14/01/14 20:59:05.22 .net
>>486
リンク先の30頁に
So we know that e^4 is irratioinal; to show that e^3 , e^5 etc. are irrational as well,
we need heavier machinery (that is, a bit of calculus), and a new idea - which essentially
goes back to Charles Hermite, and for which the key is hidden in the collowing simple lemma.
とあるだろ。
どこに「eの二乗と同じやり方で偶数乗の証明が可能だと」と書いてある？
504:１３２人目の素数さん
14/01/14 21:15:21.64 .net
e^3＝p/q ⇔ q e^2＝p e^(-1) の方針でやれば e^3 が無理数の場合の証明はできそうだ。
ただ多少工夫はいる。
このやり方を拡張すれば，e は4次無理数である事がいえる。
505:１３２人目の素数さん
14/01/14 21:28:13.06 .net
>>490
え？
506:１３２人目の素数さん
14/01/14 22:30:08.58 .net
>>489
え、結局具体的なやり方は示してないって事なの？
507:１３２人目の素数さん
14/01/14 22:43:10.49 .net
この位の英語読めないのかい
508:１３２人目の素数さん
14/01/14 23:19:38.19 .net
>>489
それで、我々は、e^4が不合理であるということを知っています;
e^3、e^5その他が同様に不合理であることを示すために、
我々はより重い機械（つまり、わずかな微積分学）と新しい考えを必要とします
－それはＣ・エルミートに基本的に戻ります、そして、それのために、
キーは以下の単純なレンマで隠されます。
509:１３２人目の素数さん
14/01/14 23:20:32.40 .net
訂正
So we know that e^4 is irrational; to show that e^3 , e^5 etc. are irrational as well,
we need heavier machinery (that is, a bit of calculus), and a new idea - which essentially
goes back to Charles Hermite, and for which the key is hidden in the following simple lemma.
510:１３２人目の素数さん
14/01/14 23:45:57.56 .net
>>495
どのみちだな。結局e^3もe^5もe^2やe^4と同様で以下略って話だろ、なんで同じ手順でできないんだよ？
511:１３２人目の素数さん
14/01/14 23:50:47.34 .net
>>496
なんでこんな�
512:ﾉ馬鹿なんだよ。 e^3でいいから同じ様にやって見せてくれ。
513:１３２人目の素数さん
14/01/15 11:23:37.79 .net
誰か e^3 の無理数性を天下り的でなくかつ初等的に証明できる人はおらぬか？
514:１３２人目の素数さん
14/01/15 12:28:28.99 .net
>>498
今年の東大模試に期待！
515:１３２人目の素数さん
14/01/15 12:33:59.70 .net
もしかしたらe^8やe^16は証明可能で指数を2進数にして指数法則で全整数に渡って証明できるよ的なオチだったりして（笑）
言ってみたもののe^3すらもお手上げなんだが（笑）
516:１３２人目の素数さん
14/01/15 13:11:28.95 .net
495の文の直下の補題使えばe^3とe^-3使って、e^6で証明できるんだろ。それの平方根とればe^3も無理数だって話。少なくともその方法でe^nについては証明できるって明言してあるじゃんか。この本が嘘なら別だが。解ってない人は理解してないだけだろ。
517:１３２人目の素数さん
14/01/15 20:47:19.29 .net
>>469のp.29-31あたりを翻訳してみた
ただ、全てやるのは大変だから要所のみで
e^4 が無理数であることを証明するために,
e^4 = a/b が有理数であると仮定すると, b e^2 = a e^-2 と書ける.
（中略）
最初に, 十分大きな任意の n ではなく, 十分大きな2のべき乗 n = 2^m をとる.
（中略）
それから, Legendre's theorem(p.8参照)の特殊な場合である以下の補題が必要になる:
任意の n >= 1 に対して, 整数 n! が素因数として2を少なくとも(n - 1)回含む ⇔ n = 2^m.
（中略）
さて b e^2 = a e^-2 に話を戻そう. ここから次の式が見つかる.
b * ( n! / 2^(n - 1) ) * e^2 = a * ( n! / 2^(n - 1) ) * e^-2 …(1)
そして, 次の級数を代入する.
e^2 = 1 + 2/1 + 4/2 + 8/6 + ... + 2^r / r! + ...
e^-2 = 1 - 2/1 + 4/2 - 8/6 + ... + (-1)^r 2^r / r! + ...
r <= n のとき, 両辺に整数の項が次の形で手に入る.
b * ( n! / 2^(n - 1) ) * 2^r / r! および (-1)^r * a * ( n! / 2^(n - 1) ) * 2^r / r!
（中略）
r >= n + 1 のとき, 級数は次の形で手に入る.
2 b (2 / (n + 1) + 4 / (n + 1)(n + 2) + 8 / (n + 1)(n + 2)(n + 3) + ...)
および
2 a (-2 / (n + 1) + 4 / (n + 1)(n + 2) - 8 / (n + 1)(n + 2)(n + 3) + ...)
これらの級数は n を十分大きくとると, 4 b / n および -4 a / n に収束する,（中略）.
十分大きな n = 2^m に対して, (1)の左辺はある整数より「ほんの少し」大きくなり,
右辺は「ほんの少し」小さくなる―これは矛盾である! □
518:１３２人目の素数さん
14/01/15 20:52:15.73 .net
（>>502のつづき）
こうして, e^4 が無理数であることが分かった;
e^3 や e^5 などが同様に無理数であることを示すためには
より重たい機械類（つまり, ほんの少しの微積分）と新しいアイデアが必要である―そのためには
Charles Hermiteに立ち返る必要があるが, その鍵となるものが次の簡単な補題に隠されている.
【補題】 n >= 1として, f(x) = x^n (1 - x)^n / n! とおく.
(i) f(x) = 1/n! Σ[i = n, 2n] ci[i] x^i, （ただし, 定数 c[i] は整数）である.
(ii) 0 < x < 1 に対して, 0 < f(x) < 1/n! である.
(iii)導関数 f^{k}(0) および f^{k}(1) はすべての k >= 0 に対して整数である.
（中略）
【定理1】 e^r はすべての r ∈ Q - {0} に対して無理数である.
【証明】 正の整数 s について, e^s が有理数でないことを言えば十分である.（中略）.
e^s = a/b （ただし, 整数 a, b > 0）として, n をn! > a s^(2n + 1) となるように十分大きくとる.
F(x) := s^(2n) f(x) - s^(2n - 1) f^{1}(x) + s^(2n - 2) f^{2}(x) - ... + f^{2n}(x) とおく.
（ただし, f(x) は上の補題の関数とする）
（中略）
N := b ∫[0, 1] s^(2n + 1) e^(s x) f(x) dx = b [e^(s n) F(x)] [0, 1] = a F(1) - b F(0) とおく.
