての固有値」（東京大）
URLﾘﾝｸ(www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp)
「§１固有値問題」（早稲田大）
URLﾘﾝｸ(www.waseda.jp)
「Rayleigh商と2次形式の最大値,最小値」 - Quod Erat Demonstrandum
URLﾘﾝｸ(deepwave.web.fc2.com)
102:ななし
13/11/21 00:38:50.46 .net
同スレから....
(2) a,b,c >0 のとき
(ab+bc+ca){1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2} ≧ 9/4,
等号成立は a=b=c
(6) x,y,z >0 のとき
xxx(yy+zz)^2 + yyy(zz+xx)^2 + zzz(xx+yy)^2
- xyz{xy(x+y)^2 + yz(y+z)^2 + zx(z+x)^2} ≧ 0,
ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126～133
103:１３２人目の素数さん
13/11/21 01:47:49.32 .net
ここで聞くのはスレチだとは思うがわかる人がいたら教えてほしい
以前は Live2ch で ｷｬｽﾌｨ! を見れていたのだが
いつからか読み込めなくなった
同じ症状の人いない？
104:１３２人目の素数さん
13/11/24 14:28:07.16 .net
>>99
〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が△の三辺をなすとき
x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
（じゅー）
ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131～132
105:１３２人目の素数さん
13/11/24 20:20:27.12 .net
>>99
〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が a,b,c と同順または逆順のとき
x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
（じゅー）
ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131～132
106:１３２人目の素数さん
13/11/26 20:40:41.50 .net
>>99 (6)
yはxとzの中間にあるとしてよい。
(左辺) - (右辺) = A(x-y)^2 + (A-B+C)(x-y)(y-z) + C(y-z)^2,
ここに
A = yz(y^3 +z^3) + x(y-z)(y^3 -z^3) > 0,
A-B+C = 2{(z+x)y - xz}y^3 ≧ 2{Max(x,z)min(x,z) - xz}y^3 = 0,
C = xy(x^3 +y^3) + z(x-y)(x^3 -y^3) > 0,
より成立。
註) z+x > Max(x,z) > 0, y ≧ min(x,z) > 0, を辺々掛けた。
107:１３２人目の素数さん
13/12/19 20:54:29.76 .net
>>99
(1)
a,b,cは相異なる正の実数とする。
ab･log(a/b)/(a-b) + cyc. ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,
を示せ。log は自然対数です。
(8)
任意の正の実数a,b,cに対し
a/√(a+b) + b/√(b+c) + c/√(c+a) ≦ (5/4)√(a+b+c),
等号成立は (a,b,c) = (3,1,0) またはその rotation.
ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126
108:１３２人目の素数さん
13/12/26 01:23:03.85 .net
|Aut(L/K)|≦[
109:L:K]
110:１３２人目の素数さん
14/01/02 01:31:00.06 .net
>>104 (1)
x>0 のとき
2Log(x)/{x -(1/x)} = (2t)/{exp(t) - exp(-t)}
= t/sinh(t)
≦ 1,
より
√(ab)･Log(a/b)/(a-b) = Log(a/b)/{√(a/b) - √(b/a)} ≦ 1,
よって
(左辺) ≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,
111:１３２人目の素数さん
14/01/05 07:45:41.88 .net
↓の不等式うまい方法あるかな ？
a[i],b[i],c[i]＞0および
a[i],{b[i]/c[i]}は減少列のとき
（Σa[i]b[i]）／（Σa[i]c[i]）≧（Σb[i]）／（Σc[i]）
112:１３２人目の素数さん
14/01/05 11:44:03.96 .net
別にうまくないけど。
分数が嫌だから、b[i]/c[i]をあらためてb[i]として、式を整理すると、
(Σa[i]b[i]c[i]）(Σc[i]）≧(Σa[i]c[i])(Σb[i]c[i]）.
これは (左辺)-(右辺)＝Σ[i<j](a[i]-a[j])(b[i]-b[j])c[i]c[j]≧0 からいえる。
113:１３２人目の素数さん
14/01/18 19:41:47.51 .net
〔問題158〕
a,b,c >0,
aa+bb+cc + abc = 2(ab+bc+ca),
のとき
(ab+bc+ca) ≦ 3(a+b+c),
を示せ。
ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 158,161
114:１３２人目の素数さん
14/01/19 12:23:09.17 .net
〔問題163〕
0≦a,b,c≦1 のとき,
2(a^3+b^3+c^3) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
等号成立は (a,b,c) = (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 163,164
115:１３２人目の素数さん
14/01/19 20:56:00.76 .net
>>109
条件式と aa+bb ≧ 2ab から
(c+ab)c ≦ (2a+2b)c,
c>0 で割って
ab ≦ 2a+2b -c,
循環的にたす。
>>110
1 +aab -(aa +b) = (1-aa)(1-b) ≧ 0,
から
(aa+bb+cc) + (a+b+c) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
が出る。
116:１３２人目の素数さん
14/02/04 00:05:10.49 .net
x+y=2のとき、1/(1+x^2) + 1/(1+y^2) のとりうる範囲は？
普通にやったら泥臭くて吐いた。
(通分してq=xyのみの式に直したもの=kとおき、分母を払って整理した
qの2次方程式がqのとりうる範囲内に少なくとも1つの解を持つ云々)
きれいな解法求む。
117:１３２人目の素数さん
14/02/05 21:27:47.56 .net
>>112
xx+yy = (x+y)^2 -2xy = 4-2q,
1/(1+xx) + 1/(1+yy) = (2+xx+yy)/(1+xx+yy+xxyy)
= (6-2q)/(5-2q+qq) = k,
よって
-(√2 - 1)/2 < k ≦ (√2 + 1)/2,
最大は q = (√2 - 1)^2 のとき
最小は q = (√2 + 1)^2 のとき
118:１３２人目の素数さん
14/02/05 21:29:49.64 .net
入試問題や模試や大学への数学などから持ってきますた。（じゅー）
[1]
|z+1/2| < 1/2 のとき
|1+z+…+z^n| < 1 を示せ。 (東工大前期)
[2]
xx+yy+zz=1 のとき
(1) (x-y)(y-z)(z-x)
(2) (2x-y)(2y-z)(2z-x)
の取りうる最大の値を求めよ。 (大数宿題)
[3]
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき
a+b+c ≧ ab+bc+ca を示せ。(大学宿題)
[4]
(xx+yy)^2 = xx-yy のとき
x+y の取りうる最大の値を求めよ。(早大プレ)
ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 170
119:ななし
14/02/05 21:50:26.43 .net
>>114 [3]
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
s<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴ 3 ≦ s < 4,
4s(s-t) = -s^3 +4ss -9u + F_1(a,b,c)
= -s^3 +4ss -9(4-s) + F_1(a,b,c)
= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
≧ 0,
ここに
F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur)
120:ななし
14/02/07 20:38:22.91 .net
>>114
[1] zは中心-1/2, 半径1/2 の円内にある。
|z| ≦ |z +1/2| + 1/2 < 1,
また、|z|^2 = zz~ = (z +1/2)(z~ +1/2) -1/4 -(z+z~)/2 < -(z+z~)/2,
∴ |1 - z^(n+1)| ≦ 1 + |z|^(n+1)
< 1 + |z|^2
< √(1+3|z|^2)
121: < √{1 -(z+z~) +zz~} = √{(1-z)(1-z~)} = |1-z|, [2] (1) x≦y≦z とする。 (x-y)(y-x) ≦ (1/4)(z-x)^2, 等号は y=(x+z)/2 のとき。 ∴ (x-z)^2 = 2{xx + [(x+z)/2]^2 + zz - (3/4)(x+z)^2} ≦ 2{(xx+yy+zz) - (3/4)(x+z)^2} = 2{1 - (3/4)(x+z)^2} ≦ 2, 等号成立は (x,y,z) = (-1/√2, 0, 1/√2) (左辺) ≦ (1/4)(z-x)^3 ≦ 1/√2, 下限も同様に [4] 軸を45ﾟ回す。 u = (x+y)/√2, v = (x-y)/√2, 与式は (uu+vv)^2 - 2uv = 0, ここで、du/dv=0, とおくと、 2v(uu+vv) -u = 0, u = 8v^3 = (√3)v, (u, v) = (±√{(3√3)/8}, ±√{(√3)/8}) 2(uu+vv) = u/v = √3,
122:ななし
14/02/07 21:06:57.69 .net
>>114 [4]
連珠形とか、Jakob Bernoulli のレムニスケート（Lemniscate）
というらしい....
