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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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175:１３２人目の素数さん
12/06/13 20:39:05.70 .net
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177:１３２人目の素数さん
12/06/23 20:10:51.50 .net
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178:１３２人目の素数さん
12/07/01 20:18:01.52 .net
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179:１３２人目の素数さん
12/07/23 07:47:03.95 .net
倫理的でないから不倫。ならば論理的でないのは？
180:１３２人目の素数さん
12/07/24 14:01:42.90 .net
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181:１３２人目の素数さん
12/08/11 15:35:14.76 .net
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182:１３２人目の素数さん
12/08/11 16:21:28.15 .net
キチガイは何とかならないんかね。
183:１３２人目の素数さん
12/08/11 16:54:14.76 .net
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184:１３２人目の素数さん
12/08/27 16:48:20.57 .net
選択公理を用いると証明できるバナッハ＝タルスキーの定理は
「3次元以上の『全ての�
185:x次元においても成り立つ」のに 「2次元ユークリッド平面においては成り立たない」のはなぜですか 2次元の場合でも「円を有限個の部分に分割して組替える事で、同じ面積の 正方形を作ることが出来るのである」とWikipediaにありますが円を分割して ２つの円にすることはできないみたいですね
186:１３２人目の素数さん
12/10/01 01:05:35.66 .net
どうも、「ＥＵＲＭＳ（∋ M_SHIRAISHI氏 ）の理論」のほうが正しいようだな。
例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。そして
ＥＵＲＭＳの言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
こそが、対偶律を正しく捉えてたものと考えられる。
ＥＵＲＭＳの主張する「論理大改革」は、恐らく、世界を席巻することとなろう。
187:１３２人目の素数さん
12/10/07 17:36:34.22 .net
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188:１３２人目の素数さん
12/10/07 18:02:41.64 .net
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189:１３２人目の素数さん
12/10/21 15:54:07.04 .net
>>158
横で聞いていた、とある客が論理学者につっこみを入れた
「全然論理的じゃないな」
「ほう、どこがかね？」
「例えば家が芝刈り機の業者なら芝刈り機があっても広い庭はない」
「芝刈り機がある、とは、芝刈り機を所有する、という意味だ」
「としても、広い庭があるが共同所有のアパート住まいの場合もある」
「広い庭がある、というのも、当人が所有する、という意味だ」
「としても、家は親の遺産で、すでに死去してる場合もある。
生きていたとしても、親では、本人がホモセクシュアルでない
という根拠にはならない」
「・・・」
「さらにいえば、ホモセクシュアルだから子供がいないとはいえない。
単に子孫を残る必要のためだけに女性と交わる場合があるからだ。
したがって、芝刈り機があり広い庭がある一戸建てに住んでいて
さらに妻と子供がいるからといってホモセクシュアルでないとは
いえないわけだ。なぜならそれぞれの推論が全く論理的でないからだ。」
「あなたは一体・・・」
「君がなりすまそうとした論理学の教授だよ」
190:１３２人目の素数さん
12/10/21 16:37:30.65 .net
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレ 馬と鹿と豚ばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
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191:１３２人目の素数さん
12/10/21 16:39:06.56 .net
ε⌒ ﾍ⌒ヽﾌ
（ ( ・ω・） ブヒ、 俺、もらい子だったんだ。ブヒ。
しー し─Ｊ
192:１３２人目の素数さん
12/10/21 16:58:50.09 .net
>>184
企業は一応仕入れた売り物の財産権を保持して
在庫として所有しているところも多いような。
私的所有物として持っている、と言いたかったんだろうけど。
こういうあるかないか微妙な可能性を考えるのって
論理学の特徴というより数学の特徴だよね。
つまり論理とはどういうものであるかというよりも、
研究の主題がどれだけ厳密な推論を許すかの違いだと思う。
193:１３２人目の素数さん
12/10/22 08:23:28.86 .net
コピペにマジレス
カコイイ
194:１３２人目の素数さん
12/10/22 08:36:11.61 .net
158はコピペだけど184はコピペじゃなくて
ちょっと的が外れたレスだと判断しました
195:３３３人目の描 ◆ghclfYsc82
12/10/22 20:36:15.10 .net
描
>アホしかいない
>つまり、増田哲也自身がアホ
>
>しかも増田哲也は性犯罪者であり
>アホの中でも最底辺の者にだけ許される ジ・アホの称号を持っている
>
196:詩織御令嬢様
12/11/27 03:24:31.06 .net
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197:令嬢
12/12/15 18:20:02.78 .net
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
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198:１３２人目の素数さん
13/01/05 17:24:07.27 .net
合理主義を極めると世の中こう見える(´∵)っ感情自己責任論
199:あのこうちやんは始皇帝だった
13/01/05 18:57:10.24 .net
６０代の、無職の、女性恐怖症の、頭デッカチの虚弱児・ひ弱の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
200:１３２人目の素数さん
13/01/05 20:21:29.88 .net
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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201:１３２人目の素数さん
13/01/29 20:14:43.40 .net
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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202:１３２人目の素数さん：
13/02/09 07:38:09.03 .net
宜しくお願い致します。
一階関係記号と一階関数記号の例を探してるのですが
どのうよな例がありますでしょうか?