これは整数である, なぜなら補題の(iii)より F(0) と F(1) が整数だから�
519:ﾅある. しかしながら, 補題の(ii)より, N の大きさを下と上から推定すると, 0 < N = b ∫[0, 1] s^(2n + 1) e^(s x) f(x) dx < b s^(2n + 1) e^s 1/n! = a s^(2n + 1) / n! < 1 したがって, N は整数ではありえない: これは矛盾である. □
520:１３２人目の素数さん
14/01/15 21:48:14.16 .net
翻訳乙！
なーんか、もっとエレガントな方法はないものかと思うね。
521:１３２人目の素数さん
14/01/15 21:55:16.72 .net
翻訳を見れば
>>501が間抜けだと分かるだろ？
522:１３２人目の素数さん
14/01/15 22:02:27.45 .net
>>504
あまくだりてきではあるが、エレガントだろ。
あんな解法どうやって思いついたかサッパリ分からん。
523:１３２人目の素数さん
14/01/16 22:49:00.51 .net
今更だが>>503下から5行目の b [e^(s n) F(x)] [0, 1] は b [e^(s x) F(x)] [0, 1] の間違いスマソ
524:１３２人目の素数さん
14/01/17 12:36:50.34 .net
>>503の解法って凄いよな。
ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ（０）＝１ という仮定だけから
任意の０でない有理数 ｑ に対して ｆ（ｑ） が無理数って導いている。
525:１３２人目の素数さん
14/01/17 19:14:28.71 .net
ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）であってｆ（０）＝１のものはｆ（ｘ）＝ｅ＾ｘしかないから
お前の言ってることは「ｆ（ｘ）＝ｅ＾ｘ という仮定だけから」というのと同値だな
つまり、当たり前のことを別の言い回しに直しただけだ
526:１３２人目の素数さん
14/01/18 00:07:45.78 .net
IQが20以上違えば会話が成立しないというのは本当だなｗ
527:１３２人目の素数さん
14/01/18 04:10:28.25 .net
常微分方程式の解の存在性と一意性は、決して「当たり前のこと」ではないな。
リプシッツ条件やら不動点定理やらの話になって、
単に初期値問題を変数分離形で解くだけでは済まなくなる。
528:１３２人目の素数さん
14/01/18 06:08:27.11 .net
例のPDF面白かったんで新スレ立てました。よろしく。πの二乗の話も良かったね。英語苦手だから理解が追いついてるか自信ないけど。
みんなでproofs from the bookを読もう
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
529:１３２人目の素数さん
14/01/18 07:19:03.95 .net
>>511
横レスだが、f ' (x)＝ f(x), f(0)＝1 なる関数の
存在性・一意性に限って言えば、そこまで高級な議論は必要ない。
存在性：f(x)＝Σ[k＝0～∞](x^k)/k! と置けばよい。
任意の x∈R に対して右辺が収束していることは簡単に出る。
f(0)＝1 は簡単に出る。f ' (x)＝f(x) は次の補題から簡単に出る。
補題：実数列 { f_n(k) }_k (n∈N)と実数列 { f(k) }_k, { g(k) }_k は次を満たすとする。
・lim[n→∞]f_n(k)＝f(k) (∀n).
・|f_n(k)|≦g(k) (∀k, ∀n).
・Σ[k＝1～∞]g(k)＜∞.
このとき Σ[k＝1～∞]f_n(k) (n∈N) 及び Σ[k＝1～∞]f(k)が存在して、しかも
lim[n→∞]Σ[k＝1～∞]f_n(k)＝Σ[k＝1～∞]f(k)
が成り立つ。
上記の補題は簡単なε－δ論法で証明できる。
530:１３２人目の素数さん
14/01/18 07:20:44.92 .net
一意性：g(x)＝Σ[k＝0～∞](x^k)/k! と置くと、既に述べたように
g ' (x)＝g(x), g(0)＝1である。また、任意の x,y∈R に対して
g(x＋y)＝g(x)g(y) が成り立つことが言える(泥臭い愚直な計算で)。
さて、f ' (x)＝ f(x), f(0)＝1 なる f を任意に取る。このとき
(g(－x)f(x)) ' ＝－g ' (－x)f(x)＋g(－x)f ' (x)
＝－g(－x)f(x)＋g(－x)f ' (x)＝g(－x)(－f ' (x)＋f(x))
＝0 ― (i)
となる。さて、x≠0を任意に取る。平均値の定理と上記の(i)より
g(－x)f(x)－g(0)f(0)＝0 となるので、g(－x)f(x)＝g(0)f(0)＝1
となる。これがx≠0なる限り言える。この等式はx＝0のときも
明らかに成り立つ。よって、任意のxでg(－x)f(x)＝1 となる。
両辺にg(x)をかけて、g(x)g(－x)＝g(x－x)＝g(0)＝1に注意して
f(x)＝g(x)となる。よって題意の f は一意的である。
全体としては、「導関数」「級数の収束」の議論だけで十分であり、
積分が必要ない。
531:１３２人目の素数さん
14/01/18 07:38:31.28 .net
余談だが、e^x が既に定義済みであり、e^x の各種の性質も既に証明済みならば、
>>509のように「当たり前のこと」と言っても差し支えない。
なぜなら、存在性は 「 f(x)＝e^x 」の1行で終わり。
また、一意性は>>514と全く同じく
(e^{-x}f(x)) ' ＝ 0
e^{-x}f(x)‐e^{-0}f(0)＝0 (平均値の定理)
e^{-x}f(x)＝1
f(x)＝e^x
で終わる。この計算は簡単な高校数学であるから、
結局、高校数学の範囲に収まってしまう。
一方で、e^x の定義から始める場合は、「当たり前」は言い過ぎ。
たとえば、e^x を級数 Σ[k＝0～∞](x^k)/k! で定義する場合は、
(e^x) ' ＝e^x を証明するのに>>513が必要になる。あるいは、
絶対収束性を使って積分を経由する証明法もあったはず(そっちの方が有名か)。
予め常微分方程式の一般論を論じた上で、f ' (x)＝ f(x), f(0)＝1 なる
ただ1つの関数を e^x と定義する場合は、もはや「当たり前」のための
大義名分を失って本末転倒。
532:１３２人目の素数さん
14/01/22 21:35:18.87 .net
>>503
の解答発展させて超越性の証明はできないものか？
533:１３２人目の素数さん
14/03/20 16:28:48.88 .net
ぬるぽ
534:１３２人目の素数さん
14/03/20 19:37:45.83 .net
>>517
ガッ
535:１３２人目の素数さん
14/03/22 13:34:46.08 .net
運営乙
536:１３２人目の素数さん
14/03/28 19:44:28.82 .net
>>516
多分、それを発展させたのが>>202のエルミートの証明になるんだと思う
537:１３２人目の素数さん
14/04/02 12:17:39.58 .net
e^e、γ、eπ、e/πが無理数であることは確か。
e±πは無理数というか、eとπはQ上線型独立ではある。
そういわざるを得ない。むしろ、我々が認知出来る数の方が例外だと思われる。
当初いっていたe+πの超越性については一旦保留しておく。