123:ななし
14/02/09 18:15:15.66 .net
>>115
出題者によれば
”今のところ、対称性を崩さない綺麗な証明は見つかっていない。”
Schur不等式にもそのまま言えそう...
124:115
14/02/11 22:14:41.65 .net
>>118
F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(c-a) + c(c-a)(c-b)
= (ab+ca)(a-b)(a-c)/(b+c) + ･････
= ab{(a-b)(a-c)/(b+c) + (b-c)(b-a)/(c+a)} + ･･････
= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
≧ 0 （じゅー）
125:１３２人目の素数さん
14/02/11 23:21:48.73 .net
x^3+y^3+z^3=1 (x,y,z>0)の時
xxy+zzxの取りうる最大値を求めよ
(東進数学コンクール)
結局スマートな解法が思いつかないまま〆切を迎えてしまいました
126:１３２人目の素数さん
14/02/12 22:54:44.26 .net
過去問でつが……
〔問題908〕
正の実数 a,b,c に対して、次を示してくださいです。
{(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 ≧ 27abc(a^3 +b^3 +c^3),
2ch - 数学板 - 不等式スレ６ - 908
ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式１ - 964
127:１３２人目の素数さん
14/02/15 12:56:22.22 .net
120 Chebyshev kills it
We could see a Golden Section
128:１３２人目の素数さん
14/02/16 15:57:03.91 .net
>>121
(a+b+c)(aa+bb+cc) = S+p+q,
ここに
S = aaa + bbb + ccc,
p = aab + bbc + cca,
q = abb + bcc + caa,
(左辺) = (S+p+q)^2
≧ 9(Spq)^(2/3)
≧ 9(SS･27SU)^(1/3) (← 補題)
= 27Su,
ここに
S = aaa + bbb + ccc,
T = (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3,
U = u^3 = (abc)^3,
〔補題〕
pq ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),
(略証)
pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
= T + uS + 3uu
≧ 3(3STU)^(1/3)
≧ 3√(3SU), {← T≧√(3SU)}
129:１３２人目の素数さん
14/02/16 16:05:17.43 .net
>>123
〔補題〕
pq ≧ T + 2√(3SU) ≧ 3√(3SU),
(略証)
pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
= T + uS + 3uu
≧ T + 2√(3SU)
≧ 3√(3SU), {← T≧√(3SU)}
130:１３２人目の素数さん
14/02/17 18:51:56.53 .net
>>112-113
0 < k ≦ (√2 + 1),
極大は q = (√2 - 1)^2 のとき
下限は q → -∞ のとき
131:１３２人目の素数さん
14/02/17 23:49:38.94 .net
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
132:１３２人目の素数さん
14/02/20 20:58:32.81 .net
〔問題179〕
x,y,z>0、xyz=1 のとき、
[Easy]
xx+yy+zz ≧ 3 + 2(x-1)(y-1)(z-1),
[Hard]
xx+yy+zz ≧ 3 + 2(1-x)(1-y)(1-z),
を示してくださいです。
[Hard] は [Easy] と比較して難しいかなぁって感じでつ。
（じゅー）
ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 179
133:ななし
14/02/20 21:12:45.27 .net
>>127
Easy の方は
(左辺)－(右辺) = (x+y+z+1)(x+y+z-3) - 2(xyz-1) ≧ 0 だが...
134:ななし
14/02/21 19:15:17.77 .net
>>127
x+y+z = s,
xy+yz+zx = t,
xyz = u,
とおくと Hard の方は
(左辺)－(右辺) = (ss-2t) -3 +2(u-t+s
135:-1) = (ss-4t) +2(u-1) +2s -3 = {F_1(x,y,z) -9u}/s + 2(u-1) +2s -3 = {F_1(x,y,z) +(2s-9)(u-1) +(s-3)(2s+3)}/s ≧ 0, （天ぷら） ここに F_1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) = sss -4st +9u ≧ 0, （Schur）
136:１３２人目の素数さん
14/03/01 10:21:13.88 .net
今年の不等式関連の入試問題
URLﾘﾝｸ(nyushi.yomiuri.co.jp)
URLﾘﾝｸ(nyushi.yomiuri.co.jp)
URLﾘﾝｸ(nyushi.nikkei.co.jp)
137:１３２人目の素数さん
14/03/01 10:28:30.65 .net
数オリ
URLﾘﾝｸ(www.imojp.org)
URLﾘﾝｸ(www.imojp.org)
138:１３２人目の素数さん
14/03/01 12:30:14.33 .net
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜興奮してきた…
人 Y /
( ヽ し
（＿）＿）
139:１３２人目の素数さん
14/03/01 18:40:56.44 .net
>>131 (2014年JMO本選)
〔問題5.〕
不等式
a/{1+9bc+4(b-c)^2} + b/{1+9ca+4(c-a)^2} + c/{1+9ab+4(a-b)^2} ≧ 1/2,
が a+b+c=1 をみたす任意の非負実数a,b,cに対して成り立つことを示せ。
140:１３２人目の素数さん
14/03/03 02:35:18.55 .net
>>130
イェンゼンをそのまま出すってつまらないな
141:１３２人目の素数さん
14/03/05 21:41:46.78 .net
>>133
a+b+c=s のとき、コーシーにより、
{a[ss+9bc+4(b-c)^2] + b[ss+9ca+4(c-a)^2] + c[ss+9ab+4(a-b)^2)]}(左辺)
≧ (a+b+c)^2 = ss,
よって
(左辺) ≧ ss/{sss+27abc+4[s(ab+bc+ca)-9abc]}
= ss/{sss +4s(ab+bc+ca) -9abc}
≧ ss/(2sss) (← Schur)
= 1/(2s), (じゅー)
142:１３２人目の素数さん
14/03/09 23:29:23.76 .net
この『じゅー』って今年阪大挑戦枠受かった子？
143:１３２人目の素数さん
14/03/10 01:21:57.02 .net
知らんがなｗ
144:１３２人目の素数さん
14/03/10 01:30:38.44 .net
自己紹介乙！
145:１３２人目の素数さん
14/03/10 08:24:33.61 .net
阪大の合格発表見たけど
数学挑戦枠の合格者一人だけだった
去年に引き続きなかなかエグい試験だったってことだな
146:１３２人目の素数さん
14/03/11 04:31:34.09 .net
この人
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
147:prime_132
14/03/15 21:42:02.66 .net
いちょう祭が楽しみ...♪
ちなみに小生は学科違いの S53入、S59院卒 だが何か？
148:１３２人目の素数さん
14/03/15 22:14:50.71 .net
>>136-141
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
へ ﾄﾞｿﾞｰ
149:１３２人目の素数さん
14/03/17 23:38:33.45 .net
a,b,cは負でない実数でかつab+bc+ca+abc=4を満たす時
a+b+c≧ab+bc+ca
150:１３２人目の素数さん
14/03/20 23:49:29.60 .net
>>114 [3] の類題？
>>115
151:ななし
14/03/24 20:20:36.02 .net
>>143
s,t,u を >>115 のようにおく。
t<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴ 3 ≦ t < 4,
s≧4 のときは明らか。
s<4 のとき
(4s+9)(s-t) = -s^3 +4ss +9(s-t-u) + F_1(a,b,c)
= -s^3 +4ss +9(s-4) + F_1(a,b,c)
= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
≧ 0, (← s≧√(3t)≧3)
ここに
F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur)
152:１３２人目の素数さん
14/03/29 01:38:18.83 .net
>>120
相加-相乗平均
axxx + axxx + yyy ≧ (1/k)xxy,
(1-2a)xxx + zzz/2 + zzz/2 ≧ (1/k)xzz,
を辺々たすと
xxx+yyy+zzz ≧ (1/k)(xxy+xzz),
係数を比べて、
aa = (1-2a)/4 = 1/(3k)^3,
aを消すと、
k = (1/3)(1+√5)^(2/3) = 0.729273617
casphy - highmath - 不等式２ - 173-174
//twitter.com/Inequaltybot/ [181]
153:１３２人目の素数さん
14/04/01 22:21:02.29 .net
正数x,y,zが
154:xyz = 1 のとき x^3 + y^3 + z^3 + 1/x^3 +1/y^3 + 1/z^3 - 6*( x/z + y/x + z/y ) +12 ≧0 って成り立ちますか？
155:１３２人目の素数さん
14/04/02 09:59:59.81 .net
ｘ＾２－ｘ－１＝０。
ｙ＝１。
ｚ＝ｘ－１。
156:１３２人目の素数さん
14/04/05 21:17:36.82 .net
正変数a_1, a_2, ・・・, a_n について A_n = (a_1+a_2+・・・+a_n)/n , G_n = (a_1*a_2*・・・*a_n)^(1/n) とするとき
n(A_n-G_n) ≧ (n-1)(A_(n-1) - G_(n-1))
が成り立つそうなのですがどう示されるのでしょう
157:１３２人目の素数さん
14/04/07 20:05:40.74 .net
(a^4+b^4+c^4)^3≧(a^3+b^3+c^3)^4ってどうやって示せばいいんだっけ
158:１３２人目の素数さん
