13/11/06 15:02:16.48 .net
誘導が嫌いなら京大数学やれ
353:１３２人目の素数さん
13/11/06 15:10:05.89 .net
>>343
正答率がとても低かったっていうアレ、少し前に見事に解いた。
tan1°は無理数だ。ちなみにこれは代数的数であることも分かった。
オマケ付き。
354:１３２人目の素数さん
13/11/06 15:10:18.80 .net
ハードアナリシスって言葉見て、こいつは解析ビシビシ君だと察した
355:１３２人目の素数さん
13/11/06 15:24:21.86 .net
てかπの超越性ってe^iπが整数だからなんだろ？
なんか腑に落ちないよな。
もっと直接示す方法ないのかよ。
356:１３２人目の素数さん
13/11/06 15:29:03.02 .net
>>342
何故、解析関係の例しか出ないのか理解に苦しみますね。
数学が面白いと伝えたいなら、もう少し広がりがあるように語って欲しい。
私はランダウ記号くらい使えるから、バンバン使うなんて言われてもワクワクしない。
解析と代数の関わりの話とか、古典を超えた適応例とか、面白い話が欲しい。
解析の分野を羅列されても、数学を語る例としてなんかセンスを感じない。
父の関係で家にある大学の本は読みます。
解答を書いていないというのもよく分かるし、解答や証明が省略されているのもよく見る。
そんな時、問題の配置自体が一つの誘導だと気付かないかな？上手く配置しているな～と感心する事もあるんだけどね。
大体、問題集は、例えば近似なら近似、何らかの同型関係ならそれというように、似たような考え方や手法が連続してる訳だ。誘導なしも当然だろ？
問題の配置自体がヒントであり、誘導な訳だ。
それが理解出来ない人が、何の誘導も無しにほんとに自力で解けていると勘違いしているなら、残念な人だと感じる。
さらに言うと、問題や定理の相互関係を理解せずに解いているから、貴方みたいな低い理解に留まるのではと、それじゃ成果は出ないなと心配さえします。
問題集を解き終えて、何の発展性もなく終わっているのではと心配ですね。
それが無ければ、過去の偉人の足跡を辛うじてたどるだけの存在、アカデミックな場には残念ながら不要じゃないかな？
さらに、解答が書いてないなら、解けたと思わずに貴方の証明が間違っている可能性も考慮した方がいいと思います。
話の流れからして、証明の流れの論理性も怪しいと思う。
長々とアドバイス申し訳ない。
あまりに気になりました。
私は私のやる事に戻ります。
最低限、貴方からは数学のたのしみは見出せません。
357:１３２人目の素数さん
13/11/06 15:39:22.68 .net
>>345
奇遇だな。俺もそう感じた。
>>67, >>153 の「論文」とやらは
いつになったら発表されるのかねえｗ
358:１３２人目の素数さん
13/11/06 15:55:22.08 .net
>>347
解析と代数の関係を1つ挙げれば、オイラーの公式から
見つけるべき超越数は実数に限られることが分かる。
eだのπだの、見つかって超越数と分かっているのはすべて実数だ。
複素数の超越数は、複素平面上で実軸と虚軸が直交することですべて構成出来る。
って論文のネタ書いちまったかな。
359:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:01:48.83 .net
>>348
論文ね～…。
そのうちに発表するよ。
360:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:04:34.36 .net
>>349
ねえねえ、>>67, >>153 の「論文」とやらは
いつになったら発表されるの？
「あとは論文にするだけ(>67)」なんでしょ？
さすがにもう査読くらい始まってるよね？
まさか、まだ1文字も書いてすらいないの？
361:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:06:24.61 .net
あっ、レスが来てた
>>350
あれれ、まだ書いてすらいないっていうオチですか？
ハッタリにも程があるｗ
半年間なにやってたんだよｗ
362:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:07:24.90 .net
まあ、オイラーの公式をうまく使うことにより、
そういう超越数の発見の仕方の方針を見定めさせてくれる。
これは、何回も適用可能な考え方。
一応、>>349の補足。
363:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:09:38.09 .net
>>349
ん？ieは複素数だけど超越数じゃないの？
ieが超越数じゃなければ、eが超越数じゃないって簡単に示せるんだけど…
364:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:11:25.14 .net
で、どんな体にどんな位相入れるの？
365:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:14:56.77 .net
>>351
>>352
書いていない。
こちらとしては、アーカイブに投稿するだけ。
論文出版するだけのプリンタだのの設備がない。
アーカイブに投稿するには誰か投稿の保証者として、協力者が必要なんだよな？
協力者してくれる人いないかな。
366:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:18:58.68 .net
>>354
ieは代数的数でその全体は加減乗除について閉じているから、
ieが代数的数だったらeも代数的数であることになって矛盾。
よって、ieは超越数。
367:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:20:52.13 .net
>ieは代数的数で
へー
368:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:23:10.38 .net
>>356
ということは、いわゆる一般人なんだな
なまじ知識はあるようだが、かなりアヤシイなこりゃ ＾＾
まあ、1文字も書いてないという時点で
スタートラインにも立ってないが
>>354
横レスだが、「虚数の超越数は存在しない」とは言ってないと思うぞ
「複素数の超越数は～～によって全て構成できる」とある
369:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:25:04.35 .net
>>355
それは今模索中。位相は普通の位相。
Archimedes付値体になるように位相を入れる。
非Archimedes付値体は考えていない。
もしかしたら、群の考え方が通用しなくなることがあるかも知れない。
370:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:28:29.29 .net
>>358
あ、失礼。これ超越数の間違いだった。>>357の
>ieは代数的数でその全体は加減乗除について閉じているから、
は
>ieは超越数で、代数的数全体は加減乗除について閉じているから、
の間違いだった。
371:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:33:16.23 .net
>>359
＞横レスだが、「虚数の超越数は存在しない」とは言ってないと思うぞ
＞「複素数の超越数は～～によって全て構成できる」とある
実数の超越数とほぼ一対一に純虚数の超越数もあるのを、分かってそうになかったから書き込んだ。
実際、意識はしてない様に見受けられる。
372:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:42:13.48 .net
>>362
複素平面上で、原点から実軸方向への幾何ベクトルと
虚軸方向への幾何ベクトルは直交して実数体R上線型独立だから、
実超越数を見つければ、純虚数の超越数は、iと実超越数を掛けることで構成出来る。
373:１３２人目の素数さん
13/11/06 16:56:45.89 .net
>>349
何で？
（超越数）πだけ回転させる場合を見落としてないか？
374:１３２人目の素数さん
13/11/06 17:00:18.37 .net
>>364
これ書いたら、もう論文の話になりかねないよ。
もうここではやめとく。
375:１３２人目の素数さん
13/11/06 22:01:00.96 .net
位相体を一切使わない解析ビシビシ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
376:１３２人目の素数さん
13/11/06 23:59:04.61 .net
もうアホにマジレスすんのやめようや。
eやπの超越性が初頭的に算術的に導けないか考えようぜ。
377:１３２人目の素数さん
13/11/07 00:21:43.34 .net
大ウソつきもしくはドアホウだらけ
378:１３２人目の素数さん
13/11/07 00:36:19.67 .net
お願いします。
５つの箱に３つの球をいれる。その場合入れ方は何通りあるか。
１・箱にも球にも番号が付いている
２・１と同じだが一箱に１つ以上入れない
３・箱には番号が付いてるが球には区別がない。そして一箱には１つ以上入れない
４・３と同じだがいくつ入れても良い
問題文の「一つ以上」の意味がわかりません。
「一つの箱に２つ以上入れない」ならば、意味がわかるのですが・・・
379:１３２人目の素数さん
13/11/07 09:12:59.14 .net
むしゃくしゃした日はブックオフに行く
そして本棚の陰に隠れてでかい声で「いらっしゃいませー！！」と叫ぶと、
フロアにいる店員が一斉に「いらっしゃいませー！」とつられて言う
これを２、３回繰り返し、気が済んだとこで店を出る
380:１３２人目の素数さん
13/11/07 12:39:25.65 .net
解析ビシビシって有名人なの？
381:１３２人目の素数さん
13/11/07 12:53:44.69 .net
>>333
そういえば、東大入試を楽しむだったかって本をサラっと見たことはあるんだけど、
それによると昔は東大入試でもどこから手を付ければよいか分からない問題
というのが出されていた時期があるようなんだよね。
これこそ正にハード・アナリシスの精神に近い。
まあ、だから何なのっていうことになるのがせいぜいのオチなんだろうけどね。
自己を正当化する訳でも何でもない。一応1つの事実を述べただけ。
しいていえば、個人的にはそういう事情があるから、
大学入試でハード・アナリシスの問題を出してもいいとは思うんだよね。
382:１３２人目の素数さん
13/11/07 12:57:25.44 .net
大学入試なんて賢い奴探しじゃなくてバカ避けのためにやるんだからどうでもいい
383:１３２人目の素数さん
13/11/07 13:0
384:5:37.64 .net
385:１３２人目の素数さん
13/11/07 13:11:15.73 .net
で、どんな体にどんな位相入れるの？
386:１３２人目の素数さん
13/11/07 13:41:27.77 .net
自分が読んだ本の情報だけを連呼していたら、そりゃ馬鹿にされるよ。
何について指摘されてるかから逃げて、不要な情報ばかり羅列するバカ。
387:１３２人目の素数さん
13/11/07 14:11:41.58 .net
>>371
このスレを上の方から読んでいけばわかる
388:１３２人目の素数さん
13/11/07 14:22:18.21 .net
>>376
趣旨は、誘導式にすることで証明を追体験させることも立派な1つの方法である。
あと、自分で証明を編み出せないのに河合塾のやり方を否定するなということだろ。
2次無理数であることの証明や超越性の証明を自分で編み出すことって、普通は難しいことだよ。
少なくとも、お勉強しないとそういうことは出来ない。
そういうことに慣れている専門家にとっては簡単。
だけど、追体験した数学的内容を意識することって高校の段階でしているモンかね。
389:１３２人目の素数さん
13/11/07 15:34:56.44 .net
>>377
抽出して、なんとなく分かった。ありがとう。
解析バリバリの意図は分からない(￣^￣)ゞ
これが数学板の釣り？
390:１３２人目の素数さん
13/11/07 18:55:07.47 .net
解析ビシビシ君は、こんなところにいないで
さっさと論文書きなさい
そして誰かに見せなさい
まずは現物がないと話にならん
内容が合ってれば進展もあろう
391:１３２人目の素数さん
13/11/07 21:58:22.61 .net
>>283
>>284
解答読んだけど考えたやつ天才だな。
ぜひ三次無理性も否定してほしい。
てか一般化して超越性も証明できるんじゃないか。
392:１３２人目の素数さん
13/11/07 22:27:15.51 .net
>>381
だよね。追って行けば行くほど納得する。
入試問題としては、難し過ぎな気もするけど、数学か目指す人とかなら楽しいだろうな。
どうしてこれが、誘導なんて付けてつまらなくした事になるのか分からない。
393:１３２人目の素数さん
13/11/07 22:28:03.40 .net
結局eで両辺割った時にeとe^-1ができるところが肝要だから三次では無理だな。
394:１３２人目の素数さん
13/11/07 22:47:38.90 .net
1じゃないけど誘導無しで二次無理性を否定しようとしたらどうにも上手くいかなくてもしかしたら二次方程式あるんじゃねーの、
って諦めそうになる問題だが高校レベルの知識のみで適切な誘導で真理に辿り着けるのは良問と言えよう。
マクローリン展開もe^nが無理数である（n∈Z）ことも使わずに積分の性質だけで説明してるのがすごい。
395:１３２人目の素数さん
13/11/08 04:13:54.25 .net
>>283
>>284
見れないんだけど・・・
396:１３２人目の素数さん
13/11/08 04:49:50.08 .net
それでは皆さんさようなら～…。
さてと、仕事するか
(これは独り言だと思っていい)。
解析ビシビシ君より。
397:１３２人目の素数さん
13/11/08 12:38:44.33 .net
河合塾の東大模試 第５問>>283-284
n を0以上の整数とする. 数列 S[n], T[n] を
S[n] = ∫[0,1] (1 - x)^n e^x dx, T[n] = (-1)^(n+1) ∫[0,1] (1 - x)^n e^(-x) dx
によって定める. ただし, e は自然対数の底であり, (1 - x)^0 = 1 とする.