多分超越数であるとは思うが、間違っている可能性がある。
未だ、超越性まで分かる夢のような道具は開発出来ていない。
この開発は長い道のりになりそうだ。
538:１３２人目の素数さん
14/04/02 12:48:11.02 .net
まあ、自分でe+πは超越数っていっちゃったんだからしょうがないわなw
いった責任とって、しばらく証明試みてみるわ。
539:１３２人目の素数さん
14/04/02 13:53:26.60 .net
いや、e+πは超越数で合ってるのか？
だけど、単純にそうすると、そうなる理由が説明出来ないことがあるんだよな。
まあ、念のため慎重にもう1回根幹にある定理の証明とかを精査してみるわ。
540:１３２人目の素数さん
14/04/03 21:48:29.31 .net
じゃあまず手始めにe+πが二次方程式の解でないことを示してくれよ。
541:１３２人目の素数さん
14/04/04 05:28:01.55 .net
>>524
>じゃあまず手始めにe+πが二次方程式の解でないことを示してくれよ。
それはあなた達の宿題である。
私がすべきことは、現時点で得られている定理の一般化をただ試みることに他ならない。
それは、道のりが長く強烈に難しいことであろうと思われる。
542:１３２人目の素数さん
14/04/04 08:03:32.14 .net
というか、単発的にe+πが二次方程式の解でないことを
示していくようなことを繰り返しているんじゃ、超越数崩しは出来んわな。
何らかのアルキメデス付値体K∈Rを係数とし、各i＝1、2、…、n、n+1に対して
f_i(x)∈Z(x)は整数係数多項式とするとき
a_1・X^{f_1(e)}＋a_2・X^{f_2(e)}＋…＋a_n・X^{f_n(e)}＋a_{n+1}＝0
ただし、f_1(e)＞f_2(e)＞…＞f_n(e)＞0、
のような、有理係数代数方程式に似た方程式モドキを解く
ようなことを考えていかないと超越数崩しは難しい訳で。
そのようなことを、私=>>525は今考えている訳で。
このような方程式モドキの解について調べることって難しいだろうな。
こういう解について分かれば、超越数の判定や代数的独立性の判定は容易になっていくと思われる。
eは超越数でQ(X)とQ(e)は同型だから、e＝eや
543:π＝πである時点でeとπは代数的独立のような気がするが、 Q(e)やQ(π)はアルキメデス付値体だから、単純にeとπがQ上代数的独立と判断することは出来ないであろう。 表現論なら、eとπの代数的独立性は証明出来るかも知れない。 ただ、表現論全般に精通している訳ではないから、それが正しいという保証はどこにもない。 今は表現論その他をお勉強している訳で。
544:１３２人目の素数さん
14/04/04 12:00:44.73 .net
うわあ
545:１３２人目の素数さん
14/04/04 12:06:57.73 .net
あらこんなところに大型ポエムが
546:１３２人目の素数さん
14/04/04 19:51:09.93 .net
>>59>>61>>65>>67
547:１３２人目の素数さん
14/04/04 20:20:06.96 .net
証明が無いんだからポエムだな
548:１３２人目の素数さん
14/04/04 20:45:35.93 .net
もうこのスレで語る事は何も無い。河合塾で使われて終わった話なのだ。
549:１３２人目の素数さん
14/04/08 20:48:46.26 .net
まだeの超越性の証明が残ってる
勝手に終わらせるな
550:１３２人目の素数さん
14/04/16 07:17:58.15 .net
>>533
或る3つの整数m、n、lが存在して3次元空間で2つの幾何ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)が直交したとする。
ここに、e、e^2は共に無理数だから、m、n、lは何れも0ではないと仮定しても一般性を失わない。
すると、xy平面、yz平面、xz平面の中の任意の2平面は空間内で直交するから、
ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)をxy平面に射影して考えると、3垂線の定理により、
xy平面における2つの幾何ベクトル(e^2,e)、(m,n)は直交する。
よって、(e^2,e)、(m,n)の内積を考えると、e＞0から、me+n＝0が得られ、e＝n/mは有理数。
しかし、これはeが無理数であることに反し、矛盾する。
従って、如何なる整数m、n、lに対しても、3次元空間で2つの幾何ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)が直交し得ない。
e、e^2が無理数であることは使っていいと>>1に書いてあるから用いた。
551:１３２人目の素数さん
14/04/16 08:00:39.96 .net
>>533で、「e＝n/mは有理数」の部分は「e＝-n/mは有理数」と訂正。
552:１３２人目の素数さん
14/04/16 10:16:56.01 .net
これはひどい
553:１３２人目の素数さん
14/04/16 10:17:00.94 .net
e=1+2^(1/2).
e^2-2e-1=0.
554:１３２人目の素数さん
14/04/16 13:32:22.86 .net
>>536
要するにある２次無理数rにおいては(r^2,r,1)と直交する整数ベクトルがあるという事。その整数ベクトルを幾何学的に導ければeがそれに当てはまらないと言えるんだが。
555:１３２人目の素数さん
14/04/16 15:38:16.77 .net
>>535
>>536
>>537
>>533はお絵描きしたり証明したりせず、テキトーに書いたからな。
こうなったらいいねの話な訳で。くれぐれもマジメに読まないでほしい。
556:１３２人目の素数さん
14/04/16 19:29:07.06 .net
既に真面目に読んでしまった人がいるわけだが、その人たちに対して何か言うことは無いか？
557:１３２人目の素数さん
14/04/17 06:00:16.96 .net
すみませんでした。
558:１３２人目の素数さん
14/04/17 06:36:41.48 .net
幾何学的の「幾何学」がどういう「幾何学」を指すのかは分からないが、
>>533の初等幾何的な証明は少し難しいとは思う。
559:１３２人目の素数さん
14/04/17 18:09:58.07 .net
>>541
無理っぽい、、、。
560:１３２人目の素数さん
14/04/18 11:14:11.52 .net
>>542
じゃ、>>533は出来ない(解けない)で終了。
実質的にeやe^2が超越数になるというのに、
どうやって(初等)幾何学的に示すのかと思ってたんだよ。
561:１３２人目の素数さん
14/04/18 23:17:42.43 .net
>>543
そもそも内積取らなくても元のベクトルを延長したら格子点を通る訳だから、eが2次方程式の解ならe^2x+ey+z=0という一次直線が格子点を通るかという問題に還元される。
これは元の問題を直接解くのと何も変わらない。
562:１３２人目の素数さん
14/04/26 16:03:35.69 .net
ｱﾝｶｰもまともに貼れない池沼の集まり
563:１３２人目の素数さん
14/04/26 18:51:33.28 .net
≫ 546
誰のことだ？
564:１３２人目の素数さん
14/04/26 23:40:21.31 .net
x^2-e^2=0
セイケイシキ？！
log(x)^2-1 = 0
What?!