14/04/07 20:26:10.23 .net
頭わるそうなやり方だけどlog取って12で割って増減調べりゃいいんじゃない
159:１３２人目の素数さん
14/04/07 22:52:36.08 .net
a=b=cの時成り立たなさそうなんだがどうなの
160:１３２人目の素数さん
14/04/14 01:07:10.40 .net
〔問題〕
a,b,c>0 に対して、次を示してくださいです。
(a+b+c)^2･(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 24abc(aa+bb+cc),
//twitter.com/Inequalitybot/ [196]
161:１３２人目の素数さん
14/04/19 11:15:48.14 .net
URLﾘﾝｸ(sothear.files.wordpress.com)'x%5E2y%5E2z%5E22xyz%3D1'
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
162:１３２人目の素数さん
14/04/20 08:45:13.02 .net
√2 + √3 > π を証明せよ、ゆとり向けに。
163:１３２人目の素数さん
14/05/04 03:05:01.23 .net
2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。
この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,
√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,
ぬるぽ
164:１３２人目の素数さん
14/05/04 03:24:20.18 .net
>>149
a_n = a と略記する。
n･A_n = (n-1)A_(n-1) + a,
n･G_n = n･{G_(n-1) ^(n-1)･a}^(1/n)
≦ (n-1)G_(n-1) + a, (←相乗･相加平均)
辺々引く。
ぬるぽ
165:１３２人目の素数さん
14/05/04 04:15:33.55 .net
>>114-116
[1] ･･･ [183]
[2] ･･･ [182]
[3] ･･･ [184]
[4] ･･･ [178]
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
166:１３２人目の素数さん
14/05/07 00:25:04.63 .net
>>143-145
(別解)
a,b,c の2つが1以上、または2つが1以下。
a,b をその2つとすると
4 = (a+b+c) + abc = (a+b)(1+c) + (1-a)(1-b)c ≧ (a+b)(1+c),
(a+b+c) - (ab+bc+ca) = (a+b){4-(a+b)(1+c)}/4 +(a-b)^2･(1+c)/4 +(1-a)(1-b)c ≧0,
//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 170[3] ～172
//twitter.com/Inequalitybot/ [184]
167:１３２人目の素数さん
14/05/12 21:26:52.73 .net
> 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.
ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。
定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0
168:１３２人目の素数さん
14/05/12 21:27:39.56 .net
> 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.
ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。
定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0
169:１３２人目の素数さん
14/05/13 05:50:13.76 .net
ついでに、S_5 と T_{4,1} の係数が 0 の場合は以下の通りです。
定理2.4.1c
f(a,b,c) = T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
q ≧ -2
ここで(上の投稿を含めて)
T_{i,j} = Σ a^i b^j (6項対称和)
S_{i,j} = Σ a^i b^j (
170:3項巡回和) U = abc
171:１３２人目の素数さん
14/05/28 03:56:36.47 .net
B4638、B4640、URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A616、B4626、B4628、URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B4620、URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A609、B4606、URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A605、URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
B4585、URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
A593、URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
C1168、URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
＿| ::|＿
￣| ::|／| ┌─┐
| ::| | .┌─┐| ∧＿∧ いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿| |┌─┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
|文| | | ∧＿∧（ ）⊂ ）
|￣| | | （ ）⊂ ） （＿Ο Ο :::
| ::| | | ⊂ ） （＿Ο Ο わかってる、生き延びた奴が
| ::|／ .|_ （＿Ο Ο ::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
| ::| :::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!
172:１３２人目の素数さん
14/06/22 22:34:45.87 7o1BupPuA
C.1168
Prove that a√(1-bb) + b√(1-aa) ≦ 1,
(略解)
相乗-相加平均から
a√(1-bb) ≦ {aa+(1-bb)}/2,
b√(1-aa) ≦ {(1-aa)+bb)/2,
辺々たす。
あるいは
(左辺)^2 + {ab - √[(1-aa)(1-bb)]}^2 = 1,
173:１３２人目の素数さん
14/06/22 22:51:50.47 7o1BupPuA
C.1168
三角函数とかは、おくび（曖）にも出さないこと。
174:１３２人目の素数さん
14/06/22 23:02:24.42 7o1BupPuA
[104]
a+b+c=s, ab+bc+ca=t, (a-b)(b-c)(c-a)=⊿ とおく。このとき
(ss-2t)^2 - t^2 ≧（3√3 /2)|⊿|s
を示せ。
(CbM)改 ☆9
//twitter.com/Inequalitybot/ [104]
//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 196～198
175:１３２人目の素数さん
14/06/23 22:50:07.63 AzExtY9jm
B.4626
Prove that (1+a)^4･(1+b)^4 ≧ 64ab(a+b)^2 for all a,b≧0.
(略証)
相加-相乗平均より
(1+a)(1+b) = (1+ab) + (a+b)
≧ 2√(ab) + (a+b)
≧ 2(4ab)^(1/4)･√(a+b),
176:１３２人目の素数さん
14/06/26 06:32:02.80 h4WLeUXAQ
>>166
s≧0, t≧0 が抜けてました。
(左辺) = (ss-t)(ss-3t)
≧ {ss+(ss-3t)}/2・(ss-3t)
≧ s(ss-3t)^(3/2),
なので
(ss-3t)^3 ≧ (27/4)⊿⊿
を示せばOK
177:１３２人目の素数さん
14/06/27 02:17:03.22 .net
不等式の本が出たな。受験生向けだが… ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！
URLﾘﾝｸ(www.tokyo-s.jp)
178:１３２人目の素数さん
14/06/27 23:17:34.18 .net
>>169
ジュンク堂にあったので買ってきた。
大学入試問題から題材を取っているので、
このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど、
考え方や知識の整理にはちょうどよいかな。
おすすめ。
>>2 に追加
[9] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2013
179:１３２人目の素数さん
14/07/06 07:21:38.15 .net
> このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど
目新しいものがほしい人には、
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
の定理2.4.1c～命題2.4.1f はいかがですか。
なお >162, 163の定理2.4.1a, bは命題2.4.1g, hに変更して証明も変えました。
180:１３２人目の素数さん
14/07/17 02:05:03.70 .net
質問なんだが立体の一つの頂点に集まる角度の総和が360ﾟ未満ってどう証明したらいい?
例えば立方体だと90+90+90=270
181:１３２人目の素数さん
14/07/17 02:27:21.66 .net
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
指数定理馬鹿の俺的にはガウスボンネもストークスの定理も仲間だ！
182:１３２人目の素数さん
14/07/17 03:03:40.58 .net
>>172
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
指数定理馬鹿の俺的にはガウスボンネもストークスの定理も仲間だ！
183:１３２人目の素数さん
14/07/17 04:04:17.35 .net
すまん、読んでみたけど…
184:１３２人目の素数さん
14/07/17 04:15:21.56 .net
ガウスボンネの定理の言い換え。
185:１３２人目の素数さん
14/07/17 04:21:50.42 .net
リーマンの不等式、またの名をリーマンの半分age
186:狸 ◆2VB8wsVUoo
14/07/17 05:30:15.28 .net
狸
>6 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:00:03.07
> [>>1]の親は強制的に[>>1]を集団から隔離するべし.