また, 整数の定数 a, c (ただし a≠0 とする)に対して,
R[n] = a S[n] + c T[n]
とおく.
(1) A[n] = n! e - S[n], B[n] = n! e^(-1) - T[n] とおくと, A[n], B[n] はともに整数であることを示せ.
(2) a, c のみで定まる正の整数 N が存在して, n≧N を満たすすべての n に対して | R[n] |
398: < 1 が成り立つことを示せ. (3) R[n], R[n+1], R[n+2] のうち, 少なくとも1つは0でないことを示せ. (4)自然対数の底 e は, 整数 a, b, c (ただし a≠0) を係数とする2次方程式 a x^2 + b x + c = 0 の解にならないことを示せ. 解答はすべて写すのさすがに面倒なので概略だけ (1)部分積分で漸化式を求めて, 数学的帰納法を使う. (2) 0 < S[n] < e/(n+1), 0 < T[n] < 1/(n+1) より. (3)2通りの証明を与える. [証明1] (R[n] の漸化式を利用するもの), [証明2] (T[n] の符号変化に着目するもの) (4)以上の結果をすべて使って矛盾を導く.
399:１３２人目の素数さん
13/11/08 13:01:21.00 .net
thx!!
400:１３２人目の素数さん
13/11/11 15:23:43.97 .net
>>387
サンキュー。ヒントなしで解いてみる。
無理ならヒントを見て頑張る！！
解析ビシビシ君は、ヒントがあっても出来そうにないねぇ
401:１３２人目の素数さん
13/11/12 09:43:41.06 .net
>>389
あの～、
>無理ならヒントを見て頑張る！！
>解析ビシビシ君は、ヒントがあっても出来そうにないねぇ
って、釣りですかい？
制限時間があったら出来ないだろうけど、制限時間がなければヒントはいらない。
それより、普通は
>n を0以上の整数とする. 数列 S[n], T[n] を
> S[n] = ∫[0,1] (1 - x)^n e^x dx, T[n] = (-1)^(n+1) ∫[0,1] (1 - x)^n e^(-x) dx
>また, 整数の定数 a, c (ただし a≠0 とする)に対して,
>R[n] = a S[n] + c T[n]
>A[n] = n! e - S[n], B[n] = n! e^(-1) - T[n] とおく.
といった、これらの一般項の漸化式を気付くことが、
(1)～(4)みたいな問題を解くことよりその何倍も難しいんだよ。
(マトモな)数学書を読んでいて、はじめていわゆる余り知識がない状態で、
もしeが2次無理数であることを導出する過程にでも出くわしたら、
或る期間、数学書を閉じて、自分で単独に「eが2次無理数であることを示せ」
っていう問題を作ってそれに挑戦してみ。
余り知識がない状態でこういうことをして示すことが、どれだけ難しいことかがよく分かるだろうよ。
このようなことでもすれば、上のような、漸化式を思い浮かぶことの難しさがよく分かるだろう。
402:１３２人目の素数さん
13/11/12 09:57:54.96 .net
しかし>>347の人物像がよく分からないな。>>347の
>父の関係で家にある大学の本は読みます。
が正しければ、少なくとも数学関係の人の子供なんだろうが。
>>347の人物像が詳細に特定出来ない。
流れからすると恐らく私をバカにしていた東大受験生なのだろうが、
これが正しいかどうかについては自信がない。
403:１３２人目の素数さん
13/11/12 11:29:05.01 .net
結局、お前は現時点のお前自身の知識を使って制限時間内にその問題を解くことは出来たのか？
それだけは、はっきりさせてくれ
404:１３２人目の素数さん
13/11/12 12:43:49.62 .net
東大の理系合格者でお前の馬鹿さに気付かない人はほとんどいないと思うよ。
部分否定への反論に関係ない事を長々と述べたり、
他の人のなした部分肯定（例えばハードアナリシスの価値もあるという主張）
に対して、それが自分の行為への肯定であるかのような誤認。
数学という分野で、まあ他の分野でも絶対に会いたくない。
>もしeが2次無理数であることを導出する過程にでも出くわしたら、
>或る期間、数学書を閉じて、自分で単独に「eが2次無理数であることを示せ」
>っていう問題を作ってそれに挑戦してみ。
がどれだけ馬鹿な思考回路か、気付かないんだろうな。
そのうち、０は自分が自力で考え出したとかいいそうで怖いよ。
405:１３２人目の素数さん
13/11/12 14:57:07.02 .net
>>390
誘導なしで試験時間内に解いたという人がいたということだったがありえないと思うよね
少なくとも同じ問題を経験してないと無理
プロの数学者でも1時間で解けって言われたら不可能だろう
406:狢 ◆ghclfYsc82
13/11/12 15:46:09.38 .net
狢
>633 名前：１３２人目の素数さん ：2013/11/12(火) 13:08:18.87
> 好みの女性を見たときのムラムラしたキモチを一番大事にしてほしいという事だな
>
407:１３２人目の素数さん
13/11/12 17:27:19.71 .net
>>394
誘導付けてつまらなくしたから、簡単にしちゃったから、満点続出なんでしょうw
408:狢 ◆ghclfYsc82
13/11/12 17:50:44.43 .net
狢
>633 名前：１３２人目の素数さん ：2013/11/12(火) 13:08:18.87
> 好みの女性を見たときのムラムラしたキモチを一番大事にしてほしいという事だな
>
409:１３２人目の素数さん
13/11/12 20:12:54.46 .net
>>394
試験問題では適切な誘導が付いていましたよ
>>396
つまらなくしたことと満点続出であることには何の因果関係もありませんね
410:１３２人目の素数さん
13/11/12 21:18:25.99 .net
>>398
文句は解析ビシビシ君に言ってくれ。
曰く、誘導付けてつまらなく簡単に解けるようになっちゃったんだから。
411:１３２人目の素数さん
13/11/13 00:02:15.67 .net
二次無理性の証明の肝は両辺をeで割ってeとe^-1にすることだから
それに気づけば自力で解答を導き出すことは可能だと思う
特に、今回は問題文からこの肝の考え方がだいたい分かる形になってるから
それが暗示的な誘導になってた可能性もあると思う
412:１３２人目の素数さん
13/11/13 01:44:37.71 .net
>>392
現時点での(高校の)知識を用いて(マッタリして)解いてみたら、1時間30分位かかったな。
まあ、制限時間は1問あたり30分位だろうから、
この時間内でやれっていわれたら、緊張して体がガクガクするから出来ないだろう。
返事はこれでよろしいか？
一応、「現時点での知識」とは「現時点での高校の知識」の知識のことだよな？
>>393
＞>もしeが2次無理数であることを導出する過程にでも出くわしたら、
＞>或る期間、数学書を閉じて、自分で単独に「eが2次無理数であることを示せ」
＞>っていう問題を作ってそれに挑戦してみ。
＞がどれだけ馬鹿な思考回路か、気付かないんだろうな。
って、1、2ページ程度の内容なら、これ位のようなことはして当たり前だとは思っているよ。
或る期間挑戦して、なかなか出来なかったら数学書を見る。
3、4ページとか何ページもかかる内容だったり、特殊なテクニックを使う内容であれば話は別だが。
不思議なモノで、一見何の意味もなくムダだと思われる、そのような経験が後々生きて来る。
413:１３２人目の素数さん
13/11/13 01:49:22.13 .net
>>392
失礼。>>401の
>一応、「現時点での知識」とは「現時点での高校の知識」の知識のことだよな？
は、
>一応、「現時点での知識」とは「現時点での高校の知識」のことだよな？
と訂正して読んで頂きたい。
414:１３２人目の素数さん
13/11/13 02:28:48.59 .net
誘導なしだと試験時間で解ける人間おらんやろ
誘導があるから簡単やけど
415:１３２人目の素数さん
13/11/13 06:56:58.84 .net
もはや、人間としてクズだな。
2ch以外の場でも、話が通じてないだろうと思うと、反面教師にすべきなのかな？
416:狢 ◆ghclfYsc82
13/11/13 08:15:39.84 .net
狢
>633 名前：１３２人目の素数さん ：2013/11/12(火) 13:08:18.87
> 好みの女性を見たときのムラムラしたキモチを一番大事にしてほしいという事だな
>
417:１３２人目の素数さん
13/11/15 12:23:26.39 .net
ただ河合塾にやられちまったのは悔しいな。どこぞの有名私大あたりで出してくれれば良かったものの。
418:１３２人目の素数さん
13/11/15 12:47:37.33 .net
試験にならんだろ
419:１３２人目の素数さん
13/11/15 13:14:45.98 .net
昔の東大後期ならちょうど良かった気がするな。
420:１３２人目の素数さん
13/11/15 13:24:46.49 .net
誘導があるせいで普通の難易度になってるな
円周率の無理性の証明を経験してれば悩むところもない
421:１３２人目の素数さん
13/11/15 13:49:42.10 .net
>>409
誘導なしでの出題はあり得ない事くらい分かれよ。
ある意味力量のなさを感じるな。
422:１３２人目の素数さん
13/11/15 14:07:16.03 .net
>>408
天下の東大で出題されたらこのスレ祭りになってたかもな。
423:１３２人目の素数さん
13/11/15 17:43:42.32 .net
>>411
その時は、解析君が天下の東大教授を批判したのかな？
424:１３２人目の素数さん
13/11/18 23:21:45.43 .net
ヒントなし、誘導ありでなんとか1時間以内に完答。
少し難しい気はするけど、キチンと解ける受験生がいるなら尊敬する。
425:１３２人目の素数さん
13/11/19 08:26:09.11 .net
俺はヒントなしで30分弱で解けたよ
俺より上はたくさんいるだろうし完答できる奴がたくさんいても不思議じゃないな
それにしても良問だなあ
426:１３２人目の素数さん
13/11/19 13:58:57.34 .net
頭の中だけで5分で解けたわ
簡単すぎる
427:１３２人目の素数さん
13/11/19 14:36:59.80 .net
まあこれくらいの誘導じゃなきゃ試験にならないからね。
428:１３２人目の素数さん
13/11/19 15:10:52.89 .net
>>415
頭の中だけだと思い違いしてる可能性もあるよ
ちゃんと手計算しないと
429:１３２人目の素数さん
13/11/19 17:07:03.21 .net
一番最初から全部読んでみた。
河合の方針で追えたし、いい誘導と思うけど、
あるＮがあって、ｎ＞Ｎならば…
って流れは、受験生にはきついだろな。
そう考えると、数学板住民が思うより難問だろうね。
解析ビシビシさんが見事
430:解けたとか言っていた京大のtan1°なんて、 大学の数学やってれば、5分以内解けて当然。 受験生は帰納法と言えば数列or項式とい感じだから解けなかっただけだろ。
431:１３２人目の素数さん
13/11/19 17:27:10.38 .net
お得意の流れやん
432:１３２人目の素数さん
13/11/19 17:28:36.97 .net
最初→解けない
解答提示→なるほど 天才だな扱い
ほとんどのひとが興味を失う→俺は解けたなど後からならいくらでも言えるからと言い出す
433:１３２人目の素数さん
13/11/19 17:35:39.16 .net
今の受験生はこんな問題でヒーヒー言ってるのか
ゆとりが思った以上に進んでいるようだ
434:１３２人目の素数さん
13/11/19 19:00:52.18 .net
偉そうに言ってる奴は1がスレ立てした時に文句ばっかり言わず5分で模範解答上げて欲しかったな。（笑）
435:あぼーん
あぼーん.net
あぼーん
436:１３２人目の素数さん
13/11/19 19:19:57.46 .net
＞あるＮがあって、ｎ＞Ｎならば…
＞って流れは、受験生にはきついだろな。
確かにそれはあるかもしれんな
というか高校で２量子論理式は習うのか？
437:１３２人目の素数さん
13/11/19 19:31:22.07 .net
数学板ってナルシスト多いよな
異常な程自分を正当化したがるし
自分をこの板で数学一番出来るっていう自信を持ってる奴多いしな
438:あぼーん
あぼーん.net
あぼーん
439:１３２人目の素数さん
13/11/22 10:38:31.87 .net
>>424
やってなくても意味は分かるだろうけど。
そういうNを探した経験は無いだろうな。
440:１３２人目の素数さん
13/11/22 11:00:01.05 .net
次のようなNのmaxを求めよ：ｎ＞Ｎならば…
みたいな感じで嫌というほどやらされてるんでは？
441:１３２人目の素数さん
13/11/22 12:22:03.89 .net
>>428
高校じゃイコールの付かない最大、最小はやらないだろ。
さらに、このNとかεとかを使う論法は大学に入って初めて触れるタイプと思う。
442:１３２人目の素数さん
13/11/22 12:38:33.34 .net
お前がバカなだけだろ
443:１３２人目の素数さん
13/11/22 22:00:50.56 .net
イコールの付かない最大、最小ってどういう意味？
444:１３２人目の素数さん
13/11/22 23:32:52.98 .net
>>431
所謂、上限、下限の考え方じゃないか？
高校では、イコールが付かなければ最大、最小は考えるべからず。
というかなんというか。何と無く、そんな感じじゃないかな？
445:１３２人目の素数さん
13/11/22 23:48:45.84 .net
これでは星はあげられない
446:１３２人目の素数さん
13/11/23 00:38:51.35 .net
πの無理性とか出てるわけだし、ある程度勉強してりゃ特に難しくないわな
特に整数に挟まれる下りとかまんまだし
447:１３２人目の素数さん
13/11/23 06:49:05.47 .net
偉大な京都大学教授
448:狸 ◆2VB8wsVUoo
13/11/23 09:52:34.64 .net
低脳の馬鹿板参加者
ケケケ狸
449:１３２人目の素数さん
13/11/28 09:33:07.84 .net
何か寂れたね。
河合の方針が今の所ベストかな？
450:１３２人目の素数さん
13/11/28 17:37:53.56 .net
違うんだ俺が気になるのは河合の方法でも>>18の方法でも、３次や4次の無理性の否定に応用すると一気に難しくなることだよ。エレガントな一般証明はできないものかね？
451:１３２人目の素数さん