565:１３２人目の素数さん
14/04/28 01:25:23.83 .net
ある3次元1次関数が格子点を通る事の必要条件と十分条件って何だろう？
566:１３２人目の素数さん
14/05/03 08:56:26.56 .net
3次元1次関数ｗ
567:１３２人目の素数さん
14/05/08 16:45:26.36 .net
test
568:１３２人目の素数さん
14/05/09 20:07:08.26 .net
x^2+2ex+e^ 2=0
569:１３２人目の素数さん
14/05/11 01:52:49.59 .net
test
570:１３２人目の素数さん
14/05/12 21:44:34.18 .net
te
571:１３２人目の素数さん
14/05/12 22:37:19.71 .net
ここでテストするな。ここは京大模試に採用された高尚なスレだぞ。
572:１３２人目の素数さん
14/05/12 23:35:35.04 .net
じゃあ本番
573:１３２人目の素数さん
14/05/13 00:02:49.60 .net
つーか、みんなで予備校関係者に釣られたんだよなｗ
574:１３２人目の素数さん
14/05/15 13:07:31.10 .net
誰が関係者だと？
>>1にはあのレベルの出題をする能力はない。
575:１３２人目の素数さん
14/06/14 01:10:18.62 .net
test
576:１３２人目の素数さん
14/08/26 21:28:57.34 .net
eの超越性を初等的に示す事はできないの？
577:１３２人目の素数さん
14/08/26 22:59:06.42 .net
社会学板でゼロの累乗実験進行中。
578:１３２人目の素数さん
14/08/27 01:43:39.98 .net
ｅの超越性の証明はどこかそこらへんの微積分学の本で読んだ記憶があるけど
初等数学の範囲だったと思うよ。
579:１３２人目の素数さん
14/08/28 12:38:07.42 .net
eが2次の代数的数であると仮定する
このとき
(√e)^2=e
これは仮定eが2次の代数的数であることに矛盾する
したがってeは超越数である☆
580:１３２人目の素数さん
14/08/28 12:55:14.48 .net
>>562
この論法が正しかったとすると代数的数2^2＝4に対しても
>4が2次の代数的数であると仮定する
>このとき
>(2)^2=4
>これは仮定4が2次の代数的数であることに矛盾する
>したがって4は超越数である
という論法が成り立たないといけないから間違いだわな。
581:１３２人目の素数さん
14/09/14 15:14:19.59 .net
質問が期待している答えは、
ｘが有理整数上の二次の無理数であるとすれば、
ｘの連分数展開は必ず循環する。
でもeの連分数展開は巡回しないから、二次の無理数になるのは無理ぽ。
そういう論法だろう。
582:１３２人目の素数さん
14/09/21 21:28:02.80 .net
>>564
>>12
少なくともスレ立てた本人はそういう論法を期待してないみたいだけど？？？
583:１３２人目の素数さん
14/09/24 12:01:33.91 .net
連分数が循環しない⇔超越数
って推測は可能だが証明無しで使っても良いの？
584:１３２人目の素数さん
14/09/24 12:07:52.15 .net
いいわけないだろ馬鹿
585:１３２人目の素数さん
14/09/24 12:25:11.44 .net
救いようがないな
586:１３２人目の素数さん
14/09/24 12:36:49.12 .net
いい加減な知識を入試とかで使う
↓
採点ではねられて落ちる
↓
「なんとかの定理を使ったら、バツにされるぞ」
あると思います。ロピタルとか、こんなの山ほどありそう
587:１３２人目の素数さん
14/09/24 14:36:46.77 .net
ステップ1 eの連分数展開が循環しない事を示す。
ステップ2 2次無理数の連分数展開が一般に循環する事を示す。
ステップ3 循環しない連分数の示す数が二次無理数出ない事を示す。
ステップ4 1で得られた形の循環しない連分数がeそのものだと示す。
これら全部説明してようやく正解か。
588:１３２人目の素数さん
14/09/24 15:00:42.18 .net
>>570
３行目、日本語でおｋ
589:１３２人目の素数さん
14/09/24 19:06:09.93 .net
>>566
>連分数が循環しない⇔超越数
これだけで、いろいろと夢広がりまくりんぐｗｗｗｗｗ
簡単な系として
･Q上の有限次拡大体はガロア拡大
･KをQ上の有限次拡大体とするとき、Gal(K/Q)はべき零、特に可解
･代数的数は作図可能
590:１３２人目の素数さん
14/09/24 19:09:57.30 .net
おいおいおいおいおいおい
運営乙
591:１３２人目の素数さん
14/09/24 21:51:17.62 .net
三次無理数も循環しないのか？四次無理数では？
循環しなくても代わりに別の法則があるのか？
592:１３２人目の素数さん
14/09/25 05:59:04.64 .net
連分数が循環しない⇔超越数
では無いみたいだけど
連分数が循環しない⇔二次無理数でない
は言えそう。
そもそも連分数の形から超越性を示す事ってできんの？
593:１３２人目の素数さん
14/09/25 19:31:36.57 .net
三次無理数の連分数について教えて下さいよぉ。
594:１３２人目の素数さん
14/09/25 20:00:15.63 .net
一次無理数⇔循環小数
二次無理数⇔循環連分数
595:１３２人目の素数さん
14/09/25 20:29:51.26 .net
また妙な単語作って
> 一次無理数
596:１３２人目の素数さん
14/09/25 21:10:41.51 .net
>>577
三次無理数⇔循環○○？
597:１３２人目の素数さん
14/09/25 21:35:06.44 .net
わかってないのに無理するからな
598:１３２人目の素数さん
14/09/25 22:43:21.04 .net
わかった。二次無理数は連分数で同じ整数が同じ順列で繰り返し。
三次無理数の場合2次の時のような正則ではないが連分数で有限の数の整数の組み合わせの繰り返しで表現される。
一方超越数を連分数にしたら登場する整数は循環しないだけでなく、無限種類の整数が現れる。
599:１３２人目の素数さん
14/09/26 11:34:16.45 .net
さすが狼おじさん、新作もすごいね
600:１３２人目の素数さん
14/09/30 16:55:17.35 .net
三次無理数も三次方程式も美しくない。神の発明は自然数、有理数と二次無理数まで。
601:１３２人目の素数さん
14/11/07 19:36:49.76 .net
この問題を数Ⅲの定期テストに出そうと思えばどう誘導すれば良いかな？
602:１３２人目の素数さん
14/11/14 00:21:03.16 .net
俺が思うのはどうしてこういう疑問が出てきたのか？ってことだ
数学はそういうのが多い
頭のいい奴はいろいろ疑問を持つんだな
603:１３２人目の素数さん
15/02/24 21:12:31.42 QlyQY4Kv.net
三次無理数、四次無理数、n次無理数の連分数表現って一般化できるの？賢い人教えて
604:１３２人目の素数さん
15/02/25 20:01:41.60 B7eIVZ6C.net
それができたらノーベル賞もの
605:１３２人目の素数さん
15/03/05 23:39:50.34 L4wXg2vE.net
三次だけでも無理なのか？
606:１３２人目の素数さん
15/03/14 15:44:49.30 k+B/o0iT.net
連分数があくまで二次元的な表現方法ってだけで三次無理数には三次元的な超連分数があって、そこでは繰り返しで表現できるってことじゃないか？
607:１３２人目の素数さん
15/03/14 19:57:39.05 YYRn3zpw.net
y=a+b/xが2次曲線である以上
これを有限個連ねても3次無理数は表現不可
ちょっとは頭使えよお前ら
608:１３２人目の素数さん
15/03/15 04:12:11.41 BoE8Nb7/.net
>>590
なるほど。3次超連分数の定義とeがそれで表現できない事を証明できないか？
609:１３２人目の素数さん
15/03/15 11:39:13.39 wzERPOue.net
運営乙
610:１３２人目の素数さん
15/03/15 14:45:09.33 /Ai6yql7.net
(1/e)^2 * x^2 +(1/e) * x -2=0
の解になってるけど二次方程式の
解じゃないのかな？
611:１３２人目の素数さん
15/03/15 19:09:01.17 SdHQbzlb.net
お前は一生ROMってろ
612:１３２人目の素数さん
15/03/15 22:41:56.02 BoE8Nb7/.net
3次超連分数なるものを定義して、二次無理数における連分数表記のように三次無理数が超連分数の繰り返しで表現できたとして、