>
>660 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:02:50.12
> Re:>>658 (10+a)(10+b)=100+10(a+b)+ab.
>
187:１３２人目の素数さん
14/07/31 14:46:29.19 .net
分数の不等式とかを証明するときに、項ごとに評価してそれらを加えたらできた！ってのを見たことがあるけど、
そんなやりかたで証明するときって、どうやって気づくんだろうか？
188:１３２人目の素数さん
14/07/31 15:42:29.18 .net
>>179
isolated fudgingならここの説明がわかりやすいかと
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
189:１３２人目の素数さん
14/07/31 16:09:13.94 .net
>>180
おおー、ありがとうございます。
190:１３２人目の素数さん
14/07/31 19:00:16.94 .net
同次と斉次の違い、使い分けとかあるんです蟹？
191:１３２人目の素数さん
14/08/02 11:05:59.45 .net
0<x<pi/4 で x+0.5x^3>tan(x) を言うにはどうすればいいでしょうか
192:１３２人目の素数さん
14/08/10 23:37:22.74 .net
関数f(x)は導関数f’(x)および第2次導関数f’’(x)をもち，
区間0 ≦ x ≦ 1において， f(x)>0, ｛f’(x)｝＾2 ≦ f(x)f’’(x) ≦ 2 ｛f’(x)｝＾2 を満たしている
f(0)=a，f(1)=bとするとき，次の不等式を示せ．
(1)f ( 1／2 ) ≦ （a+b）／2
(2)f ( 1／3 ) ≦ （a^2b）＾（1／3）
(3)f ( 1／4 ) ≧ （4ab）／（a+3b）
(4)∫［0^1］f(x) dx ≦ （a／4）+（√ab／2）+（b／4）
193:１３２人目の素数さん
14/08/11 10:31:55.72 .net
おもしろそう！
194:１３２人目の素数さん
14/08/11 10:35:16.82 .net
悪代官「わしは、何より不等式が好きでの」
越後屋「あはは、不等式はかの色に限りますなあ」
悪代官「はてさて、かの色とな？」
越後屋「今回はかように取り揃えました」
悪代官「ほー、今回はまた一段と」
越後屋「お目に叶ってなによりでｗｗｗｗｗ」
195:１３２人目の素数さん
14/08/14 02:57:28.50 .net
x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3yz+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。
( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
196:１３２人目の素数さん
14/08/14 17:46:52.02 .net
>>187
x=z=1/yを満たすとき
f=x/{(1+2)(2+3)(3+1)}=x/60
x>0で動かすとf>0の任意の値をとる
197:１３２人目の素数さん
14/08/14 17:53:02.88 .net
>>187,184
x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。
の書き間違えじゃないか？
198:１３２人目の素数さん
14/08/14 18:33:21.25 .net
(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)≧48xyz 等号はx=2/3, y=3, z=1/2の時成立
xyz→+0の時0に収束
ゆえに
0<xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)}≦1/48
199:
200:１３２人目の素数さん
14/08/14 20:13:24.03 .net
>>189
( ﾟ∀ﾟ) ｽﾐﾏｾﾝ、ご指摘の通り、分母の３つ目はyzじゃなくてzxですた。
>>190
正解です。エレガントなやり方ありましたか？
201:１３２人目の素数さん
14/08/15 02:19:33.50 .net
URLﾘﾝｸ(suugaku.jp)
202:１３２人目の素数さん
14/08/15 06:39:44.86 .net
>>192
出典は？
203:１３２人目の素数さん
14/08/15 18:49:03.36 .net
a1, a2, …, an > 0 のとき
a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1 ≧ a1^2 + a2^2 + … + an^2
204:１３２人目の素数さん
14/08/16 00:34:06.59 .net
>>193
今年の滋賀医科大の入試問題らしい
205:１３２人目の素数さん
14/08/16 01:36:17.24 .net
>>194
(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(a2^2 + … + an^2+a1^2)≧(a1a2+a2a3+…ana1)^2
より
(a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1)(a1^2 + a2^2 + … + an^2)
≧(a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1)(a1a2+a2a3+…ana1)
≧(a1^2 + a2^2 + … + an^2)^2
(コーシー)
206:１３２人目の素数さん
14/08/16 18:50:16.20 .net
Maclaurin の不等式って何ザマスか？
207:１３２人目の素数さん
14/08/16 20:43:09.24 .net
>>192
f"≧0
(logf)"=(f'/f)'=(ff"-f'f')/ff≧0
(1/f)"=(-f'/ff)'=(2f'f'-ff")/fff≧0
より
(1)f(1/2)≦(1/2)(f(0)+f(1))
(2)logf(1/3)≦(2/3)logf(0)+(1/3)logf(1)
(3)4/f(4)≦3/f(0)+1/f(1)
(Jensen)
これらを整理する
(4)は凸性ゆえ
(左辺)≦(1/4)(f(0)+f(1/2))+(1/4)(f(1)+f(1/2))≦(右辺)
最後はJensenを用いた
208:１３２人目の素数さん
14/08/20 20:33:15.56 .net
なんでニコニコ大百科にウィキペディアより詳細なシュールの不等式の記事があるんだよ
209:１３２人目の素数さん
14/08/21 01:29:29.74 .net
>>199
詳しく聞こうか？
210:１３２人目の素数さん
14/08/21 08:32:23.12 .net
>>200
URLﾘﾝｸ(dic.nicovideo.jp)
211:１３２人目の素数さん
14/08/21 22:09:46.08 .net
こんなんja.wikipediaに書いたら
wikipediaは数学書じゃないから証明の必要性が云々とか
独自研究ガーとかいう奴が出て来て全削除とかされかねないもんな
212:１３２人目の素数さん
14/08/24 15:43:56.20 .net
>>183
いま気づいたがこれは大数の学コンの問題の一部だな
このカス野郎が
そんなにまでして良い点とりたいか？
213:１３２人目の素数さん
14/08/24 22:30:33.72 .net
この程度で苦労するなら良い点なんか取れないって
214:１３２人目の素数さん
14/08/25 03:09:27.68 .net
不等式ヲタになればフィールズ賞取れるの？
215:１３２人目の素数さん
14/08/25 04:12:22.46 .net
不等式がすべて。地位や名声など取るに足らないものになります。
216:１３２人目の素数さん
14/08/25 05:39:36.69 .net
nを定まった正の整数とし,1≦k≦nなる整数kのおのおのに,1≦r≦nなる整数rを対応させる関数r=f(k)があって
k[1]＜k[2]ならばつねにf(k[1])≦f(k[2])であるとする
このとき,f(m)=mとなる整数mが存在することを証明せよ
217:１３２人目の素数さん
14/08/25 13:47:47.28 .net
離散写像における不動点定理ですね
f(1)>1,f(n)<nの時のみ考えれば良い
f(i)>iなる最大のiをkとしてk<f(k)≦f(k+1)<k+1
これはkとk+1の間に整数があることになるため矛盾
218:１３２人目の素数さん
14/08/26 17:43:33.11 .net
>>201
詳し過ぎて吹いたw
219:１３２人目の素数さん
14/08/27 11:11:38.72 .net
>>201
>>201
詳し過ぎて、珈琲ふいたw
220:１３２人目の素数さん
14/08/28 11:34:06.84 .net
シューアの不等式の参考文献をキボンヌ！
221:１３２人目の素数さん
14/09/03 20:59:27.06 .net
実数 a、b、c、d に対して、(a-c)^2 + (b-d)^2 と (ac+bd+1)^2 の大小は定まりますか？
222:１３２人目の素数さん
14/09/03 21:33:34.29 .net
>>212
b=dとして
c=1/aとしてa→∞とすると前者＞後者
c=2としてa→∞とすると前者＜後者
だから定まらなさそう
223:１３２人目の素数さん
14/09/03 21:52:25.87 .net
ありがとうございます。
書き込んだ後、計算してみて、私も定まらないなと思いました。