13/11/29 17:16:34.22 .net
いきなり『俺』が既出の人物のように出て来る事が不思議
452:１３２人目の素数さん
13/12/10 14:21:27.28 .net
河合の例の問題で20点取ったら偏差値119.2らしい
453:１３２人目の素数さん
13/12/10 14:25:11.20 .net
>>298
454:１３２人目の素数さん
13/12/10 14:25:58.73 .net
>>304
455:１３２人目の素数さん
13/12/10 18:08:38.45 .net
>>440
問題ごとの偏差値なんて出るのか？
456:１３２人目の素数さん
13/12/10 18:13:36.81 .net
>>304
リンクがあったから読んでみたけど、模試の問題は小問4までだよな？
配点という奴があるわけで、誘導にのらなければ確実に減点、入試としてはアウト。
そんな方法を選択する受験生は希少なはずだけどね。
457:１３２人目の素数さん
13/12/11 00:28:33.87 .net
>>444
某通信添削では解法によって配点を変えることもあったけど 参考までに
458:１３２人目の素数さん
13/12/11 05:57:46
459:.22 .net
460:１３２人目の素数さん
13/12/11 15:34:12.21 .net
運営乙
461:１３２人目の素数さん
13/12/12 16:01:22.44 .net
お前らの中にイケメンいない？
稼げるのかレポ頼むｗ
ＵＲＬ貼れないから
メンガ
って検索して！
※正しいサイト名は英語です。
462:１３２人目の素数さん
13/12/29 22:47:25.28 .net
今年ももう終わりだが、私はこのスレの問題が予備校の模試で採用されたことを誇らしく思う。来年も更なる良問を考えて追及する所存だ。それでは諸君よいお年を！
463:１３２人目の素数さん
13/12/30 10:16:29.53 .net
私=解析ビシビシ君は、このスレで自分の研究について書いたことや、模試を否定したことを後悔している。
模試肯定者の方、或いは模試について中立の方、いい過ぎてどうもすみません。
2チャンは或る意味怖い。書いたことが自らに振り返って来ると思うと恐ろしい。
おかげで、論文書きにくくなってしまった。
どう考えても信じられない内容で何か自信がないが、自らの研究は恐らく正しいのだろう。
見る限り、未だ間違いはどこにも見つかってはいない。
まあ、しばらく研究やお勉強をすると共に、その論理の内容の真偽を精査する。
2チャンは、時間をムダに使う場所であることを改めて悟った。
464:１３２人目の素数さん
13/12/30 10:33:00.44 .net
>2チャンは、時間をムダに「使いかねない」場所であることを改めて悟った。
と書いた方が適切か。
何れにしろ、私=解析ビシビシ君は、決して2チャンの存在を否定している訳ではない。
465:１３２人目の素数さん
14/01/04 07:21:16.17 .net
模試について肯定、否定とかいうのではなく、自分の論理性の無さを反省して欲しい。
君が2chを否定しなくても、数学や論理を解する2ちゃんねらーは君を肯定しない。
466:１３２人目の素数さん
14/01/05 09:50:13.70 .net
>>452
確かにハード・アナリシスはいい過ぎであった可能性はある。
>君が2chを否定しなくても、数学や論理を解する2ちゃんねらーは君を肯定しない。
論理性について語っているが、何故
>数学や論理を解する2ちゃんねらーは君を肯定しない
という、「私=(解析ビシビシ君)を肯定するような数学や論理を解する2ちゃんねらーは存在しない」、と同じことがいえるのか？
また、私は2チャンという「事物」の肯定云々について語っていることに対し、
そちらさんはその部分で「人」の肯定云々の話にすり替え「人」の肯定云々ついて語っている。
人をモノと捉える考え方もあるが、論理を考えるにあたり必ずしも事物の肯定云々の話と人の肯定云々の話とを区別しないとは限らない。
論理性も何もないじゃないか。
467:１３２人目の素数さん
14/01/05 10:13:50.07 .net
まあ、或ることを行うにはハード・アナリシスか幾何か他の何かでもしないと出来ない。
それを実行しようとしているのだが、なかなか単純には出来ないんだよね。
468:１３２人目の素数さん
14/01/05 10:57:39.69 .net
>>452
>>453の
>そちらさんはその部分で「人」の肯定云々の話にすり替え「人」の肯定云々ついて語っている。
の部分では
>そちらさんはその部分で「人」の肯定云々の話にすり替え「人」の肯定云々「に」ついて語っている。
と、念のために「に」を補足。
469:１３２人目の素数さん
14/01/05 11:15:27.14 .net
まあ、仮に書くとしたら明日以降ね。
470:１３２人目の素数さん
14/01/06 01:16:58.52 .net
途中から変な価値観合戦になっているように思って黙っていたが，
結局のところ，最初の頃に提示されていた
テイラー展開を利用した証明と
某予備校の模試の解答は，
本質的なところでは，同じではないの？
細かいところまではチェックしてないので，アレなのだけど，
剰余項をどう表現するか，という違いだけじゃないのか，と。
ということで，議論は歓迎なのだが，できれば，
数学プロパーの議論になって欲しい，なっしー(笑)
471:１３２人目の素数さん
14/01/06 01:30:49.05 .net
>>457
いや河合塾の方法はなんでそんな事思いついたのかって思うくらいエレガントだと思う。高校数学を微塵も逸脱してないし良問だよ。
472:１３２人目の素数さん
14/01/10 12:21:38.14 .net
>>458
積分の形で剰余項を表すバージョンのテーラー展開の式
f(x)=¥sum_{k=0}^{n}¥frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+
¥int_{a}^{x}¥frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)¥,dtf(x)=¥sum_{k=0}^{n}¥frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+
¥int_{a}^{x}¥frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)¥,dt
は，部分積分の繰り返しで示せるから高校範囲と言えば言える。(高校生には難しいが)
この式で，f(x)=e^x, f(x)=e^{-x} と置いて，a=0, x=1 とすれば，
e=¥sum_{k=0}^{n}¥frac{1}{k!}+¥int_{0}^{1} (1-t)^n e^t dt
1/e=¥sum_{k=0}^{n} ¥frac{(-1)^k}{k!}+¥int_{0}^{1} (1-t)^n e^{-t} dt
となる。この2つの積分は，模試の問題文にある積分と同じだと思う。
473:１３２人目の素数さん
14/01/10 18:20:08.52 .net
昨日このスレを始めて見て，昔 e^2 が無理数であることの高校範囲の証明を自分で
考えた事があったのを思い出した．（東大作問スレに書いたかな）
やってる事は既出のものと変わらないと思うが一つ．
-----------------------------------------------------------------
簡単な微分演算により，
x＞0 で 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n! ＜ e^x
＜ 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n!＋x^(n+1)・e^x/(n+1)!...①
①において x＝2 とおくと，
1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n! ＜ e^2
＜ 1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n!＋2^(n+1)・e^2/(n+1)!...②
e^2＝k/j (j，k は正の整数) とおけると仮定する．
また m が正の整数のとき (2^m)!＝2^(2^m-1)・N(m) (N(m) は正の整数) とかけるので，
②において n＝2^m (m は正の整数) とし，辺々に j・N(m) をかけると，
j・N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＜k・N(m)
＜j・N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＋4j・e^2/(2^m+1)
ここで j・N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} および k・N(m) は
正の整数で，m を十分大きくすると，0＜4j・e^2/(2^m+1)＜1 とすることができるので矛盾．
474:１３２人目の素数さん
14/01/10 19:52:15.68 .net
>>460
e^n無理性の証明だけならe^-nを使ってもっと簡単に示せたような。
475:１３２人目の素数さん
14/01/11 16:05:10.42 .net
>>459
確かに河合の元ネタっぽいね．
部分積分を繰り返すやり方の方が天下り的じゃなくて自然だよな．
476:１３２人目の素数さん
14/01/12 12:35:09.77 .net
代数的数は可算無限個だから、超越数は非可算無限個あるのか
477:１３２人目の素数さん
14/01/12 15:03:16.65 .net
πやeも含む計算可能な実数ですら可算
478:１３２人目の素数さん
14/01/12 21:34:30.65 .net
>>460のやり方だとe^3 でもう駄目かな
479:１３２人目の素数さん
14/01/13 10:40:12.41 .net
>>465
だがe^4やe^6は出来る。
480:１３２人目の素数さん
14/01/13 13:13:30.87 .net
e^6 も無理では？
481:１３２人目の素数さん
14/01/13 15:52:54.80 .net
今更だが>>28の
＞同様にpが整数ならe^2pはとりあえず無理数で、その平方根も無理数で
＞すべての整数sについてe^sは無理数だって意味。
の部分は飛躍過ぎでないかい？
482:１３２人目の素数さん
14/01/13 16:59:23.98 .net
>>468
いやもしかしたらpが素数ならいけるんじゃ？誰か天書の証明の29ページを日本語訳してくれ。
URLﾘﾝｸ(www.iecn.u-nancy.fr)
483:１３２人目の素数さん
14/01/13 17:07:27.30 .net
>>469
そのリンク先で簡単に証明してるのは e，e^2，e^4 の三つだけだよ．
一般にはP.３０以降で証明している．
484:１３２人目の素数さん
14/01/13 17:14:25.31 .net
>>28の
＞18の議論はeをe^2に置き換えても成立するし、
＞ae^4+be^2+c=0
＞を満たすa,b,cは存在しなくてe^4も無理数になるって事。
の部分もおかしいな。
>>18の議論は直接はeをe^2に置き換えても駄目だし、仮に成立�
485:ｵたとしても e^2が（２次の）無理数だって事しか分からない．
486:471
14/01/13 17:19:40.27 .net
最後の2行は一部勘違い。
無かった事に。
487:１３２人目の素数さん
14/01/13 17:55:26.18 .net
>>470
e^6は無理なん？
488:１３２人目の素数さん
14/01/13 18:09:05.48 .net
e^6＝p/q ⇔ q e^3＝p e^(-3)
という方針では上手く行かないと思う。
489:１３２人目の素数さん
14/01/13 18:12:19.74 .net
>>474
マジで！じゃあどうやって一般化してるの？
490:１３２人目の素数さん
14/01/13 18:13:35.32 .net
一般化というか，全然別の方法で証明してる
詳しくはリンク先
491:１３２人目の素数さん
14/01/13 20:06:51.42 .net
誰か高校数学に翻訳してください！
492:１３２人目の素数さん
14/01/13 20:09:36.88 .net
不毛だからやだ
493:１３２人目の素数さん
14/01/14 06:27:38.65 .net
不毛はお前だろｗ
494:１３２人目の素数さん
14/01/14 09:25:47.47 .net
高校数学（）
495:１３２人目の素数さん
14/01/14 09:45:20.90 .net
>>479
まあ私の頭は不毛ですが。
496:１３２人目の素数さん
14/01/14 09:49:25.05 .net
>>460
e^nの無理数だけなら、式は複雑になるかもは知れないが、
もっと簡単に高校レベルで示せるような。
497:１３２人目の素数さん
14/01/14 12:16:26.89 .net
>>482
頼む。469のリンク先を翻訳するだけでも良いから。気になって夜も眠れない。
498:１３２人目の素数さん
14/01/14 16:07:21.90 .net
>>482
簡単には無理だと思うよ。
試しに e^3 の場合どう？
499:１３２人目の素数さん
14/01/14 17:25:50.76 .net
>>483
>>469の英語は簡単だと思うが。
それと使ってる事はほぼ高校の範囲では。
500:１３２人目の素数さん
14/01/14 20:10:31.02 .net
何回読んでもeの二乗と同じやり方で偶数乗の証明が可能だとしか読めないな。e^6がダメな理由が解らないんだが。
501:１３２人目の素数さん
14/01/14 20:12:02.28 .net
来年の河合塾はe^3が無理数である事を証明せよで決まりだな。
502:１３２人目の素数さん
14/01/14 20:17:47.25 .net
この本有名な本なのか？かなり面白いな。
503:１３２人目の素数さん
14/01/14 20:59:05.22 .net
>>486
リンク先の30頁に
So we know that e^4 is irratioinal; to show that e^3 , e^5 etc. are irrational as well,
we need heavier machinery (that is, a bit of calculus), and a new idea - which essentially
goes back to Charles Hermite, and for which the key is hidden in the collowing simple lemma.