eがその性質を持たない事を証明することは三次無理数でないことを直接証明するのと何ら変わらない。
ある数の三次無理性を否定する事は二次無理性を否定する事の数倍難しい。
613:１３２人目の素数さん
15/06/28 01:16:15.23 zOOddEEd.net
ae^2+be+c=0を満たすa,b,cが存在すると仮定する(a,b,cは整数 a≠0) ←パクリです
ae^2+be+c=0 ...①
この式をeで微分して
2ae+b=0
即ちb=-2ae ...②
これを①に代入して
ae^2-2ae^2+c=0
即ちc=ae^2 ...③
条件よりa,b,cは整数,a≠0なので
②③は成立しない
よって①も成立しない
高3で問題よくわからんがテキトーに
614:１３２人目の素数さん
15/06/28 07:57:53.60 pxcULOZ3.net
>>596
天才現る
615:１３２人目の素数さん
15/06/30 00:11:17.44 0d/wsIlJ0.net
597の人だが
今考えてみるとおかしなことに気付いた
さらに微分すると2a=0になる
自分で書いてなんだけどこの証明はおかしい気が
616:１３２人目の素数さん
15/06/30 07:09:19.31 glHIEriH.net
>>598
いやあってるよ、君数学のセンスいいね
617:１３２人目の素数さん
15/06/30 07:30:20.05 0d/wsIlJ0.net
>>599
vipで聞いたら
方程式は微分できないって
微分は恒等式で
618:のみ。と これに納得したから俺はこの証明間違えていると思う
619:１３２人目の素数さん
15/10/09 13:47:55.41 6Pl9WiXw.net
f'(a)={f(a)}'と言いたいのかな
まあセンスは皆無
620:１３２人目の素数さん
15/10/09 15:09:40.54 zu7kV45m.net
>>601
お前もな
621:１３２人目の素数さん
15/10/10 15:09:31.35 Z4BWVqmo.net
言っとくがこの問題はそんな簡単には解けないよ。河合塾の模試よりエレガントな方法があると思うが、誰もそこにたどり着けない。
622:１３２人目の素数さん
15/10/10 23:29:56.56 Iy08NCEA.net
eの超越性の証明
エルミートの方法>>15>>202
天書の証明>>469>>502-503
eの二次無理性のみの証明
河合塾の模試>>387>>459
テーラー級数>>18-19>>189>>460
連分数展開（アイデアのみ）>>12>>570
623:１３２人目の素数さん
15/10/10 23:46:25.88 Iy08NCEA.net
>>604
すまん、天書の証明のはe^nの無理性の証明だった
624:１３２人目の素数さん
15/10/10 23:56:34.31 Iy08NCEA.net
>>604
そして>>460はe^2の無理性の証明でした
ぐだぐだでスマソ
625:１３２人目の素数さん
15/10/11 19:35:35.79 d0LAlUgf.net
>>596
これで高３て…
626:１３２人目の素数さん
15/10/12 00:57:58.57 oeCnT+6O.net
むしろ高３でこういう証明考え付くのはすごいと思う
627:１３２人目の素数さん
15/10/12 07:06:44.64 4tUTQ8q2.net
定数で微分するのか…
628:１３２人目の素数さん
15/10/12 13:21:52.93 ygs5x6T9.net
高３でそれをやる所がすごいんだろ
629:１３２人目の素数さん
15/10/12 13:23:45.23 Ieo7mfZp.net
数学における位相幾何学（いそうきかがく、英: topology; トポロジー）は、
「位置」（希: τόπος）の「学問」（希: λόγος）に由来し、与えられた集合を位相空間とするような開集合に関して研究する。
この分野では連続変形（伸ばしたり曲げたりすることはできるが切ったり貼ったりはしない）によって保たれる空間の性質に関心がもたれる。
位相幾何学的性質において重要なものには、連結性およびコンパクト性などが挙げられる[1]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
630:１３２人目の素数さん
15/10/12 13:47:47.16 Ieo7mfZp.net
Jumeirah Madinat Abra ride - 360 degree video
URLﾘﾝｸ(aurorawave.atspace.tv) URLﾘﾝｸ(i1.ytimg.com) #AuroraWaveTV
631:１３２人目の素数さん
16/02/14 21:53:46.04 m+c0QIz3.net
ここまでまとめ
eの超越性の証明
エルミートの方法>>15>>202
eの二次無理性の証明
河合塾の模試>>387>>459
テーラー級数>>18-19>>189
e^nの無理性の証明
天書の証明>>469>>502-503
e^2の無理性の証明>>460
連分数展開（アイデアのみ）>>12>>570
632:１３２人目の素数さん
16/02/14 23:23:37.73 V4RQLRWL.net
運営乙
633:１３２人目の素数さん
16/02/15 07:50:23.34 UbkLnbxY.net
普通にこのスレは良スレだったと思うがな
634:１３２人目の素数さん
16/02/15 21:28:54.94 J3681/jq.net
三次無理性の証明を何度か挑戦したがとても難しい
635:１３２人目の素数さん
16/02/16 01:26:27.50 Dp4n3QFc.net
4次無理性の証明を何度か挑戦したがとても難しい
636:１３２人目の素数さん
2016/02/1
637:6(火) 11:04:17.02 ID:9+W5Vhfq.net
638:１３２人目の素数さん
16/02/16 22:34:38.03 vpb2nyRO.net
6…あっ
639:１３２人目の素数さん
16/02/16 22:54:59.28 P4IzKdQf.net
>>618
ガロア乙
640:１３２人目の素数さん
16/02/18 13:45:30.46 0D+DRceU.net
思ったんだけどさ
3次方程式は(x-r)^3+p*(x-r)+q=0の形に変形できるじゃん
そしたら(x-r)+p*(x-r)^(-1)+q*(x-r)^(-2)=0になってe代入して
(e-r)と(e-r)^(-1)をテイラー展開すれば2次のときと同じ事出来るんじゃね
641:１３２人目の素数さん
16/02/22 08:21:20.15 P6QXc0Hd.net
>>621
やってみてよ、絶対躓くから
642:１３２人目の素数さん
16/03/14 16:40:09.85 I+jaqz2g.net
ｅは極限値であって厳密には有限回の演算では
定義されない 公式で確定する二次式の解と違うのは
自明だが
643:１３２人目の素数さん
16/03/14 16:48:45.89 bb0Wn9a4.net
マジで死ね
644:１３２人目の素数さん
16/03/14 20:19:53.88 I+jaqz2g.net
二次方程式の係数を整数だとする それでeが表現できるか
という問いだと考えていいだろう あるいは
平方根だけを使ってeを近似できるか という事かもしれない
この問い自体がくだらないのだ 近似という言葉を使ってる
時点で既に勝負はついている 二次方程式には公式がある
それは「近似」との接点は無い 当たり前だが「公式」」で
表される超越数など存在しない
645:１３２人目の素数さん
16/03/14 21:42:18.43 pqIzHOJ3.net
eが超越数かどうかを
問題にしてるんじゃないの？
そこが既知なら、
最初から「自明」で終わる。
646:１３２人目の素数さん
16/03/14 21:57:08.08 PCxkNiwi.net
それも違う
eの2次無理性を超越性を用いずに証明できるかを問題にしている
647:１３２人目の素数さん
16/03/14 22:26:32.01 pqIzHOJ3.net
2次無理って代数的
648:１３２人目の素数さん
16/03/14 22:59:55.78 CkCqEvHS.net
運営乙
649:１３２人目の素数さん
16/03/14 23:34:45.68 4pf1T67N.net
>>625
なんで超越性が既知なんだよ？本末転倒だろ
eの初等的性質を満たす数が二次無理数でないかどうかは自明ではないり
650:１３２人目の素数さん
16/03/15 14:22:35.82 HlnhYh8d.net
或る意味では、>>625の考え方も出来るかも知れないな。代数的には、
eやπが超越数を表すような公に定義された文字である以上、
平面上で原点中心の単位円周上に(1,0)から反時計回りに円周上を
eやπ±eの長さだけたどると、幾何学的には、
eが超越数で、π±eも自然に超越数になるからな。
どう見ても、代数的にはπ±eはこれ以上計算しようがないだろ。