何を考えていたかを説明すると…
(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1)≧(ac+bd+1)^2
(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1)≧(a-c)^2 + (b-d)^2
を眺めていて、右辺に大小関係が定まらないかなぁと考えていたら、実際に計算してみると、
(a^2+b^2+1)(c^2+d^2+1) = (a-c)^2 + (b-d)^2 + (ad-bc)^2 + (ac+bd+1)^2 ← 『不等式ヲタの等式』と命名
なので、ダメじゃんってな感じです。
224:１３２人目の素数さん
14/09/04 08:30:18.32 .net
有名な四平方の恒等式
225:１３２人目の素数さん
14/09/04 08:47:52.88 .net
なんだ名前があったのか、（・ω・）ショボンヌ
226:１３２人目の素数さん
14/09/04 09:06:07.32 .net
自力で見つけたんだからスゴイんじゃね
ちな本来の四平方和の公式はもっと一般的な
227:１３２人目の素数さん
14/09/05 00:18:44.18 .net
実数 a、b、c、d、e、f が、次式をみたしている。
a-b > b-c > c-d >d-e > e-f > f-a
a、b、c、d、e、f のうち最大の実数はどれか？
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ /
228:１３２人目の素数さん
14/09/05 03:35:28.34 .net
>>218
bが最大とすると 2b>a+c>2b より矛盾
同様にc,d,e,fは最大ではない
よってa
229:１３２人目の素数さん
14/09/05 08:00:40.28 .net
a、bは実定数とする。-1≦x≦1に対して、max|x^2 + ax + b|≧1/2 を示せ。
230:１３２人目の素数さん
14/09/05 19:33:33.29 .net
月並みすぎ
231:１３２人目の素数さん
14/09/06 06:50:08.00 .net
新参者の自分には新鮮だよ
232:１３２人目の素数さん
14/09/10 13:13:05.60 .net
今月の東進の問題
〆切は過ぎてる
URLﾘﾝｸ(www.toshin.com)
高校生用としてはかなり難しいのでは？
ここの住人なら瞬殺？
233:１３２人目の素数さん
14/09/10 14:36:36.25 .net
ワクワクして、ボッキしたよ
234:１３２人目の素数さん
14/09/10 20:10:14.28 .net
>>223
a=cotA, b=cotB, c=cotCとするとA,B,Cは三角形の三辺をなす
f(x)=1/(1-cosx)は凸関数のため
log(左辺)=f(A)+f(B)+f(C)≧3f(π/3)=3log2 (Jensen)
両辺の真数をとる
235:１３２人目の素数さん
14/09/10 20:12:11.71 .net
(a+b)(√(cc+1)+c)=√((aa+1)(bb+1))+1-ab≧2 (コーシー)
巡回的にかける
236:１３２人目の素数さん
14/09/10 20:20:07.19 .net
(a+b)(√(cc+1)+c)=(a+b)/(√((c+a)(c+b))-c)≧(a+b)/((c+a+c+b)/2-c)=2 (AM-GM)
巡回的にかける
237:１３２人目の素数さん
14/09/10 20:45:55.18 .net
>>225
> a=cotA, b=cotB, c=cotCとするとA,B,Cは三角形の三辺をなす
この時点で、置いていかれています。
238:１３２人目の素数さん
14/09/10 22:25:53.44 .net
凄すぎてよう分からんｗｗｗ
239:１３２人目の素数さん
14/09/10 23:46:07.52 .net
>>225
A,B,Cは三角形の三角の間違いでした…
240:１３２人目の素数さん
14/09/11 23:12:47.63 .net
こんなの解ける東進生がどのくらい居るのか甚だ疑問
まあ高校生に、不等式は超絶テクニックの職人の世界だぜ、
と知らしめてやるような意味はあるが
241:１３２人目の素数さん
14/09/11 23:35:51.28 .net
若いうちに洗脳して不等式ヲタを増やすことも、我々の大事な仕事なのです。
>>225
√(a^2+1) があるので、a = tanA とか置き換えたくなるけど、 cotAとは思いつかんなぁ
いろいろ�
242:ﾈ不等式を収集し証明するのは、今後も続けるとして、 そろそろ、不等式証明の定番手法や考え方を語る時期では？
243:１３２人目の素数さん
14/09/11 23:50:54.66 .net
あ、でも値を評価するとはどういうことか、
ということを教えるのは数学的に本質的に大事だね
等式の世界と不等式の世界は全然違うからね
244:１３２人目の素数さん
14/09/12 00:15:14.25 .net
その値を求めるのは大変だから、大体どのくらいかを評価することが必要になって…
そんな感じ？
不等式の美しさにばかり囚われていて、あまり考えたことなかったな。
245:１３２人目の素数さん
14/09/12 00:20:34.32 .net
x、y、z >0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)} の最大値を求めよ。
これだと、『x、y、z >0 のとき』 がヒントになって、相加相乗平均でも使うんだろうなと思ったり。
確かに相加相乗平均で肩がつく （最大値は1/48） 。
この手の分数の不等式は、分割して評価した不等式を辺々かけるとか、
斉次式なので、和一定とか積一定とかの条件をつけたりするテクもあったり。
不等式スレ１章～３章の頃に、その手のテクニックをtexでまとめていたんだけど、
パソコンが壊れたときに失われてしまったのは悲しい思い出… ('A`)
246:１３２人目の素数さん
14/09/12 01:11:49.31 .net
>>235
ごめん、斉次式じゃなかった
247:１３２人目の素数さん
14/09/12 18:34:10.65 .net
a、b、c、x、y、z ∈R が、
(a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = 1、 x^2+y^2+z^2=1
をみたすとき、ax+by+czのとりうる値の範囲
ＣＳ不等式を２回使ったけど、他の解法ありますか？
248:１３２人目の素数さん
14/09/12 20:49:44.59 .net
いきなりレベルが下がったな
249:１３２人目の素数さん
14/09/15 17:30:44.27 .net
【結構簡単だけど、受験生40名全員が解けなかったという曰く付きの某国立大学数学科の推薦入試問題】
実ｎ次元ベクトル X ＝ (x_1, x_2, ... , x_n) に対して
ｈ を非負実数として
<X>_h ＝ √{h + (x_1)^2 + (x_2)^2 + ... + (x_n)^2} と定義する。
Y ＝ (y_1, y_2, ... , y_n) とするとき、 任意の実ｎ次元ベクトル X、Y に対して
<X + Y>_h ≦ <X>_h・<Y>_h
が成り立つような最小の h を求めよ。
ただし、X + Y＝ (x_1+y_1, x_2+y_2, ... , x_n+y_n) とする。
注） 伝聞によるので文言は全く同じではないと思われます
250:１３２人目の素数さん
14/09/18 00:25:23.04 .net
麻呂ちゃんを救う会
┏━━━━━┓
┃ ┃ 麻呂ちゃんは
┃...|;:;:_:;:__:;_:;_:;:l:;_;:_:_:;:_;:_:;| ┃ 生まれつき不等式収集の病気にかかり
┃|＿＿＿＿_|_＿＿＿＿|...┃ 一カ月以内に不等式が必要です。
┃|=| 三ｼﾉ ヾ三. ::::::.|=! ┃
┃|=| （●）, 、（●）、::|=| ┃ しかし、それにはハァハァできる
┃ヾ| ,,ノ(、_, )ヽ、,, ｼﾉ...┃ 特殊な不等式が必要となります。
┃ | ,;‐＝‐ヽ .:::::| ...┃
┃ ＼ ｀ニニ´ .:::／ .....┃ 麻呂ちゃんを救うために
┃ ／｀ー‐--‐‐―´´＼. ...┃ どうか協力をよろしくお願いします。
┗━━━━━┛
251:１３２人目の素数さん
14/09/18 00:26:03.05 .net
| 寝ていて
| 夜 目を醒ますと ＿＿＿＿
| 不等式がスレにない ／;:;:;:;:;:;i;:;:;:;:;:丶
|＿＿＿＿＿＿＿＿_/ ／:;:;:;:;:;:;:;:;:i;:;:;:;:;:;:;:;:;＼
|;:;:_:;:_:;:_:;:_;:l:;_;:_:;:_:;:_:;:_|
|＿＿＿＿|＿＿＿＿|
／/ |彡 ≡ ≡ ミ|
（ ( （6 <○) (○> 9)
ﾉ ヽ ＼ | ｡⌒｡ | �
252:^／ イ 人 ＼ ＼ ┌-┐ ﾉ ／／ ／ λ ヽ ｀ 、/)_￣＿_ノ￣`, ／／ ζ （ ヾ ＼￣￣￣￣￣Uι)／／ ￣- ／／ １～2歳の麻呂にとってそれはどんな恐怖と絶望 なのだろう … … 麻呂は暗闇の中で泣いても 無駄なのでただひたすらふるえていただけだった
253:１３２人目の素数さん
14/09/18 00:26:30.63 .net
|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ノ|
|丶､ ;;; __;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;_,,: ィ";;_|
ﾄ､;;;;;;;;;;;;;;;｀ ` '' ー -- ‐ '' ";;;;;;;;;,:ィ;:;!