とあるだろ。
どこに「eの二乗と同じやり方で偶数乗の証明が可能だと」と書いてある？
504:１３２人目の素数さん
14/01/14 21:15:21.64 .net
e^3＝p/q ⇔ q e^2＝p e^(-1) の方針でやれば e^3 が無理数の場合の証明はできそうだ。
ただ多少工夫はいる。
このやり方を拡張すれば，e は4次無理数である事がいえる。
505:１３２人目の素数さん
14/01/14 21:28:13.06 .net
>>490
え？
506:１３２人目の素数さん
14/01/14 22:30:08.58 .net
>>489
え、結局具体的なやり方は示してないって事なの？
507:１３２人目の素数さん
14/01/14 22:43:10.49 .net
この位の英語読めないのかい
508:１３２人目の素数さん
14/01/14 23:19:38.19 .net
>>489
それで、我々は、e^4が不合理であるということを知っています;
e^3、e^5その他が同様に不合理であることを示すために、
我々はより重い機械（つまり、わずかな微積分学）と新しい考えを必要とします
－それはＣ・エルミートに基本的に戻ります、そして、それのために、
キーは以下の単純なレンマで隠されます。
509:１３２人目の素数さん
14/01/14 23:20:32.40 .net
訂正
So we know that e^4 is irrational; to show that e^3 , e^5 etc. are irrational as well,
we need heavier machinery (that is, a bit of calculus), and a new idea - which essentially
goes back to Charles Hermite, and for which the key is hidden in the following simple lemma.
510:１３２人目の素数さん
14/01/14 23:45:57.56 .net
>>495
どのみちだな。結局e^3もe^5もe^2やe^4と同様で以下略って話だろ、なんで同じ手順でできないんだよ？
511:１３２人目の素数さん
14/01/14 23:50:47.34 .net
>>496
なんでこんな�
512:ﾉ馬鹿なんだよ。 e^3でいいから同じ様にやって見せてくれ。
513:１３２人目の素数さん
14/01/15 11:23:37.79 .net
誰か e^3 の無理数性を天下り的でなくかつ初等的に証明できる人はおらぬか？
514:１３２人目の素数さん
14/01/15 12:28:28.99 .net
>>498
今年の東大模試に期待！
515:１３２人目の素数さん
14/01/15 12:33:59.70 .net
もしかしたらe^8やe^16は証明可能で指数を2進数にして指数法則で全整数に渡って証明できるよ的なオチだったりして（笑）
言ってみたもののe^3すらもお手上げなんだが（笑）
516:１３２人目の素数さん
14/01/15 13:11:28.95 .net
495の文の直下の補題使えばe^3とe^-3使って、e^6で証明できるんだろ。それの平方根とればe^3も無理数だって話。少なくともその方法でe^nについては証明できるって明言してあるじゃんか。この本が嘘なら別だが。解ってない人は理解してないだけだろ。
517:１３２人目の素数さん
14/01/15 20:47:19.29 .net
>>469のp.29-31あたりを翻訳してみた
ただ、全てやるのは大変だから要所のみで
e^4 が無理数であることを証明するために,
e^4 = a/b が有理数であると仮定すると, b e^2 = a e^-2 と書ける.
（中略）
最初に, 十分大きな任意の n ではなく, 十分大きな2のべき乗 n = 2^m をとる.
（中略）
それから, Legendre's theorem(p.8参照)の特殊な場合である以下の補題が必要になる:
任意の n >= 1 に対して, 整数 n! が素因数として2を少なくとも(n - 1)回含む ⇔ n = 2^m.
（中略）
さて b e^2 = a e^-2 に話を戻そう. ここから次の式が見つかる.
b * ( n! / 2^(n - 1) ) * e^2 = a * ( n! / 2^(n - 1) ) * e^-2 …(1)
そして, 次の級数を代入する.
e^2 = 1 + 2/1 + 4/2 + 8/6 + ... + 2^r / r! + ...
e^-2 = 1 - 2/1 + 4/2 - 8/6 + ... + (-1)^r 2^r / r! + ...
r <= n のとき, 両辺に整数の項が次の形で手に入る.
b * ( n! / 2^(n - 1) ) * 2^r / r! および (-1)^r * a * ( n! / 2^(n - 1) ) * 2^r / r!
（中略）
r >= n + 1 のとき, 級数は次の形で手に入る.
2 b (2 / (n + 1) + 4 / (n + 1)(n + 2) + 8 / (n + 1)(n + 2)(n + 3) + ...)
および
2 a (-2 / (n + 1) + 4 / (n + 1)(n + 2) - 8 / (n + 1)(n + 2)(n + 3) + ...)
これらの級数は n を十分大きくとると, 4 b / n および -4 a / n に収束する,（中略）.
十分大きな n = 2^m に対して, (1)の左辺はある整数より「ほんの少し」大きくなり,
右辺は「ほんの少し」小さくなる―これは矛盾である! □
518:１３２人目の素数さん
14/01/15 20:52:15.73 .net
（>>502のつづき）
こうして, e^4 が無理数であることが分かった;
e^3 や e^5 などが同様に無理数であることを示すためには
より重たい機械類（つまり, ほんの少しの微積分）と新しいアイデアが必要である―そのためには
Charles Hermiteに立ち返る必要があるが, その鍵となるものが次の簡単な補題に隠されている.
【補題】 n >= 1として, f(x) = x^n (1 - x)^n / n! とおく.
(i) f(x) = 1/n! Σ[i = n, 2n] ci[i] x^i, （ただし, 定数 c[i] は整数）である.
(ii) 0 < x < 1 に対して, 0 < f(x) < 1/n! である.
(iii)導関数 f^{k}(0) および f^{k}(1) はすべての k >= 0 に対して整数である.
（中略）
【定理1】 e^r はすべての r ∈ Q - {0} に対して無理数である.
【証明】 正の整数 s について, e^s が有理数でないことを言えば十分である.（中略）.
e^s = a/b （ただし, 整数 a, b > 0）として, n をn! > a s^(2n + 1) となるように十分大きくとる.
F(x) := s^(2n) f(x) - s^(2n - 1) f^{1}(x) + s^(2n - 2) f^{2}(x) - ... + f^{2n}(x) とおく.
（ただし, f(x) は上の補題の関数とする）
（中略）
N := b ∫[0, 1] s^(2n + 1) e^(s x) f(x) dx = b [e^(s n) F(x)] [0, 1] = a F(1) - b F(0) とおく.
これは整数である, なぜなら補題の(iii)より F(0) と F(1) が整数だから�
519:ﾅある. しかしながら, 補題の(ii)より, N の大きさを下と上から推定すると, 0 < N = b ∫[0, 1] s^(2n + 1) e^(s x) f(x) dx < b s^(2n + 1) e^s 1/n! = a s^(2n + 1) / n! < 1 したがって, N は整数ではありえない: これは矛盾である. □
520:１３２人目の素数さん
14/01/15 21:48:14.16 .net
翻訳乙！
なーんか、もっとエレガントな方法はないものかと思うね。
521:１３２人目の素数さん
14/01/15 21:55:16.72 .net
翻訳を見れば
>>501が間抜けだと分かるだろ？
522:１３２人目の素数さん
14/01/15 22:02:27.45 .net
>>504
あまくだりてきではあるが、エレガントだろ。
あんな解法どうやって思いついたかサッパリ分からん。
523:１３２人目の素数さん
14/01/16 22:49:00.51 .net
今更だが>>503下から5行目の b [e^(s n) F(x)] [0, 1] は b [e^(s x) F(x)] [0, 1] の間違いスマソ
524:１３２人目の素数さん
14/01/17 12:36:50.34 .net
>>503の解法って凄いよな。
ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ（０）＝１ という仮定だけから
任意の０でない有理数 ｑ に対して ｆ（ｑ） が無理数って導いている。
525:１３２人目の素数さん
14/01/17 19:14:28.71 .net
ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）であってｆ（０）＝１のものはｆ（ｘ）＝ｅ＾ｘしかないから
お前の言ってることは「ｆ（ｘ）＝ｅ＾ｘ という仮定だけから」というのと同値だな
つまり、当たり前のことを別の言い回しに直しただけだ
526:１３２人目の素数さん
14/01/18 00:07:45.78 .net
IQが20以上違えば会話が成立しないというのは本当だなｗ
527:１３２人目の素数さん
14/01/18 04:10:28.25 .net
常微分方程式の解の存在性と一意性は、決して「当たり前のこと」ではないな。
リプシッツ条件やら不動点定理やらの話になって、
単に初期値問題を変数分離形で解くだけでは済まなくなる。
528:１３２人目の素数さん
14/01/18 06:08:27.11 .net
例のPDF面白かったんで新スレ立てました。よろしく。πの二乗の話も良かったね。英語苦手だから理解が追いついてるか自信ないけど。
みんなでproofs from the bookを読もう
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
529:１３２人目の素数さん
14/01/18 07:19:03.95 .net
>>511
横レスだが、f ' (x)＝ f(x), f(0)＝1 なる関数の
存在性・一意性に限って言えば、そこまで高級な議論は必要ない。
存在性：f(x)＝Σ[k＝0～∞](x^k)/k! と置けばよい。
任意の x∈R に対して右辺が収束していることは簡単に出る。
f(0)＝1 は簡単に出る。f ' (x)＝f(x) は次の補題から簡単に出る。
補題：実数列 { f_n(k) }_k (n∈N)と実数列 { f(k) }_k, { g(k) }_k は次を満たすとする。
・lim[n→∞]f_n(k)＝f(k) (∀n).