ただ、a－πとπ a＞πは代数的数 に対して同様なことを考えると
(a－π)＋π＝a で代数的数になるから、同様な論法は成立しないんだけど。
単位円周上の長さが2πで超越数なることがこういう厄介な問題を引き起こしているのな。
超越数に収束する無限級数や積分自体を考えないと、意味がなくなる。
代数的考え方だけでは無力になっているという、いい例だな。
651:１３２人目の素数さん
16/03/15 15:10:38.42 HlnhYh8d.net
念のため、>>631の補足。
1：a－πとπ a＞πは代数的数 → a－πとπ a＞πは実数の代数的数
2：(a－π)＋π＝a で代数的数になる → (a－π)＋π＝a で実数の代数的数になる
652:１３２人目の素数さん
16/03/15 16:17:09.54 qQBHjSpT.net
√３ と √５だけを使ってeを表せないか？
出来る 可能だ
無論有限回では意味を成さない
無限級数となる そしてそれはeの定義と同義だ
級数和に根号を掛けただけの式に等しいだろう
653:１３２人目の素数さん
16/03/15 23:41:30.02 08nyLitV.net
あなたの論理は高度過ぎて何を言ってるかわからない
654:１３２人目の素数さん
16/03/15 23:47:46.63 2j25G9Tg.net
いや高度過ぎるんじゃなくて支離滅裂なだけ
655:１３２人目の素数さん
16/03/16 17:52:26.03 zES61Q86.net
e^2 - x^2 = 0
の解は
656:１３２人目の素数さん
16/03/16 18:32:17.23 agzk9WLT.net
eというのはシステムなんだから幾らでも拡張できる
ただ拡張元のソースが違う場合に 拡張されたモノは
それぞれ互換性があるのかとか その辺の問題は
「代数」の範疇だろ
657:１３２人目の素数さん
16/03/21 13:29:56.04 1jSM82Lc.net
このスレにおける「e」は実数で超越数を表す文字かつ量であることに注意な。
そうすると、e^2－x^2＝0 は文字eの方程式ではなく文字xの方程式で、
係数が超越拡大体Q(e)に属する。なので、有理係数多項式の根ではなく
超越拡大体Q(e)の元を係数とする方程式を考えていることになる。
e^2－x^2＝0 は、体Q(e)においてはx＝±eを根に持つが、e^2の部分をeに置換して
超越拡大体Q(e)の元を係数とする方程式 e－x^2＝0 を体Q(e)において考えると、根を持たなくなる。
何故なら、変数xの方程式 e－x^2＝0 が体Q(e)において根を持つとする。
方程式 x^2＝e は体Q(e)において根を持つ。だが、体Q(e)において持ち得る複素数の根は
±√eの2つに限られ、√eは超越拡大体Q(e)に属さない。だから、x^2＝e はQ(e)において根を持たず矛盾。
まあ、この辺りのことをチマチマ考えるのが代数なんだが。
2つの実数の和や積の演算は実数論で定義されそれ独自で意味がある訳で、
実数体Rに対して代数の理論は通用しないだろ。体Rに対して
代数の理論を形式的に応用しようとすると、必ずどこかで破綻する。
級数の扱い方も、解析では代数より精密になる。
658:１３２人目の素数さん
16/03/22 18:52:22.91 HXPS3ydD.net
なんとなく解析ビシビシ臭がするんだが
659:１３２人目の素数さん
16/03/22 19:23:20.70 Cxh/Sw+4.net
そりゃ、解析抜きでeは定義できないからな。
660:１３２人目の素数さん
16/03/22 23:29:29.95 44iq6QBC.net
てことは解析抜きでeを定義できたらすごい？
661:１３２人目の素数さん
16/03/24 11:12:32.99 yayv/s4j.net
>>632
>>631では証明を書いてなく、>631の
>代数的には、eやπが超越数を表すような公に定義された文字である以上、
>平面上で原点中心の単位円周上に(1,0)から反時計回りに円周上を
>eやπ±eの長さだけたどると、幾何学的には、
>eが超越数で、π±eも自然に超越数になる。
だけでは証明になってなく、更に>631では
>同様な論法は成立しないんだけど。
や
>超越数に収束する無限級数や積分自体を考えないと、意味がなくなる。
などと書いてあったりするので、>>631の今挙げたこれらの部分「だけ」では、
元から真に受ける価値はないんです。>>633みたいに真に受けている人もいますけど、
せいぜい独り言だと思って下さいな。>631の価値は、少なくとも
>代数的考え方だけでは無力になっているという、いい例だな。
の部分にあるんです。
662:１３２人目の素数さん
16/05/04 22:39:42.92 svwsFLor.net
つ[凡例]
7e-19＝4/143,
1001e－2721＝(3/286)^2,
∴(7e-19)^2＝7(1001e－2721),
∴(7e)^2－1039(7e)＋19408＝0
∴e＝(1039－√1001889)/14,
663:１３２人目の素数さん
16/05/04 23:08:14.53 svwsFLor.net
>>643
a=1/143 の冪級数で表わせば
7e＝19＋4a＋(9/4)a^3＋(3/4)a^4＋…
でつか？
664:１３２人目の素数さん
16/05/05 17:50:09.14 gy2ISb2K.net
>>644
a=1/143はe(電子)の微細構造定数かな？
665:１３２人目の素数さん
16/05/06 11:20:18.42 EGY51WfE.net
eの定義を変えるなよw
結局河合塾より美しいエレガントな解法は見つからないのか。
大学への数学か何かの懸賞問題にしてもらえないかな。
666:１３２人目の素数さん
16/05/09 20:57:26.55 CEQzP+ml.net
∫[0,1] e^(-x^2)
667: dx＝(1/2)(√π)erf(1)＝0.746824… も無理数らしい。 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/947-
668:１３２人目の素数さん
16/05/10 22:16:39.40 f4G41nmW.net
幾何学的アプローチは無理なのかね。
669:１３２人目の素数さん
16/05/10 22:18:41.52 f4G41nmW.net
eの作図不可能性が示せれば、あるいは
670:１３２人目の素数さん
16/05/10 22:27:07.65 DDd5C0FU.net
x^2-e^2=0
671:１３２人目の素数さん
16/05/10 23:25:09.55 ICic68ZK.net
そゆのもおいいから
672:１３２人目の素数さん
16/05/12 01:31:34.03 T9b6+jc3.net
二次無理数は定規とコンパスで作図できるから、限りなくeを近似する作図プロセスを見つけてそれが無限回施行しないとeそのものにならない事を示せれば良いかもしれない。
(1+1/h)^hの作図がある時点から不可能になると示せれば十分かもしれん
673:１３２人目の素数さん
16/05/12 14:32:39.12 hGeHdykH.net
米をいろいろな煮かたで煮ても
焼きおにぎりにはなりませんでした
って話に、なんの意味が？
674:１３２人目の素数さん
16/05/12 14:53:19.89 Y7X8Em4B.net
だよな
675:１３２人目の素数さん
16/05/12 19:02:55.75 fBUHR9Yn.net
限りなく焼きおにぎりに近付く煮方を探して、それでは目標の焼きおにぎりにならないか、途中から目標の焼きおにぎりとは違う煮米に常になる事が示せれば目標の焼きおにぎりは煮米ではない事が証明できるだろう
676:１３２人目の素数さん
16/05/12 19:08:28.26 JRApPWyp.net
無駄スレをageるな
677:１３２人目の素数さん
16/05/12 19:34:05.99 dWDqQFlO.net
急な質問ですいません＆板違いすいません
x８乗-16を因数分解 解る方いらっしゃいますか？
678:１３２人目の素数さん
16/05/12 21:41:27.25 UahXM6zf.net
マルチ
679:１３２人目の素数さん
16/05/12 23:43:28.04 pOtAI4sw.net
なんじゃこりゃ
680:１３２人目の素数さん
16/05/12 23:43:57.73 pOtAI4sw.net
ほう
681:１３２人目の素数さん
16/05/13 13:39:21.42 iJ9sGTmC.net
そもそも(1+1/h)^hはhが有限であれば無理数ですらないただの有理数だからどこまで行っても作図可能。
だからeも作図可能となるかというとそうではない。
682:１３２人目の素数さん
16/05/13 13:42:21.99 aL2rsf9x.net
（´･∀･`）ﾍｰ
683:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/13 15:37:04.56 ozV2s34P.net
￥