,';:｀`' ‐ｮ ､ ,_ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; , - '"l;:;:;:;:l 不等式を貼るだけなら三流
l;:;:;:;:;:;:;ﾐ ｀ ` '' ｰ -‐ '" ,ﾘ;:;:;:l
l;:;:;:;:;:;:;:ゝ く三) (三ｼ ｀ヾ;:t、
fﾐ{;:;:;:;:f'´ , -－-_,, _,ｨ ､_,,ｨ,.-－､ };f } 言われてから不等式を貼れて二流
l ﾄl;:;:;:;:l ､,ィ或tｭ､ﾞ:ミ {,'ィt或ｱﾁ l:l,/
ﾞi,tヾ:;:;:! ｀ヽ 二ノ ﾄ ` ‐''"´ l:l:f
ヽ`ｰ};:l ,r'､ ヽ ﾘ_） 言われる前に自分から不等式を貼れてようやく一流じゃ
｀"^l:l ,/ﾞｰ､ ,r'ヽ l
ﾞi ,ノ `'" 丶. ,'
ﾞl､ ′ ,, ｨrｪェzｭ､,_ 〉 } /
',ヽ ヘヾ'zｪｪｪッ',ｼ' //ヽ
} 丶、 ` ｰ--‐ '"'´,/ノ:.:.:ヽ ・・・・そなたらは一体、いつになったら
/l 丶、 ,.ｲ:.:.:.:.:.:.:.:丶､、
,r'"^l ! ` ー‐;オ´:.:.:.:.:.:.:.:.:.,ノ ,}、 一流になるのでおじゃるか？
,. -ｧ＝く（:.:.:.l l ／/:.:.:.:.:.:., - '" ,／ ヽ、
, - '"´ ／ ,／｀＞'t､_」＿＿_,ｨ'ﾞ,ィ,.: -‐ '" ,. -‐ '" ＼
254:１３２人目の素数さん
14/09/18 00:28:07.44 .net
l三｀ｰ ､_;:;:;:;:;:;:j;:;:;:;:;:;:_;:;:;_;:〟-三三三三三l
l三 r＝ﾐ''‐--‐';二,_￣ ,三三三彡彡l_ この感じ・・・・
lﾐ′ ￣ ー-'" '＝ミﾆ彡彡/‐､ヽ
l;l ,_-‐ 、 __,,.. - ､ 彡彡彳､.// 不等式か・・・・
＿＿＿＿＿＿＿∧,､＿∥ `之ヽ､, i l´ _,ｨ辷ｧ-､、 彡彡'r ノ/＿ ＿_＿＿＿_
￣￣￣￣￣￣￣'`'`￣ 1 ￣ﾌ/ｌ l::. ヽこ~￣ 彡彳~´/ ￣￣￣￣￣￣
ヽ ´ :l .l:::. 彡ｨ-‐'′
ゝ、 / :. :r-､ 彡′
／ ｨ:ﾍ ｀ヽ:__,ｨ='´ 彡;ヽ､
_,,..-‐'7 /:::::::ヽ _: :_ ヽ ｨ´.}::ヽ ヽ、
_,-‐'´ { ヽ:::::::::ﾍ ｀'ｰ=＝=ｰ-- ' ／ﾉ /::::::ﾍ, ヽｰ､
255:１３２人目の素数さん
14/09/18 00:32:24.97 .net
＼
::::: ＼ 麻呂の両腕に冷たい鉄の輪がはめられた
＼::::: ＼
＼::::: ＿ヽ ＿_ ＿ 外界との連絡を断ち切る契約の印だ。
ヽ／, ／＿ ヽ/、 ヽ＿
// ／< ＿＿） l -,|__) > 「刑事さん・・・、俺、どうして・・・
|| ｜ < ＿＿）_ゝJ_)＿> 不等式なんて蒐集・・・しちゃったのかな？」
＼ ||.｜ < ＿__）_(＿)_ >
＼|
256: | <_＿__ノ_(＿)＿ ) とめどなく大粒の涙がこぼれ落ち ヾヽニニ/ー--'/ 震える彼の掌を濡らした。 |_|＿t＿|_♀__| ９ ∂ 「その答えを見つけるのは、お前自身だ。」 ６ ∂ (9_∂ 麻呂は声をあげて泣いた。
257:１３２人目の素数さん
14/09/18 00:44:36.72 .net
0<x<y<π/2の時
(tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
を示せ
258:１３２人目の素数さん
14/09/18 14:03:46.19 .net
0 < x < y < π/2 において、f(x) = (tanx/x)^x - (sinx/x)^x が単調増加であることを示せばよい。
これは、y=sinx、y=tanxのグラフを描けば明らか。
でも計算で示そうとして挫折… ('A`)
259:１３２人目の素数さん
14/09/18 23:24:33.32 .net
>>239
ｈ＝１
260:１３２人目の素数さん
14/09/21 03:12:14.29 .net
|;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ノ|
|丶､ ;;; __;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;_,,: ィ";;_|
ﾄ､;;;;;;;;;;;;;;;｀ ` '' ー -- ‐ '' ";;;;;;;;;,:ィ;:;!
,';:｀`' ‐ｮ ､ ,_ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; , - '"l;:;:;:;:l 出された不等式を証明するだけなら三流
l;:;:;:;:;:;:;ﾐ ｀ ` '' ｰ -‐ '" ,ﾘ;:;:;:l
l;:;:;:;:;:;:;:ゝ く三) (三ｼ ｀ヾ;:t、
fﾐ{;:;:;:;:f'´ , -－-_,, _,ｨ ､_,,ｨ,.-－､ };f } 自分で不等式を作って証明して二流
l ﾄl;:;:;:;:l ､,ィ或tｭ､ﾞ:ミ {,'ィt或ｱﾁ l:l,/
ﾞi,tヾ:;:;:! ｀ヽ 二ノ ﾄ ` ‐''"´ l:l:f
ヽ`ｰ};:l ,r'､ ヽ ﾘ_） 不等式を作る前に手の者に作らせて証明させてようやく一流じゃ
｀"^l:l ,/ﾞｰ､ ,r'ヽ l
ﾞi ,ノ `'" 丶. ,'
ﾞl､ ′ ,, ｨrｪェzｭ､,_ 〉 } /
',ヽ ヘヾ'zｪｪｪッ',ｼ' //ヽ
} 丶、 ` ｰ--‐ '"'´,/ノ:.:.:ヽ ・・・・そなたらは一体、いつになったら
/l 丶、 ,.ｲ:.:.:.:.:.:.:.:丶､、
,r'"^l ! ` ー‐;オ´:.:.:.:.:.:.:.:.:.,ノ ,}、 一流になるのでおじゃるか？
,. -ｧ＝く（:.:.:.l l ／/:.:.:.:.:.:., - '" ,／ ヽ、
261:１３２人目の素数さん
14/09/21 14:50:28.88 .net
>>247
違うと思う
262:１３２人目の素数さん
14/09/28 09:55:02.94 .net
ガンマ関数の問題なんだが、
Γ(1/a) < π
aを求めよ。
aって求められないよね？
つか、問題が間違ってるよね？ね？
263:１３２人目の素数さん
14/09/28 14:23:20.23 .net
aが実数または整数という条件は?