・|f_n(k)|≦g(k) (∀k, ∀n).
・Σ[k＝1～∞]g(k)＜∞.
このとき Σ[k＝1～∞]f_n(k) (n∈N) 及び Σ[k＝1～∞]f(k)が存在して、しかも
lim[n→∞]Σ[k＝1～∞]f_n(k)＝Σ[k＝1～∞]f(k)
が成り立つ。
上記の補題は簡単なε－δ論法で証明できる。
530:１３２人目の素数さん
14/01/18 07:20:44.92 .net
一意性：g(x)＝Σ[k＝0～∞](x^k)/k! と置くと、既に述べたように
g ' (x)＝g(x), g(0)＝1である。また、任意の x,y∈R に対して
g(x＋y)＝g(x)g(y) が成り立つことが言える(泥臭い愚直な計算で)。
さて、f ' (x)＝ f(x), f(0)＝1 なる f を任意に取る。このとき
(g(－x)f(x)) ' ＝－g ' (－x)f(x)＋g(－x)f ' (x)
＝－g(－x)f(x)＋g(－x)f ' (x)＝g(－x)(－f ' (x)＋f(x))
＝0 ― (i)
となる。さて、x≠0を任意に取る。平均値の定理と上記の(i)より
g(－x)f(x)－g(0)f(0)＝0 となるので、g(－x)f(x)＝g(0)f(0)＝1
となる。これがx≠0なる限り言える。この等式はx＝0のときも
明らかに成り立つ。よって、任意のxでg(－x)f(x)＝1 となる。
両辺にg(x)をかけて、g(x)g(－x)＝g(x－x)＝g(0)＝1に注意して
f(x)＝g(x)となる。よって題意の f は一意的である。
全体としては、「導関数」「級数の収束」の議論だけで十分であり、
積分が必要ない。
531:１３２人目の素数さん
14/01/18 07:38:31.28 .net
余談だが、e^x が既に定義済みであり、e^x の各種の性質も既に証明済みならば、
>>509のように「当たり前のこと」と言っても差し支えない。
なぜなら、存在性は 「 f(x)＝e^x 」の1行で終わり。
また、一意性は>>514と全く同じく
(e^{-x}f(x)) ' ＝ 0
e^{-x}f(x)‐e^{-0}f(0)＝0 (平均値の定理)
e^{-x}f(x)＝1
f(x)＝e^x
で終わる。この計算は簡単な高校数学であるから、
結局、高校数学の範囲に収まってしまう。
一方で、e^x の定義から始める場合は、「当たり前」は言い過ぎ。
たとえば、e^x を級数 Σ[k＝0～∞](x^k)/k! で定義する場合は、
(e^x) ' ＝e^x を証明するのに>>513が必要になる。あるいは、
絶対収束性を使って積分を経由する証明法もあったはず(そっちの方が有名か)。
予め常微分方程式の一般論を論じた上で、f ' (x)＝ f(x), f(0)＝1 なる
ただ1つの関数を e^x と定義する場合は、もはや「当たり前」のための
大義名分を失って本末転倒。
532:１３２人目の素数さん
14/01/22 21:35:18.87 .net
>>503
の解答発展させて超越性の証明はできないものか？
533:１３２人目の素数さん
14/03/20 16:28:48.88 .net
ぬるぽ
534:１３２人目の素数さん
14/03/20 19:37:45.83 .net
>>517
ガッ
535:１３２人目の素数さん
14/03/22 13:34:46.08 .net
運営乙
536:１３２人目の素数さん
14/03/28 19:44:28.82 .net
>>516
多分、それを発展させたのが>>202のエルミートの証明になるんだと思う
537:１３２人目の素数さん
14/04/02 12:17:39.58 .net
e^e、γ、eπ、e/πが無理数であることは確か。
e±πは無理数というか、eとπはQ上線型独立ではある。
そういわざるを得ない。むしろ、我々が認知出来る数の方が例外だと思われる。
当初いっていたe+πの超越性については一旦保留しておく。
多分超越数であるとは思うが、間違っている可能性がある。
未だ、超越性まで分かる夢のような道具は開発出来ていない。
この開発は長い道のりになりそうだ。
538:１３２人目の素数さん
14/04/02 12:48:11.02 .net
まあ、自分でe+πは超越数っていっちゃったんだからしょうがないわなw
いった責任とって、しばらく証明試みてみるわ。
539:１３２人目の素数さん
14/04/02 13:53:26.60 .net
いや、e+πは超越数で合ってるのか？
だけど、単純にそうすると、そうなる理由が説明出来ないことがあるんだよな。
まあ、念のため慎重にもう1回根幹にある定理の証明とかを精査してみるわ。
540:１３２人目の素数さん
14/04/03 21:48:29.31 .net
じゃあまず手始めにe+πが二次方程式の解でないことを示してくれよ。
541:１３２人目の素数さん
14/04/04 05:28:01.55 .net
>>524
>じゃあまず手始めにe+πが二次方程式の解でないことを示してくれよ。
それはあなた達の宿題である。
私がすべきことは、現時点で得られている定理の一般化をただ試みることに他ならない。
それは、道のりが長く強烈に難しいことであろうと思われる。
542:１３２人目の素数さん
14/04/04 08:03:32.14 .net
というか、単発的にe+πが二次方程式の解でないことを
示していくようなことを繰り返しているんじゃ、超越数崩しは出来んわな。
何らかのアルキメデス付値体K∈Rを係数とし、各i＝1、2、…、n、n+1に対して
f_i(x)∈Z(x)は整数係数多項式とするとき
a_1・X^{f_1(e)}＋a_2・X^{f_2(e)}＋…＋a_n・X^{f_n(e)}＋a_{n+1}＝0
ただし、f_1(e)＞f_2(e)＞…＞f_n(e)＞0、
のような、有理係数代数方程式に似た方程式モドキを解く
ようなことを考えていかないと超越数崩しは難しい訳で。
そのようなことを、私=>>525は今考えている訳で。
このような方程式モドキの解について調べることって難しいだろうな。
こういう解について分かれば、超越数の判定や代数的独立性の判定は容易になっていくと思われる。
eは超越数でQ(X)とQ(e)は同型だから、e＝eや
543:π＝πである時点でeとπは代数的独立のような気がするが、 Q(e)やQ(π)はアルキメデス付値体だから、単純にeとπがQ上代数的独立と判断することは出来ないであろう。 表現論なら、eとπの代数的独立性は証明出来るかも知れない。 ただ、表現論全般に精通している訳ではないから、それが正しいという保証はどこにもない。 今は表現論その他をお勉強している訳で。
544:１３２人目の素数さん
14/04/04 12:00:44.73 .net
うわあ
545:１３２人目の素数さん
14/04/04 12:06:57.73 .net
あらこんなところに大型ポエムが
546:１３２人目の素数さん
14/04/04 19:51:09.93 .net
>>59>>61>>65>>67
547:１３２人目の素数さん
14/04/04 20:20:06.96 .net
証明が無いんだからポエムだな
548:１３２人目の素数さん
14/04/04 20:45:35.93 .net
もうこのスレで語る事は何も無い。河合塾で使われて終わった話なのだ。
549:１３２人目の素数さん
14/04/08 20:48:46.26 .net
まだeの超越性の証明が残ってる
勝手に終わらせるな
550:１３２人目の素数さん
14/04/16 07:17:58.15 .net
>>533
或る3つの整数m、n、lが存在して3次元空間で2つの幾何ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)が直交したとする。
ここに、e、e^2は共に無理数だから、m、n、lは何れも0ではないと仮定しても一般性を失わない。
すると、xy平面、yz平面、xz平面の中の任意の2平面は空間内で直交するから、
ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)をxy平面に射影して考えると、3垂線の定理により、
xy平面における2つの幾何ベクトル(e^2,e)、(m,n)は直交する。
よって、(e^2,e)、(m,n)の内積を考えると、e＞0から、me+n＝0が得られ、e＝n/mは有理数。
しかし、これはeが無理数であることに反し、矛盾する。
従って、如何なる整数m、n、lに対しても、3次元空間で2つの幾何ベクトル(e^2,e,1)、(m,n,l)が直交し得ない。
e、e^2が無理数であることは使っていいと>>1に書いてあるから用いた。
551:１３２人目の素数さん
14/04/16 08:00:39.96 .net
>>533で、「e＝n/mは有理数」の部分は「e＝-n/mは有理数」と訂正。
552:１３２人目の素数さん
14/04/16 10:16:56.01 .net
これはひどい
553:１３２人目の素数さん
14/04/16 10:17:00.94 .net
e=1+2^(1/2).
e^2-2e-1=0.
554:１３２人目の素数さん
14/04/16 13:32:22.86 .net
>>536
要するにある２次無理数rにおいては(r^2,r,1)と直交する整数ベクトルがあるという事。その整数ベクトルを幾何学的に導ければeがそれに当てはまらないと言えるんだが。
555:１３２人目の素数さん
14/04/16 15:38:16.77 .net
>>535
>>536
>>537
>>533はお絵描きしたり証明したりせず、テキトーに書いたからな。
こうなったらいいねの話な訳で。くれぐれもマジメに読まないでほしい。
556:１３２人目の素数さん
14/04/16 19:29:07.06 .net
既に真面目に読んでしまった人がいるわけだが、その人たちに対して何か言うことは無いか？
557:１３２人目の素数さん
14/04/17 06:00:16.96 .net
すみませんでした。
558:１３２人目の素数さん
14/04/17 06:36:41.48 .net
幾何学的の「幾何学」がどういう「幾何学」を指すのかは分からないが、
>>533の初等幾何的な証明は少し難しいとは思う。
559:１３２人目の素数さん
14/04/17 18:09:58.07 .net
>>541
無理っぽい、、、。
560:１３２人目の素数さん
14/04/18 11:14:11.52 .net
>>542
じゃ、>>533は出来ない(解けない)で終了。
実質的にeやe^2が超越数になるというのに、
どうやって(初等)幾何学的に示すのかと思ってたんだよ。
561:１３２人目の素数さん
14/04/18 23:17:42.43 .net
>>543
そもそも内積取らなくても元のベクトルを延長したら格子点を通る訳だから、eが2次方程式の解ならe^2x+ey+z=0という一次直線が格子点を通るかという問題に還元される。
これは元の問題を直接解くのと何も変わらない。
562:１３２人目の素数さん
14/04/26 16:03:35.69 .net
ｱﾝｶｰもまともに貼れない池沼の集まり
563:１３２人目の素数さん
14/04/26 18:51:33.28 .net
≫ 546
誰のことだ？
564:１３２人目の素数さん
14/04/26 23:40:21.31 .net
x^2-e^2=0
セイケイシキ？！
log(x)^2-1 = 0
What?!