>23 名前：１３２人目の素数さん ：2016/05/13(金) 15:33:17.81 ID:KGFIjXxE
> あほ痴漢野郎、仁さんを舐めすぎ！
> 仁さんは本気だしたら春季賞レベルだよ
> おまえなんか片手でひょいだよ
> 早く泣いて逃げた方がいいよ！
>
684:１３２人目の素数さん
16/05/13 16:44:22.91 oSDR/D3n.net
>>657
x^8 -16 = (x^4 +4)(x^4 -4)
= {(xx+2)^2 -(2x)^2}{(xx)^2 - 2^2}
= (xx+2x+2)(xx-2x+2)(xx+2)(xx-2) (←Z or Q)
= (xx+2x+2)(xx-2x+2)(xx+2)(x+√2)(x-√2) (←R)
= (x+1+i)(x+1-i)(x-1+i)(x-1-i)(x+(√2)i)(x-(√2)i)(x+√2)(x-√2) (←C)
685:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/13 16:45:02.79 ozV2s34P.net
￥
>23 名前：１３２人目の素数さん ：2016/05/13(金) 15:33:17.81 ID:KGFIjXxE
> あほ痴漢野郎、仁さんを舐めすぎ！
> 仁さんは本気だしたら春季賞レベルだよ
> おまえなんか片手でひょいだよ
> 早く泣いて逃げた方がいいよ！
>
686:１３２人目の素数さん
16/05/13 16:48:53.35 oSDR/D3n.net
>>657
x^8 - (√2)^8 = Π[k=0～7] {x - (√2)e^(ikπ/4)}.
687:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/13 16:49:52.38 ozV2s34P.net
￥
>23 名前：１３２人目の素数さん ：2016/05/13(金) 15:33:17.81 ID:KGFIjXxE
> あほ痴漢野郎、仁さんを舐めすぎ！
> 仁さんは本気だしたら春季賞レベルだよ
> おまえなんか片手でひょいだよ
> 早く泣いて逃げた方がいいよ！
>
688:１３２人目の素数さん
16/05/13 23:33:16.55 vwXd4DWD.net
いろんなアプローチを試してみたが河合塾の出題者はよくあんな方法を思い付いたなと関心だわ
689:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/13 23:47:01.79 ozV2s34P.net
￥
>23 名前：１３２人目の素数さん ：2016/05/13(金) 15:33:17.81 ID:KGFIjXxE
> あほ痴漢野郎、仁さんを舐めすぎ！
> 仁さんは本気だしたら春季賞レベルだよ
> おまえなんか片手でひょいだよ
> 早く泣いて逃げた方がいいよ！
>
690:１３２人目の素数さん
16/05/18 22:49:49.07 hzGdJF+x.net
e + 2π = (19/7) + 2(22/7) = 9,
e^6 - π^5 - π^4 = 0,
より、eは整6次方程式
32e^6 - (9-e)^5 - 2(9-e)^4 = 0,
の根 2.7179070 だよ。
691:１３２人目の素数さん
16/05/18 23:31:58.11 hzGdJF+x.net
π=(5φ/7)e (φ=(1+√5)/2=1.618034）
を使うと、eは2次方程式
ee - (5φ/7)^5 e - (5φ/7)^4 = 0
の根 2.718382829 だよ。ちょっと無理だが…
692:１３２人目の素数さん
16/05/19 07:28:13.56 UzSBUecL.net
天才現る！
693:１３２人目の素数さん
16/05/19 11:52:07.70 Pqn1kI5l.net
はいは～い、誤答のおっちゃんが厳密ではないですけど、面白い解答しま～す。
[第１段]：x を実数の独立変数、yを実数の従属変数とする。定義から、指数関数 y＝e^x の値域は
区間 (0,+∞) である。また、y＝e^x は単調増加で一価の関数である。定義から、対数関数 y＝log(x)、x＞0
についても同様なことがいえるから、y＝e^x の逆関数 は y＝log(x)、x＞0 である。平面 R^2 上で、
直線 y＝x のグラフ G_0＝{(x,y)|y＝x,x∈R}について、指数関数 y＝f(x) のグラフ
G_1＝{(x,y)|y＝e^x, x∈R} と 対数関数 y＝g(x) x＞0 のグラフ G_2＝{(x,y)∈R^2|y＝log(x)、x＞0}
とは対称である。また、R^2 において、直線 y＝-x+1 は平面 R^2 上の3点
P_1＝(0,1), P_2＝(1,0), P_3＝(1/2,1/2) を通る。R^2 上の3点 P_1、P_2、P_3 について
P_1∈G_1、P_2∈G_2、P_3∈G_0 だから、R^2上 で直線 y＝-x+1 を原点 を中心にして、
時計回りに π/4 の角だけ回転させると、直線 y＝-x+1 は y＝0 に一致する。R^2の2点
P_4＝(e,e^e)、P_5＝(e^e,e) について、P_4∈G_1 と P_5∈G_2 とは
直線 y＝x について対称である。a＝(1/2)(e＋e^e) とおくと、R^2上の点
P_6＝(a,a) について P_6∈G_0。また、R^2 において、直線 y＝-x+a は3点
P_4、P_5、P_6 を通る。従って、R^2上 で直線 y＝-x+a を原点 を中心にして、
時計回りに π/4 の角だけ回転させると、直線 y＝-x+a は y＝0 に一致する。
b＝-e+e^e,c＝-e^e+e とおく。R^2上 で原点 を中心に、時計回りに π/4 の
角だけ P_4、P_5 を、それぞれ回転させた点は、(1/√2)(2a,b)、(1/√2)(2a,c)
であって、b＝-c。従って、任意の実数 t＞1/2 に対して、e^t∈Q[√2,t] なる
ことと log(t)∈Q[√2,t] なることとは同値である。
694:１３２人目の素数さん
16/05/19 11:53:48.36 Pqn1kI5l.net
(>>673の続き)
[第２段]：今、eが2次無理数であったと仮定する。t＝1 とすると、
確かに log(1)＝0∈Q[√2,1]＝Q[√2] だから、e∈Q[√2]。
e は2次無理数だから、e に対して或る s,t∈Q が存在して、e＝s+t√2。
従って、e－s＝t√2 の両辺を2乗すると、e^2－2se＋s^2＝2t^2 から、
e^2＝2se＋2t^2－s^2＝2s(s+t√2)＋2t^2－s^2
＝s(s＋t√2)＋t(2t＋s√2)
だから、
e＝(1/e){s(s＋t√2)＋t(2t＋s√2)}
＝(1/s+t√2){s(s＋t√2)＋t(2t＋s√2)}
＝s＋t(2t＋s√2)/(s+t√2)。
故に、s+t√2＝s＋t(2t＋s√2)/(s+t√2) から、t√2＝t(2t＋s√2)/(s+t√2)。
ここで、eは2次無理数だから、t≠0。従って、両辺をtで割ると、
√2＝(2t＋s√2)/(s+t√2) から (s+t√2)√2＝2t＋s√2 であり、
e＝s+t√2 から e√2＝2t＋s√2。よって、√2＞1 から 2t＋s√2＞s+t√2
であって、t＋(t－s)＋(s－t)√2＞0 だから t＋(t－s)＋(s－t)√2≠0。
s≠t だから、両辺を s－t で割れば、t/(s－t)－1＋√2≠0 を得る。
s,t∈Q から t/(s－t)－1、は有理数である。また、√2は無理数である。
{1,√2} ベクトル1,√2によって張られる有理数体Q上の線型空間の基底となるから、
1、√2は体Q上線型独立である。従って、t/(s－t)－1、1≠0。
しかし、1≠0 は矛盾する。故に、eは2次無理数ではない。
[第３段]：eは2次無理数ではないから、如何なる
整形式の二次方程式fを取ろうとも、eはfの根とはなり得ない。
695:１３２人目の素数さん
16/05/19 13:39:26.00 aDNH9tMu.net
これ合ってんの？アプローチとしては有りっぽいけど。
696:１３２人目の素数さん
16/05/19 14:00:15.26 neE3NBS2.net
ものすごく解析ビシビシ臭がする…
697:１３２人目の素数さん
16/05/19 19:25:27.83 jFP7lu4f.net
π=(898/777)e を使うと、eは整2次方程式
(777^5)ee -(898^5)e - 777･(898^4) = 0,
の根 2.718280 だよ。
698:１３２人目の素数さん
16/05/20 04:32:17.43 60fwCtwY.net
単純に任意の二次無理数の自然対数が1にならない事なら証明できそうな気がする
699:１３２人目の素数さん
16/05/20 05:58:47.1
700:3 ID:tSKDdOrb.net
701:１３２人目の素数さん
16/05/20 14:18:48.10 DxtciVFL.net