それでwikipediaのガンマ関数のグラフでも見たら。。。
264:１３２人目の素数さん
14/09/28 16:34:36.44 .net
aを四元数にしてみよう
265:１３２人目の素数さん
14/10/07 04:40:12.83 .net
nを自然数、xを正の実数とするとき、n(x-1) ≦ x^n-1 ≦ n(x-1)x^n ≦ n(x-1)x^n
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ
266:１３２人目の素数さん
14/10/10 22:50:17.76 .net
死ねよ
267:１３２人目の素数さん
14/10/14 21:10:08.93 .net
今日、不思議な定理を発見しました。
斉次巡回(or 対称)不等式に関するものですが、
代数多様体の商特異点の理論を経由して、
不等式のクラスがなす凸錐の構造定理を証明することによって、
古典的な方法で直接不等式の成立を示さなくても、抽象的議論だけで
間接的にいろいろな不等式の成立が証明できてしまう、という、
ちょっと気味の悪いものです。
個々の不等式を見るのではなく、ある条件を満たす不等式のクラスを、
まとめて面倒みてやるのがポイントです。
モジュライの理論でもそういう考え方が登場します。
多変数の代数不等式は、やっぱり代数幾何だったんですね。
普遍性がある議論なので、いろいろ応用が利きそうです。
そのうち、どこかで、きちんとお話します。
268:１３２人目の素数さん
14/10/14 21:22:04.40 .net
難しくてよう分からんが、楽しみにしている
269:１３２人目の素数さん
14/10/15 00:57:58.07 .net
面白そうだけど難しそう
まじめに代数幾何を勉強するかな
270:１３２人目の素数さん
14/10/23 08:25:42.36 .net
予告編:
X を不等式 f(x_1,...,x_n)>=0 の変数が動く領域とし、
そこに有限群 G が推移的に作用していて、固定点は有限個であると仮定する。
D を G-不変な X 上の不等式全体がなす凸錐とする。
線形系 H^0(P^{n-1}, O(d))^G が定める有理写像 P^{n-1} -> P^N に
よる X の像を X_d とする。d がある程度大きいと、X_d = X/G となる。
X_d の生成する凸錐の相対凸錐が D である。
X_d の内部、境界、内部の各特異点、境界上の各特異点に対応して、
D の境界の成分が定まり、D はそれらで囲まれる。
代数的にD の境界の成分を求めると、不等式が自動的に得られる。
たぶん、学部4年程度の知識で理解できます。
271:１３２人目の素数さん
14/10/23 14:20:03.00 .net
安藤氏がやっていることに含まれるのでは？
272:１３２人目の素数さん
14/11/26 07:51:56.64 .net
> 255
改訂版をUPしました
URLﾘﾝｸ(www.math.s.chiba-u.ac.jp)
第2章が新しい部分です。
その別の応用は、また後日。
局所錐の理論も、もう少し進歩させられそうです。
273:１３２人目の素数さん
14/11/26 11:06:50.29 .net
>>255
難しいな。これって、結構多くの不等式が一発で証明できるということなの？
ちょっと降りてきてアマチュア向けに補足を所望。できれば少し例も。
忙しいかな？
274:１３２人目の素数さん
14/11/26 11:28:25.14 .net
グラフの不等式領域の塗り分けで裏技があったな
275:１３２人目の素数さん
14/11/26 14:06:16.63 .net
∧∧
ヽ(･ω･)/ ｽﾞｺｰ
＼(.＼ ノ
､ﾊ,,､ ￣
￣
276:１３２人目の素数さん
14/11/27 23:52:16.13 .net
数学板ID表示制導入の住民投票 [転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(vote板)
277:１３２人目の素数さん
14/11/30 21:19:05.89 .net
> 257
代数曲面の場合でも、例えば、x^4+y^4=z^4 で定まる代数曲面を研究しようと思ったとき、
それを代数曲面の分類理論なして研究しても、あるところで行き詰まるが、
K3曲面という範疇の中で、どういう位置づけの曲面かを考えると、いろんなことが分かる。
同様に、1つの不等式を単体として証明するのとは別のアプローチとして、
不等式のある範疇の族を考え、その族の中での位置づけを考察すると新たな視点が開けるということ。
すると、個々の不等式の研究に増して、不等式の族の構造の研究も大切になってくる。
278:１３２人目の素数さん
14/12/01 09:12:04.34 .net
>>265
説明ありがとう。でも不等式好きのアマチュアとして知りたかったのは、
このスレにも出てくるいろんな具体的な不等式たちを証明することが、
あなたの研究によってどう変わるかということだった。
分類理論もK3曲面も知らんのだ。そんな奴は相手にしてないということ
なんだろうが。
279:１３２人目の素数さん
14/12/01 13:09:41.27 .net
>>266
> 分類理論もK3曲面も知らんのだ。
おれも。
何から勉強し始めたらいい？
代数？
280:１３２人目の素数さん
14/12/22 09:04:18.22 .net
A+B+C=Πのとき、
6cosA+3cosB+2cosC≦7
を示せ
281:１３２人目の素数さん
14/12/23 18:40:00.89 .net
もし高校+α程度の知識しかないなら数年かかるぜ？
282:１３２人目の素数さん
14/12/23 18:58:55.97 .net
* *
＊ ＋ うそです
n ∧＿∧ n
＋ (ﾖ（* ´∀｀）E)
Y Y ＊
283:１３２人目の素数さん
14/12/23 23:15:39.09 .net
不等式ヲタが一心不乱に不等式をいじっていたときに、ある貴婦人が訊ねた。
「そんな役にもたたないつまらないことをして何になるんですか？」
不等式ヲタはこう答えたという。
「生まれたばかりの赤ん坊が何の役にたつというのですか？」
284: 【豚】 【504円】
15/01/01 00:17:51.41 819Tpouk.net
( ﾟ∀ﾟ) ﾌﾟﾘｯ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ
285:１３２人目の素数さん
15/01/11 11:56:09.01 HYp86YiB.net
〆切
286:過ぎたので投下 --------------------------------------------------- 【大数１月号宿題】 n は3以上の自然数 x1，x2，...，xn は正の実数 S=x1+x2+...+xn T=x1^2+x2^2+...+xn^2 とするとき Σ[i=1,n]{xi/(S-xi)} ≦ Σ[i=1,n]{xi^2/(T-xi^2)} が成り立つことを示せ ---------------------------------------------------
287:１３２人目の素数さん
15/01/11 15:49:08.19 6wGawbq2.net
>>114
[2](2)
2x-y, 2y-z, 2z-xがそれぞれ正正正か正負負の時のみ考えれば良い
(i)全部正の時
a=2x-y,b=2y-z,c=2z-xは全て正
7=3(aa+bb+cc)+4(ab+bc+ca)≧21GG
より
abc=G^3≦1/3√3
(ii)負が2つの時
a=2x-y,b=z-2y,c=x-2zは全て正
105=15(3(aa+bb+cc)-4a(b+c)+4bc)
=(6a-5b-5c)^2+9a^2+10(2bb+bc+2cc)
≧3(75abc)^(2/3)
これを整理して
abc≦7√35/15
等号は(a,b,c)=√35(1/3,1/5,1/5)の時成立
1/3√3<7√35/15より与式の最大値は7√35/15
>>273
(右辺)-(左辺)
=Σ[i<j]x_i*x_j*(T+x_i*x_j+(x_i+x_j)(S-x_i-x_j))(x_i-x_j)^2/((S-x_i)(S-x_j)(T-x_i^2)(T-x_j^2))
≧0
288:１３２人目の素数さん
15/01/11 16:22:38.86 NZHIAZ7Q.net
今年も不等式でﾊｧﾊｧする！
289:学術デジタルアーカイヴ院教授至高の狐独文武学者 珈琲豆SHO-GUN
15/01/12 17:49:50.45 Y1rwXzc/.net
現実以上。夢見饅。ツキ夜
290:１３２人目の素数さん
15/02/06 11:18:16.66 JF/VVn+X.net
n文字の基本対称式がすべて正なら、n文字は全て正は正しいなりか、キテレツ？
291:１３２人目の素数さん
15/02/06 18:33:53.81 D/pec2L1.net
f(x)=(x+a_1)…(x+a_n)=ΣS_{n-i}(a_1,…,a_n)x^i
x≧0 について f(x)>0 だから零点 -a_1,…,-a_n は全て負
292:１３２人目の素数さん
15/02/06 19:01:03.54 sHEXqVkI.net
URLﾘﾝｸ(jbbs.shitaraba.net)
293:１３２人目の素数さん
15/02/07 09:34:44.79 d09KlcvF.net
>>278
ありがとうございます。こんなに簡単だったとは！
294:葛厨
15/02/10 00:20:36.14 qNJQbzu4.net
632 ：マロン名無しさん：2015/02/09(月) 23:47:58.84 ID:???