565:１３２人目の素数さん
14/04/28 01:25:23.83 .net
ある3次元1次関数が格子点を通る事の必要条件と十分条件って何だろう？
566:１３２人目の素数さん
14/05/03 08:56:26.56 .net
3次元1次関数ｗ
567:１３２人目の素数さん
14/05/08 16:45:26.36 .net
test
568:１３２人目の素数さん
14/05/09 20:07:08.26 .net
x^2+2ex+e^ 2=0
569:１３２人目の素数さん
14/05/11 01:52:49.59 .net
test
570:１３２人目の素数さん
14/05/12 21:44:34.18 .net
te
571:１３２人目の素数さん
14/05/12 22:37:19.71 .net
ここでテストするな。ここは京大模試に採用された高尚なスレだぞ。
572:１３２人目の素数さん
14/05/12 23:35:35.04 .net
じゃあ本番
573:１３２人目の素数さん
14/05/13 00:02:49.60 .net
つーか、みんなで予備校関係者に釣られたんだよなｗ
574:１３２人目の素数さん
14/05/15 13:07:31.10 .net
誰が関係者だと？
>>1にはあのレベルの出題をする能力はない。
575:１３２人目の素数さん
14/06/14 01:10:18.62 .net
test
576:１３２人目の素数さん
14/08/26 21:28:57.34 .net
eの超越性を初等的に示す事はできないの？
577:１３２人目の素数さん
14/08/26 22:59:06.42 .net
社会学板でゼロの累乗実験進行中。
578:１３２人目の素数さん
14/08/27 01:43:39.98 .net
ｅの超越性の証明はどこかそこらへんの微積分学の本で読んだ記憶があるけど
初等数学の範囲だったと思うよ。
579:１３２人目の素数さん
14/08/28 12:38:07.42 .net
eが2次の代数的数であると仮定する
このとき
(√e)^2=e
これは仮定eが2次の代数的数であることに矛盾する
したがってeは超越数である☆
580:１３２人目の素数さん
14/08/28 12:55:14.48 .net
>>562
この論法が正しかったとすると代数的数2^2＝4に対しても
>4が2次の代数的数であると仮定する
>このとき
>(2)^2=4
>これは仮定4が2次の代数的数であることに矛盾する
>したがって4は超越数である
という論法が成り立たないといけないから間違いだわな。
581:１３２人目の素数さん
14/09/14 15:14:19.59 .net
質問が期待している答えは、
ｘが有理整数上の二次の無理数であるとすれば、
ｘの連分数展開は必ず循環する。
でもeの連分数展開は巡回しないから、二次の無理数になるのは無理ぽ。
そういう論法だろう。
582:１３２人目の素数さん
14/09/21 21:28:02.80 .net
>>564
>>12
少なくともスレ立てた本人はそういう論法を期待してないみたいだけど？？？
583:１３２人目の素数さん
14/09/24 12:01:33.91 .net
連分数が循環しない⇔超越数
って推測は可能だが証明無しで使っても良いの？
584:１３２人目の素数さん
14/09/24 12:07:52.15 .net
いいわけないだろ馬鹿
585:１３２人目の素数さん
14/09/24 12:25:11.44 .net
救いようがないな
586:１３２人目の素数さん
14/09/24 12:36:49.12 .net
いい加減な知識を入試とかで使う
↓
採点ではねられて落ちる
↓
「なんとかの定理を使ったら、バツにされるぞ」
あると思います。ロピタルとか、こんなの山ほどありそう
587:１３２人目の素数さん
14/09/24 14:36:46.77 .net
ステップ1 eの連分数展開が循環しない事を示す。
ステップ2 2次無理数の連分数展開が一般に循環する事を示す。
ステップ3 循環しない連分数の示す数が二次無理数出ない事を示す。
ステップ4 1で得られた形の循環しない連分数がeそのものだと示す。
これら全部説明してようやく正解か。
588:１３２人目の素数さん
14/09/24 15:00:42.18 .net
>>570
３行目、日本語でおｋ
589:１３２人目の素数さん
14/09/24 19:06:09.93 .net
>>566
>連分数が循環しない⇔超越数
これだけで、いろいろと夢広がりまくりんぐｗｗｗｗｗ
簡単な系として
･Q上の有限次拡大体はガロア拡大
･KをQ上の有限次拡大体とするとき、Gal(K/Q)はべき零、特に可解
･代数的数は作図可能
590:１３２人目の素数さん
14/09/24 19:09:57.30 .net
おいおいおいおいおいおい
運営乙
591:１３２人目の素数さん
14/09/24 21:51:17.62 .net
三次無理数も循環しないのか？四次無理数では？
循環しなくても代わりに別の法則があるのか？
592:１３２人目の素数さん
14/09/25 05:59:04.64 .net
連分数が循環しない⇔超越数
では無いみたいだけど
連分数が循環しない⇔二次無理数でない
は言えそう。
そもそも連分数の形から超越性を示す事ってできんの？
593:１３２人目の素数さん
14/09/25 19:31:36.57 .net
三次無理数の連分数について教えて下さいよぉ。
594:１３２人目の素数さん
14/09/25 20:00:15.63 .net
一次無理数⇔循環小数
二次無理数⇔循環連分数
595:１３２人目の素数さん
14/09/25 20:29:51.26 .net
また妙な単語作って
> 一次無理数
596:１３２人目の素数さん
14/09/25 21:10:41.51 .net
>>577
三次無理数⇔循環○○？
597:１３２人目の素数さん
14/09/25 21:35:06.44 .net
わかってないのに無理するからな
598:１３２人目の素数さん
14/09/25 22:43:21.04 .net
わかった。二次無理数は連分数で同じ整数が同じ順列で繰り返し。
三次無理数の場合2次の時のような正則ではないが連分数で有限の数の整数の組み合わせの繰り返しで表現される。
一方超越数を連分数にしたら登場する整数は循環しないだけでなく、無限種類の整数が現れる。
599:１３２人目の素数さん
14/09/26 11:34:16.45 .net
さすが狼おじさん、新作もすごいね
600:１３２人目の素数さん
14/09/30 16:55:17.35 .net
三次無理数も三次方程式も美しくない。神の発明は自然数、有理数と二次無理数まで。
601:１３２人目の素数さん
14/11/07 19:36:49.76 .net
この問題を数Ⅲの定期テストに出そうと思えばどう誘導すれば良いかな？
602:１３２人目の素数さん
14/11/14 00:21:03.16 .net
俺が思うのはどうしてこういう疑問が出てきたのか？ってことだ
数学はそういうのが多い
頭のいい奴はいろいろ疑問を持つんだな
603:１３２人目の素数さん
15/02/24 21:12:31.42 QlyQY4Kv.net
三次無理数、四次無理数、n次無理数の連分数表現って一般化できるの？賢い人教えて
604:１３２人目の素数さん
15/02/25 20:01:41.60 B7eIVZ6C.net
それができたらノーベル賞もの
605:１３２人目の素数さん
15/03/05 23:39:50.34 L4wXg2vE.net
三次だけでも無理なのか？
606:１３２人目の素数さん
15/03/14 15:44:49.30 k+B/o0iT.net
連分数があくまで二次元的な表現方法ってだけで三次無理数には三次元的な超連分数があって、そこでは繰り返しで表現できるってことじゃないか？
607:１３２人目の素数さん
15/03/14 19:57:39.05 YYRn3zpw.net
y=a+b/xが2次曲線である以上
これを有限個連ねても3次無理数は表現不可
ちょっとは頭使えよお前ら
608:１３２人目の素数さん
15/03/15 04:12:11.41 BoE8Nb7/.net
>>590
なるほど。3次超連分数の定義とeがそれで表現できない事を証明できないか？
609:１３２人目の素数さん
15/03/15 11:39:13.39 wzERPOue.net
運営乙
610:１３２人目の素数さん
15/03/15 14:45:09.33 /Ai6yql7.net
(1/e)^2 * x^2 +(1/e) * x -2=0
の解になってるけど二次方程式の
解じゃないのかな？
611:１３２人目の素数さん
15/03/15 19:09:01.17 SdHQbzlb.net
お前は一生ROMってろ
612:１３２人目の素数さん
15/03/15 22:41:56.02 BoE8Nb7/.net
3次超連分数なるものを定義して、二次無理数における連分数表記のように三次無理数が超連分数の繰り返しで表現できたとして、
eがその性質を持たない事を証明することは三次無理数でないことを直接証明するのと何ら変わらない。
ある数の三次無理性を否定する事は二次無理性を否定する事の数倍難しい。
613:１３２人目の素数さん
15/06/28 01:16:15.23 zOOddEEd.net
ae^2+be+c=0を満たすa,b,cが存在すると仮定する(a,b,cは整数 a≠0) ←パクリです
ae^2+be+c=0 ...①
この式をeで微分して
2ae+b=0
即ちb=-2ae ...②
これを①に代入して
ae^2-2ae^2+c=0
即ちc=ae^2 ...③
条件よりa,b,cは整数,a≠0なので
②③は成立しない
よって①も成立しない
高3で問題よくわからんがテキトーに
614:１３２人目の素数さん
15/06/28 07:57:53.60 pxcULOZ3.net
>>596
天才現る
615:１３２人目の素数さん
15/06/30 00:11:17.44 0d/wsIlJ0.net
597の人だが
今考えてみるとおかしなことに気付いた
さらに微分すると2a=0になる
自分で書いてなんだけどこの証明はおかしい気が
616:１３２人目の素数さん
15/06/30 07:09:19.31 glHIEriH.net
>>598
いやあってるよ、君数学のセンスいいね
617:１３２人目の素数さん
15/06/30 07:30:20.05 0d/wsIlJ0.net
>>599
vipで聞いたら
方程式は微分できないって
微分は恒等式で
618:のみ。と これに納得したから俺はこの証明間違えていると思う
619:１３２人目の素数さん
15/10/09 13:47:55.41 6Pl9WiXw.net
f'(a)={f(a)}'と言いたいのかな
まあセンスは皆無
620:１３２人目の素数さん
15/10/09 15:09:40.54 zu7kV45m.net
>>601
お前もな
621:１３２人目の素数さん
15/10/10 15:09:31.35 Z4BWVqmo.net
言っとくがこの問題はそんな簡単には解けないよ。河合塾の模試よりエレガントな方法があると思うが、誰もそこにたどり着けない。
622:１３２人目の素数さん
15/10/10 23:29:56.56 Iy08NCEA.net
eの超越性の証明
エルミートの方法>>15>>202
天書の証明>>469>>502-503
eの二次無理性のみの証明
河合塾の模試>>387>>459
テーラー級数>>18-19>>189>>460
連分数展開（アイデアのみ）>>12>>570
623:１３２人目の素数さん
15/10/10 23:46:25.88 Iy08NCEA.net
>>604
すまん、天書の証明のはe^nの無理性の証明だった
624:１３２人目の素数さん
15/10/10 23:56:34.31 Iy08NCEA.net
>>604
そして>>460はe^2の無理性の証明でした
ぐだぐだでスマソ
625:１３２人目の素数さん
15/10/11 19:35:35.79 d0LAlUgf.net
>>596
これで高３て…
626:１３２人目の素数さん
15/10/12 00:57:58.57 oeCnT+6O.net
むしろ高３でこういう証明考え付くのはすごいと思う
627:１３２人目の素数さん
15/10/12 07:06:44.64 4tUTQ8q2.net
定数で微分するのか…
628:１３２人目の素数さん
15/10/12 13:21:52.93 ygs5x6T9.net
高３でそれをやる所がすごいんだろ
629:１３２人目の素数さん
15/10/12 13:23:45.23 Ieo7mfZp.net
数学における位相幾何学（いそうきかがく、英: topology; トポロジー）は、
「位置」（希: τόπος）の「学問」（希: λόγος）に由来し、与えられた集合を位相空間とするような開集合に関して研究する。
この分野では連続変形（伸ばしたり曲げたりすることはできるが切ったり貼ったりはしない）によって保たれる空間の性質に関心がもたれる。
位相幾何学的性質において重要なものには、連結性およびコンパクト性などが挙げられる[1]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
630:１３２人目の素数さん
15/10/12 13:47:47.16 Ieo7mfZp.net
Jumeirah Madinat Abra ride - 360 degree video
URLﾘﾝｸ(aurorawave.atspace.tv) URLﾘﾝｸ(i1.ytimg.com) #AuroraWaveTV
631:１３２人目の素数さん
16/02/14 21:53:46.04 m+c0QIz3.net
ここまでまとめ
eの超越性の証明
エルミートの方法>>15>>202
eの二次無理性の証明
河合塾の模試>>387>>459
テーラー級数>>18-19>>189
e^nの無理性の証明
天書の証明>>469>>502-503
e^2の無理性の証明>>460
連分数展開（アイデアのみ）>>12>>570
632:１３２人目の素数さん
16/02/14 23:23:37.73 V4RQLRWL.net
運営乙
633:１３２人目の素数さん
16/02/15 07:50:23.34 UbkLnbxY.net