679が証明できれば>>1も証明できるな。二次無理数の自然対数が1にならないということよりも、かならず無理数になる事が示せれば十分かもしれん。
702:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/20 15:05:03.34 9ZaMs54t.net
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16/05/20 15:05:19.60 9ZaMs54t.net
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16/05/20 15:05:38.68 9ZaMs54t.net
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16/05/20 15:05:56.69 9ZaMs54t.net
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16/05/20 15:06:14.14 9ZaMs54t.net
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16/05/20 15:07:09.48 9ZaMs54t.net
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16/05/20 15:07:45.77 9ZaMs54t.net
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712:１３２人目の素数さん
16/05/20 19:44:25.76 hCnZr4Pw.net
>>671
eは整4次方程式
{2(7^5)ee -11(5^5)e -49(5^4)}^2－(5^9)(25e +21)^2 = 0,
の根ですね。
713:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/20 20:58:10.72 9ZaMs54t.net
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16/05/20 20:58:28.23 9ZaMs54t.net
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16/05/20 23:01:59.21 9ZaMs54t.net
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724:１３２人目の素数さん
16/05/21 22:20:54.08 eJklqCNH.net
ここにはまともな数学者は居ないのか？logeは1だぞ！かたや二次無理数の自然対数が整数はおろか有理数な訳が無いだろ。そんな事も証明できないのかよ。
725:１３２人目の素数さん
16/05/21 22:54:07.21 uTTJmuw3.net
間違いを指摘したところで無意味なんだから触りたくないんだよ
726:１３２人目の素数さん
16/06/04 17:12:08.78 5l4Sjrvx.net
この問題の驚くべき証明を得たがここに書き記すには余白が足りなさすぎる
727:１３２人目の素数さん
16/06/05 20:34:26.01 nLt7R2Vq.net
..., cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.
(･･･, to which really wonderful demonstration detected.
Hanc marginis exiguitas non caperet.
(margin is short not contain that.)
728:１３２人目の素数さん
16/06/05 21:30:38.32 YkkvAwGU.net
こいついつもラテン語使ってんな
729:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/08 14:21:58.49 qOgoDwjT.net
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16/06/08 14:23:14.96 qOgoDwjT.net
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16/06/08 14:24:12.60 qOgoDwjT.net
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16/06/08 14:24:32.49 qOgoDwjT.net
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16/06/12 21:58:34.81 sddJLSmn.net
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16/06/12 22:51:45.16 sddJLSmn.net
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740:１３２人目の素数さん
16/06/13 07:51:16.38 +yaKtlrN.net
この円マークなんの意味があるの？
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16/06/13 23:27:27.77 D+Mp9+Fa.net
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16/06/13 23:41:01.93 D+Mp9+Fa.net
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16/06/14 00:18:59.98 tn1zWf6H.net
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16/06/16 18:35:39.37 PgonDtoO.net
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16/06/18 02:37:39.40 3GXqstO/.net
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16/06/18 21:26:02.71 3GXqstO/.net
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16/06/19 11:00:29.48 yGYKF4H6.net
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16/06/19 22:35:45.95 yGYKF4H6.net
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16/06/20 08:41:16.34 hYDuK+/b.net
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16/06/21 06:21:04.94 PXzfBv0k.net
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16/06/29 19:37:56.76 6nTpySyx.net
￥
779:１３２人目の素数さん
16/06/29 21:17:40.54 xnYT2GDL.net
>>703
ｅじゃないの
780:１３２人目の素数さん
16/06/30 21:01:37.82 sy+V6Hgj.net
>>15
eが超越数であることの証明
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
781:１３２人目の素数さん
16/06/30 21:20:13.43 sy+V6Hgj.net
ｅのべき（有理数乗）が無理数であることの証明
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
「天書の証明」蟹江幸博(訳)、ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ東京（2002）にも載ってるらしいよ。
782:１３２人目の素数さん
16/07/01 03:14:51.75 W1hz3vVH.net
高校数学の範囲で二次無理数で無いことだけを証明したいの
783:１３２人目の素数さん
16/07/01 22:21:45.47 Ettw9f9Q.net
高校数学の範囲を超えた数を超越数と云う、わけないか…
784:過去ログ ★
[過去ログ]
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