『2≧1なら普通に2=1も兼ねるだろｗ』
656 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:03:50.71 ID:???
『2≧1は2=1も兼ねる』
667 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:12:27.22 ID:???
『＞と＝の両方兼ねないと使えないのが≧ですｗ 』
295:葛厨
15/02/10 00:23:33.84 qNJQbzu4.net
679 ：マロン名無しさん：2015/02/10(火) 00:21:24.07 ID:???
『「一方だけが」じゃなくて「一方もしくは両方が」だな』
296:１３２人目の素数さん
15/02/10 23:27:11.45 cnsbm1p4.net
正の整数nに対して、その正の約数の相加平均をf(n)とするとき
√n ≦ f(n) ≦ (n+1)/2
297:１３２人目の素数さん
15/02/11 01:32:06.02 ufQLgWGB.net
>>283
a_i*b_i=nなるa_i≦b_iの組に分けられる
この時相加相乗より
2√n≦a_i+b_i
全ての正の約数について足し合わせると左側が示される
また約数は全てn以下の為
σ(n)≦Σ[1,n]k=n(n+1)/2
両辺をnで割ると右側が示される
298:１３２人目の素数さん
15/02/12 12:13:13.75 hap8HiPW.net
ｎで割ったら駄目だろ。
299:１３２人目の素数さん
15/02/12 13:09:52.14 TRnkFGmd.net
ab=nなるa≦bに対して
2√n≦a+b=a+n/a≦n+1 (1≦a≦√n)
300:１３２人目の素数さん
15/02/12 13:14:32.81 GctU8E8k.net
分かるように説明汁
301:１３２人目の素数さん
15/02/13 17:26:47.76 Eko0RVTk.net
過去スレで、極限が相加平均や総乗平均になる式があったと思うけど何だっけ？
302:１３２人目の素数さん
15/02/26 01:15:12.23 0ypGjSjE.net
３月から専ブラ使えなくなるんだっけ？移住先は？
303:１３２人目の素数さん
15/03/15 04:03:06.51 JATPX9sE.net
a、b、cを実定数、xを実数、f(x) = ax^2 + bx + c とする。
|x|≦1に対して、|f(x)|≦1 ならば |x^2・f(1/x)|≦2 を示せ。 ( ﾟ∀ﾟ)ﾊﾞｹﾗｯﾀ！
304:１３２人目の素数さん
15/03/21 15:11:19.16 /GyhVn2u.net
実数x、yが|x|≦1、|y|≦1をみたすとき、
0 ≦ x^2 + y^2 - 2 x^2 y^2 + 2xy \sqrt{ (1-x^2)・(1-y^2) } ≦ 1
ﾊｱﾊｱできそうな解法ありますか？
305:１３２人目の素数さん
15/03/21 17:25:40.45 nm1OvXnw.net
>>291
x=sinα y=sinβとおけば0≦{sin(α＋β)}^2≦1}
306:１３２人目の素数さん
15/03/21 21:59:51.63 fODsSTst.net
同じようなことですが
x^2+y^2-2x^2 y^2+2xy√{(1-xx)(1-yy)}
={x√(1-yy)+y√(1-xx)}^2
=1-{xy-√((1-xx)(1-yy))}^2
Think different? by 2ch.net/bbspink.com
307:１３２人目の素数さん
15/03/21 22:21:13.50 /GyhVn2u.net
>>293
くやしいな～、その変形は思いつかんな～。（悔しいのに嬉しいぞ！）
308:１３２人目の素数さん
15/03/26 12:00:18.74 xrzRkczx.net
p>q≧e に対して、log(log p) - log(log q) < (p-q)/e
式の形を見た瞬間にどうやって作ったかが分かってしまうので一捻りしたかったが、思いつかなかった。
誰か一捻りしてﾊｱﾊｱできそうな不等式を作ってくりりん。
309:１３２人目の素数さん
15/03/30 13:01:31.71 jdCsFSZj.net
正の数 a、b、c の相加平均A、相乗平均G、調和平均Hに対して、次式を証明せよ。
(A^3)/(G^3) + (G^3)/(H^3) + 1 ≦ (3/4)・(1 + A/H)^2
＿＿＿
彡 ／ ≧ ＼ 彡 ﾋﾞｭｩ……
彡 |::: ＼ .／ | 彡
|:::: (● (●|
ヽ::::......ワ...ノ
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒～ゞ
. ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒～⌒
310:１３２人目の素数さん
15/03/31 12:36:03.23 lmwv+TH5.net
power mean について、自分は今まで √{ (a^2 + b^2)/2 } を２乗平均って言ってたんだけど、
wiki をみたら二乗平均平方根って書いてあるんよな。
手元にある本で調べてみたら、
[1] P.1 では 『平均』 としか書かれてないし、
[2] P.110 では 『r次平均』 と書かれているから、２次平均。
[5] P.47 では 『t次の累乗平均』 で定義されているから、２次の累乗平均。
ネットで適当に検索してみたら、√なしの (a^2 + b^2)/2 を２乗平均とよんでたり、
別のところでは √{ (a^2 + b^2)/2 } を２乗平均とよんでたりするけど、
√{ (a^2 + b^2)/2 } を２乗平均と呼んじゃダメ？
311:１３２人目の素数さん
15/04/01 19:09:19.64 IHlZ1ink.net
wiki読んだけど、(算術幾何平均) × (幾何調和平均) ＝ (幾何平均)^2 になるのが理解できなかった。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
312:１３２人目の素数さん
15/04/03 00:47:00.64 utncgUtV.net
∫[1/3、2/3] f(x) dx のとき、∫[0,1] {f’(x)}^2 dx ≧27 (∫[0,1] f(x) dx )^2
313:１３２人目の素数さん
2015/04/
314:14(火) 08:21:42.52 ID:iZ1uB03M.net
315:１３２人目の素数さん
15/04/27 06:05:19.17 GQAxhoT5.net
a, b ∈R
a^4 + b^4 + 2 ≧ 4ab
316:１３２人目の素数さん
15/04/27 07:38:55.94 GQAxhoT5.net
a, b, cは三角形の3辺の長さ
a^2 + b^2 + c^2 + 4abc < 12
317:１３２人目の素数さん
15/04/28 10:47:26.69 Byx6c+81.net
(sin x)^5 + (sin x)^4 + (cos x)^5 ≦ 2 を示せ。
318:１３２人目の素数さん
15/04/28 11:15:01.53 H6i5w/Zl.net
>>303
グラフを描いたらたしかに
≦2となりますね。
グラフでは「示す」＝「証明」という条件に
当てはまらないのでしょうね。
319:１３２人目の素数さん
15/04/28 11:21:38.82 Byx6c+81.net
>>304
グラフでも示したことにはなるだろうけど、できれば計算でお願いします。
320:１３２人目の素数さん
15/04/28 11:35:18.13 Byx6c+81.net
少し改良して、-1 ≦ (sin x)^5 + (sin x)^4 + (cos x)^5 ≦ 2 を示せ。
321:１３２人目の素数さん
15/04/28 12:24:41.10 Byx6c+81.net
(1 + sin x)(1 + cos x) < 3 を示せ。