普通にこのスレは良スレだったと思うがな
634:１３２人目の素数さん
16/02/15 21:28:54.94 J3681/jq.net
三次無理性の証明を何度か挑戦したがとても難しい
635:１３２人目の素数さん
16/02/16 01:26:27.50 Dp4n3QFc.net
4次無理性の証明を何度か挑戦したがとても難しい
636:１３２人目の素数さん
2016/02/1
637:6(火) 11:04:17.02 ID:9+W5Vhfq.net
638:１３２人目の素数さん
16/02/16 22:34:38.03 vpb2nyRO.net
6…あっ
639:１３２人目の素数さん
16/02/16 22:54:59.28 P4IzKdQf.net
>>618
ガロア乙
640:１３２人目の素数さん
16/02/18 13:45:30.46 0D+DRceU.net
思ったんだけどさ
3次方程式は(x-r)^3+p*(x-r)+q=0の形に変形できるじゃん
そしたら(x-r)+p*(x-r)^(-1)+q*(x-r)^(-2)=0になってe代入して
(e-r)と(e-r)^(-1)をテイラー展開すれば2次のときと同じ事出来るんじゃね
641:１３２人目の素数さん
16/02/22 08:21:20.15 P6QXc0Hd.net
>>621
やってみてよ、絶対躓くから
642:１３２人目の素数さん
16/03/14 16:40:09.85 I+jaqz2g.net
ｅは極限値であって厳密には有限回の演算では
定義されない 公式で確定する二次式の解と違うのは
自明だが
643:１３２人目の素数さん
16/03/14 16:48:45.89 bb0Wn9a4.net
マジで死ね
644:１３２人目の素数さん
16/03/14 20:19:53.88 I+jaqz2g.net
二次方程式の係数を整数だとする それでeが表現できるか
という問いだと考えていいだろう あるいは
平方根だけを使ってeを近似できるか という事かもしれない
この問い自体がくだらないのだ 近似という言葉を使ってる
時点で既に勝負はついている 二次方程式には公式がある
それは「近似」との接点は無い 当たり前だが「公式」」で
表される超越数など存在しない
645:１３２人目の素数さん
16/03/14 21:42:18.43 pqIzHOJ3.net
eが超越数かどうかを
問題にしてるんじゃないの？
そこが既知なら、
最初から「自明」で終わる。
646:１３２人目の素数さん
16/03/14 21:57:08.08 PCxkNiwi.net
それも違う
eの2次無理性を超越性を用いずに証明できるかを問題にしている
647:１３２人目の素数さん
16/03/14 22:26:32.01 pqIzHOJ3.net
2次無理って代数的
648:１３２人目の素数さん
16/03/14 22:59:55.78 CkCqEvHS.net
運営乙
649:１３２人目の素数さん
16/03/14 23:34:45.68 4pf1T67N.net
>>625
なんで超越性が既知なんだよ？本末転倒だろ
eの初等的性質を満たす数が二次無理数でないかどうかは自明ではないり
650:１３２人目の素数さん
16/03/15 14:22:35.82 HlnhYh8d.net
或る意味では、>>625の考え方も出来るかも知れないな。代数的には、
eやπが超越数を表すような公に定義された文字である以上、
平面上で原点中心の単位円周上に(1,0)から反時計回りに円周上を
eやπ±eの長さだけたどると、幾何学的には、
eが超越数で、π±eも自然に超越数になるからな。
どう見ても、代数的にはπ±eはこれ以上計算しようがないだろ。
ただ、a－πとπ a＞πは代数的数 に対して同様なことを考えると
(a－π)＋π＝a で代数的数になるから、同様な論法は成立しないんだけど。
単位円周上の長さが2πで超越数なることがこういう厄介な問題を引き起こしているのな。
超越数に収束する無限級数や積分自体を考えないと、意味がなくなる。
代数的考え方だけでは無力になっているという、いい例だな。
651:１３２人目の素数さん
16/03/15 15:10:38.42 HlnhYh8d.net
念のため、>>631の補足。
1：a－πとπ a＞πは代数的数 → a－πとπ a＞πは実数の代数的数
2：(a－π)＋π＝a で代数的数になる → (a－π)＋π＝a で実数の代数的数になる
652:１３２人目の素数さん
16/03/15 16:17:09.54 qQBHjSpT.net
√３ と √５だけを使ってeを表せないか？
出来る 可能だ
無論有限回では意味を成さない
無限級数となる そしてそれはeの定義と同義だ
級数和に根号を掛けただけの式に等しいだろう
653:１３２人目の素数さん
16/03/15 23:41:30.02 08nyLitV.net
あなたの論理は高度過ぎて何を言ってるかわからない
654:１３２人目の素数さん
16/03/15 23:47:46.63 2j25G9Tg.net
いや高度過ぎるんじゃなくて支離滅裂なだけ
655:１３２人目の素数さん
16/03/16 17:52:26.03 zES61Q86.net
e^2 - x^2 = 0
の解は
656:１３２人目の素数さん
16/03/16 18:32:17.23 agzk9WLT.net
eというのはシステムなんだから幾らでも拡張できる
ただ拡張元のソースが違う場合に 拡張されたモノは
それぞれ互換性があるのかとか その辺の問題は
「代数」の範疇だろ
657:１３２人目の素数さん
16/03/21 13:29:56.04 1jSM82Lc.net
このスレにおける「e」は実数で超越数を表す文字かつ量であることに注意な。
そうすると、e^2－x^2＝0 は文字eの方程式ではなく文字xの方程式で、
係数が超越拡大体Q(e)に属する。なので、有理係数多項式の根ではなく
超越拡大体Q(e)の元を係数とする方程式を考えていることになる。
e^2－x^2＝0 は、体Q(e)においてはx＝±eを根に持つが、e^2の部分をeに置換して
超越拡大体Q(e)の元を係数とする方程式 e－x^2＝0 を体Q(e)において考えると、根を持たなくなる。
何故なら、変数xの方程式 e－x^2＝0 が体Q(e)において根を持つとする。
方程式 x^2＝e は体Q(e)において根を持つ。だが、体Q(e)において持ち得る複素数の根は
±√eの2つに限られ、√eは超越拡大体Q(e)に属さない。だから、x^2＝e はQ(e)において根を持たず矛盾。
まあ、この辺りのことをチマチマ考えるのが代数なんだが。
2つの実数の和や積の演算は実数論で定義されそれ独自で意味がある訳で、
実数体Rに対して代数の理論は通用しないだろ。体Rに対して
代数の理論を形式的に応用しようとすると、必ずどこかで破綻する。
級数の扱い方も、解析では代数より精密になる。
658:１３２人目の素数さん
16/03/22 18:52:22.91 HXPS3ydD.net
なんとなく解析ビシビシ臭がするんだが
659:１３２人目の素数さん
16/03/22 19:23:20.70 Cxh/Sw+4.net
そりゃ、解析抜きでeは定義できないからな。
660:１３２人目の素数さん
16/03/22 23:29:29.95 44iq6QBC.net
てことは解析抜きでeを定義できたらすごい？
661:１３２人目の素数さん
16/03/24 11:12:32.99 yayv/s4j.net
>>632
>>631では証明を書いてなく、>631の
>代数的には、eやπが超越数を表すような公に定義された文字である以上、
>平面上で原点中心の単位円周上に(1,0)から反時計回りに円周上を
>eやπ±eの長さだけたどると、幾何学的には、
>eが超越数で、π±eも自然に超越数になる。
だけでは証明になってなく、更に>631では
>同様な論法は成立しないんだけど。
や
>超越数に収束する無限級数や積分自体を考えないと、意味がなくなる。
などと書いてあったりするので、>>631の今挙げたこれらの部分「だけ」では、
元から真に受ける価値はないんです。>>633みたいに真に受けている人もいますけど、
せいぜい独り言だと思って下さいな。>631の価値は、少なくとも
>代数的考え方だけでは無力になっているという、いい例だな。
の部分にあるんです。
662:１３２人目の素数さん
16/05/04 22:39:42.92 svwsFLor.net
つ[凡例]
7e-19＝4/143,
1001e－2721＝(3/286)^2,
∴(7e-19)^2＝7(1001e－2721),
∴(7e)^2－1039(7e)＋19408＝0
∴e＝(1039－√1001889)/14,
663:１３２人目の素数さん
16/05/04 23:08:14.53 svwsFLor.net
>>643
a=1/143 の冪級数で表わせば
7e＝19＋4a＋(9/4)a^3＋(3/4)a^4＋…
でつか？
664:１３２人目の素数さん
16/05/05 17:50:09.14 gy2ISb2K.net
>>644
a=1/143はe(電子)の微細構造定数かな？
665:１３２人目の素数さん
16/05/06 11:20:18.42 EGY51WfE.net
eの定義を変えるなよw
結局河合塾より美しいエレガントな解法は見つからないのか。
大学への数学か何かの懸賞問題にしてもらえないかな。
666:１３２人目の素数さん
16/05/09 20:57:26.55 CEQzP+ml.net
∫[0,1] e^(-x^2)
667: dx＝(1/2)(√π)erf(1)＝0.746824… も無理数らしい。 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/947-
668:１３２人目の素数さん
16/05/10 22:16:39.40 f4G41nmW.net
幾何学的アプローチは無理なのかね。
669:１３２人目の素数さん
16/05/10 22:18:41.52 f4G41nmW.net
eの作図不可能性が示せれば、あるいは
670:１３２人目の素数さん
16/05/10 22:27:07.65 DDd5C0FU.net
x^2-e^2=0
671:１３２人目の素数さん
16/05/10 23:25:09.55 ICic68ZK.net
そゆのもおいいから
672:１３２人目の素数さん
16/05/12 01:31:34.03 T9b6+jc3.net
二次無理数は定規とコンパスで作図できるから、限りなくeを近似する作図プロセスを見つけてそれが無限回施行しないとeそのものにならない事を示せれば良いかもしれない。
(1+1/h)^hの作図がある時点から不可能になると示せれば十分かもしれん
673:１３２人目の素数さん
16/05/12 14:32:39.12 hGeHdykH.net
米をいろいろな煮かたで煮ても
焼きおにぎりにはなりませんでした
って話に、なんの意味が？
674:１３２人目の素数さん
16/05/12 14:53:19.89 Y7X8Em4B.net
だよな
675:１３２人目の素数さん
16/05/12 19:02:55.75 fBUHR9Yn.net
限りなく焼きおにぎりに近付く煮方を探して、それでは目標の焼きおにぎりにならないか、途中から目標の焼きおにぎりとは違う煮米に常になる事が示せれば目標の焼きおにぎりは煮米ではない事が証明できるだろう
676:１３２人目の素数さん
16/05/12 19:08:28.26 JRApPWyp.net
無駄スレをageるな
677:１３２人目の素数さん
16/05/12 19:34:05.99 dWDqQFlO.net
急な質問ですいません＆板違いすいません
x８乗-16を因数分解 解る方いらっしゃいますか？
678:１３２人目の素数さん
16/05/12 21:41:27.25 UahXM6zf.net
マルチ
679:１３２人目の素数さん
16/05/12 23:43:28.04 pOtAI4sw.net
なんじゃこりゃ
680:１３２人目の素数さん
16/05/12 23:43:57.73 pOtAI4sw.net
ほう
681:１３２人目の素数さん
16/05/13 13:39:21.42 iJ9sGTmC.net
そもそも(1+1/h)^hはhが有限であれば無理数ですらないただの有理数だからどこまで行っても作図可能。
だからeも作図可能となるかというとそうではない。
682:１３２人目の素数さん
16/05/13 13:42:21.99 aL2rsf9x.net
（´･∀･`）ﾍｰ
683:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/13 15:37:04.56 ozV2s34P.net
￥
>23 名前：１３２人目の素数さん ：2016/05/13(金) 15:33:17.81 ID:KGFIjXxE
> あほ痴漢野郎、仁さんを舐めすぎ！
> 仁さんは本気だしたら春季賞レベルだよ
> おまえなんか片手でひょいだよ
> 早く泣いて逃げた方がいいよ！
>
684:１３２人目の素数さん
16/05/13 16:44:22.91 oSDR/D3n.net
>>657
x^8 -16 = (x^4 +4)(x^4 -4)
= {(xx+2)^2 -(2x)^2}{(xx)^2 - 2^2}
= (xx+2x+2)(xx-2x+2)(xx+2)(xx-2) (←Z or Q)
= (xx+2x+2)(xx-2x+2)(xx+2)(x+√2)(x-√2) (←R)
= (x+1+i)(x+1-i)(x-1+i)(x-1-i)(x+(√2)i)(x-(√2)i)(x+√2)(x-√2) (←C)
685:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/13 16:45:02.79 ozV2s34P.net
￥
>23 名前：１３２人目の素数さん ：2016/05/13(金) 15:33:17.81 ID:KGFIjXxE
> あほ痴漢野郎、仁さんを舐めすぎ！
> 仁さんは本気だしたら春季賞レベルだよ
> おまえなんか片手でひょいだよ
> 早く泣いて逃げた方がいいよ！
>
686:１３２人目の素数さん
16/05/13 16:48:53.35 oSDR/D3n.net
>>657
x^8 - (√2)^8 = Π[k=0～7] {x - (√2)e^(ikπ/4)}.
687:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/13 16:49:52.38 ozV2s34P.net
￥
>23 名前：１３２人目の素数さん ：2016/05/13(金) 15:33:17.81 ID:KGFIjXxE
> あほ痴漢野郎、仁さんを舐めすぎ！
> 仁さんは本気だしたら春季賞レベルだよ
> おまえなんか片手でひょいだよ
> 早く泣いて逃げた方がいいよ！
>
688:１３２人目の素数さん
16/05/13 23:33:16.55 vwXd4DWD.net
いろんなアプローチを試してみたが河合塾の出題者はよくあんな方法を思い付いたなと関心だわ
689:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/05/13 23:47:01.79 ozV2s34P.net
￥
>23 名前：１３２人目の素数さん ：2016/05/13(金) 15:33:17.81 ID:KGFIjXxE
> あほ痴漢野郎、仁さんを舐めすぎ！
> 仁さんは本気だしたら春季賞レベルだよ
> おまえなんか片手でひょいだよ
> 早く泣いて逃げた方がいいよ！
>
690:１３２人目の素数さん
16/05/18 22:49:49.07 hzGdJF+x.net
e + 2π = (19/7) + 2(22/7) = 9,
e^6 - π^5 - π^4 = 0,
より、eは整6次方程式
32e^6 - (9-e)^5 - 2(9-e)^4 = 0,
の根 2.7179070 だよ。
691:１３２人目の素数さん
16/05/18 23:31:58.11 hzGdJF+x.net
π=(5φ/7)e (φ=(1+√5)/2=1.618034）
を使うと、eは2次方程式
ee - (5φ/7)^5 e - (5φ/7)^4 = 0
の根 2.718382829 だよ。ちょっと無理だが…
692:１３２人目の素数さん
16/05/19 07:28:13.56 UzSBUecL.net
天才現る！
693:１３２人目の素数さん
16/05/19 11:52:07.70 Pqn1kI5l.net
はいは～い、誤答のおっちゃんが厳密ではないですけど、面白い解答しま～す。
[第１段]：x を実数の独立変数、yを実数の従属変数とする。定義から、指数関数 y＝e^x の値域は
区間 (0,+∞) である。また、y＝e^x は単調増加で一価の関数である。定義から、対数関数 y＝log(x)、x＞0
についても同様なことがいえるから、y＝e^x の逆関数 は y＝log(x)、x＞0 である。平面 R^2 上で、
直線 y＝x のグラフ G_0＝{(x,y)|y＝x,x∈R}について、指数関数 y＝f(x) のグラフ
G_1＝{(x,y)|y＝e^x, x∈R} と 対数関数 y＝g(x) x＞0 のグラフ G_2＝{(x,y)∈R^2|y＝log(x)、x＞0}
とは対称である。また、R^2 において、直線 y＝-x+1 は平面 R^2 上の3点
P_1＝(0,1), P_2＝(1,0), P_3＝(1/2,1/2) を通る。R^2 上の3点 P_1、P_2、P_3 について
P_1∈G_1、P_2∈G_2、P_3∈G_0 だから、R^2上 で直線 y＝-x+1 を原点 を中心にして、
時計回りに π/4 の角だけ回転させると、直線 y＝-x+1 は y＝0 に一致する。R^2の2点
P_4＝(e,e^e)、P_5＝(e^e,e) について、P_4∈G_1 と P_5∈G_2 とは
直線 y＝x について対称である。a＝(1/2)(e＋e^e) とおくと、R^2上の点
P_6＝(a,a) について P_6∈G_0。また、R^2 において、直線 y＝-x+a は3点
P_4、P_5、P_6 を通る。従って、R^2上 で直線 y＝-x+a を原点 を中心にして、
時計回りに π/4 の角だけ回転させると、直線 y＝-x+a は y＝0 に一致する。
b＝-e+e^e,c＝-e^e+e とおく。R^2上 で原点 を中心に、時計回りに π/4 の
角だけ P_4、P_5 を、それぞれ回転させた点は、(1/√2)(2a,b)、(1/√2)(2a,c)
であって、b＝-c。従って、任意の実数 t＞1/2 に対して、e^t∈Q[√2,t] なる
ことと log(t)∈Q[√2,t] なることとは同値である。
694:１３２人目の素数さん
16/05/19 11:53:48.36 Pqn1kI5l.net
(>>673の続き)
[第２段]：今、eが2次無理数であったと仮定する。t＝1 とすると、
確かに log(1)＝0∈Q[√2,1]＝Q[√2] だから、e∈Q[√2]。
e は2次無理数だから、e に対して或る s,t∈Q が存在して、e＝s+t√2。
従って、e－s＝t√2 の両辺を2乗すると、e^2－2se＋s^2＝2t^2 から、
e^2＝2se＋2t^2－s^2＝2s(s+t√2)＋2t^2－s^2
＝s(s＋t√2)＋t(2t＋s√2)
だから、
e＝(1/e){s(s＋t√2)＋t(2t＋s√2)}
＝(1/s+t√2){s(s＋t√2)＋t(2t＋s√2)}
＝s＋t(2t＋s√2)/(s+t√2)。
故に、s+t√2＝s＋t(2t＋s√2)/(s+t√2) から、t√2＝t(2t＋s√2)/(s+t√2)。
ここで、eは2次無理数だから、t≠0。従って、両辺をtで割ると、
√2＝(2t＋s√2)/(s+t√2) から (s+t√2)√2＝2t＋s√2 であり、
e＝s+t√2 から e√2＝2t＋s√2。よって、√2＞1 から 2t＋s√2＞s+t√2
であって、t＋(t－s)＋(s－t)√2＞0 だから t＋(t－s)＋(s－t)√2≠0。
s≠t だから、両辺を s－t で割れば、t/(s－t)－1＋√2≠0 を得る。
s,t∈Q から t/(s－t)－1、は有理数である。また、√2は無理数である。
{1,√2} ベクトル1,√2によって張られる有理数体Q上の線型空間の基底となるから、
1、√2は体Q上線型独立である。従って、t/(s－t)－1、1≠0。
しかし、1≠0 は矛盾する。故に、eは2次無理数ではない。
[第３段]：eは2次無理数ではないから、如何なる
整形式の二次方程式fを取ろうとも、eはfの根とはなり得ない。
695:１３２人目の素数さん
16/05/19 13:39:26.00 aDNH9tMu.net
これ合ってんの？アプローチとしては有りっぽいけど。
696:１３２人目の素数さん
16/05/19 14:00:15.26 neE3NBS2.net
ものすごく解析ビシビシ臭がする…
697:１３２人目の素数さん
16/05/19 19:25:27.83 jFP7lu4f.net
π=(898/777)e を使うと、eは整2次方程式
(777^5)ee -(898^5)e - 777･(898^4) = 0,
の根 2.718280 だよ。
698:１３２人目の素数さん
16/05/20 04:32:17.43 60fwCtwY.net
単純に任意の二次無理数の自然対数が1にならない事なら証明できそうな気がする
699:１３２人目の素数さん
16/05/20 05:58:47.1
700:3 ID:tSKDdOrb.net
701:１３２人目の素数さん
16/05/20 14:18:48.10 DxtciVFL.net
679が証明できれば>>1も証明できるな。二次無理数の自然対数が1にならないということよりも、かならず無理数になる事が示せれば十分かもしれん。
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712:１３２人目の素数さん
16/05/20 19:44:25.76 hCnZr4Pw.net
>>671
eは整4次方程式
{2(7^5)ee -11(5^5)e -49(5^4)}^2－(5^9)(25e +21)^2 = 0,
の根ですね。
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724:１３２人目の素数さん
16/05/21 22:20:54.08 eJklqCNH.net
ここにはまともな数学者は居ないのか？logeは1だぞ！かたや二次無理数の自然対数が整数はおろか有理数な訳が無いだろ。そんな事も証明できないのかよ。
725:１３２人目の素数さん
16/05/21 22:54:07.21 uTTJmuw3.net
間違いを指摘したところで無意味なんだから触りたくないんだよ
726:１３２人目の素数さん
16/06/04 17:12:08.78 5l4Sjrvx.net
この問題の驚くべき証明を得たがここに書き記すには余白が足りなさすぎる
727:１３２人目の素数さん
16/06/05 20:34:26.01 nLt7R2Vq.net
..., cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.
(･･･, to which really wonderful demonstration detected.
Hanc marginis exiguitas non caperet.
(margin is short not contain that.)
728:１３２人目の素数さん
16/06/05 21:30:38.32 YkkvAwGU.net
こいついつもラテン語使ってんな
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16/06/12 22:51:45.16 sddJLSmn.net
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740:１３２人目の素数さん
16/06/13 07:51:16.38 +yaKtlrN.net
この円マークなんの意味があるの？
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16/06/13 23:41:01.93 D+Mp9+Fa.net
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16/06/19 11:00:29.48 yGYKF4H6.net
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16/06/19 22:35:45.95 yGYKF4H6.net
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16/06/20 08:41:16.34 hYDuK+/b.net
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779:１３２人目の素数さん
16/06/29 21:17:40.54 xnYT2GDL.net
>>703
ｅじゃないの
780:１３２人目の素数さん
16/06/30 21:01:37.82 sy+V6Hgj.net
>>15
eが超越数であることの証明
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
781:１３２人目の素数さん
16/06/30 21:20:13.43 sy+V6Hgj.net
ｅのべき（有理数乗）が無理数であることの証明
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
「天書の証明」蟹江幸博(訳)、ｼｭﾌﾟﾘﾝｶﾞｰ東京（2002）にも載ってるらしいよ。
782:１３２人目の素数さん
16/07/01 03:14:51.75 W1hz3vVH.net
高校数学の範囲で二次無理数で無いことだけを証明したいの
783:１３２人目の素数さん
16/07/01 22:21:45.47 Ettw9f9Q.net
高校数学の範囲を超えた数を超越数と云う、わけないか…
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