203:狢 ◆yEy4lYsULH68
13/02/09 09:59:14.59 .net
ワシかてそう願ってるがな。
ケケケ狢
>236 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/05(火) 23:59:06.65
> そうは行きませんよ猫さん。
> 数学板は何度でも甦ります。
>
204:１３２人目の素数さん
13/02/09 18:08:20.05 .net
>>197
ペアノ算術とか実閉体の例に出て来るものを書けば良いんじゃない？
205:狢 ◆yEy4lYsULH68
13/02/09 18:54:24.15 .net
ワシかてそう願ってるがな。
ケケケ狢
>236 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/05(火) 23:59:06.65
> そうは行きませんよ猫さん。
> 数学板は何度でも甦ります。
>
206:１３２人目の素数さん
13/02/09 20:14:43.17 .net
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
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207:１３２人目の素数さん
13/02/11 18:53:19.05 .net
Y=3.87/4.83
@=nY=ZY
"You to KIRISE Equation."
sometimes is unreal simulations.
Unreal has a not Dream.
208:あのこうちやんは始皇帝だった
13/02/11 19:11:47.94 .net
＞＞２０２
２０代の、無職の、ごくつぶしがあああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
209:１３２人目の素数さん
13/02/12 01:28:47.40 .net
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレには馬と鹿と豚さんしかいないのね。
| ` -'＼ ｰ' 人
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210:１３２人目の素数さん
13/02/14 20:21:04.87 .net
マンコ
211:１３２人目の素数さん
13/02/14 20:23:22.34 .net
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212:１３２人目の素数さん
13/02/14 23:39:22.15 .net
第二不完全性定理によると
「１＝０は証明できない」ことは証明できない
となるらしいが、どうもよくわからん。「１≠０」は公理から簡単に出る気がするのだが・・・
213:１３２人目の素数さん
13/02/15 02:33:33.24 .net
K(新記号)=3.87/4.83
@=nK=ZK
"KIRISE Invariable."
1=0.801242236024845
TWO arithmetic operations.
"Fade in/out"
214:１３２人目の素数さん
13/02/15 09:01:32.77 .net
φが証明できることと
not φが証明できないことは別のことだよ
215:１３２人目の素数さん
13/02/15 17:33:20.99 .net
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216:１３２人目の素数さん
13/02/16 01:38:49.18 .net
>>209
そこら辺のことがわかりやすく書かれている本なんかない？
「ゲーデルに挑む」を読んで大体理解したつもりになったんだけど、もやもやして仕方がないorz
217:１３２人目の素数さん
13/02/16 08:16:29.03 .net
いや>>207の疑問が出て来る時点で
大体理解しているとは言いにくいし「ゲーデルに挑む」の
論文本編をちゃんと読めているとも言えない気がする
今度こそわかるゲーデル不完全性定理 (KS理工学専門書)
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
とかが分かりやすいと聞くけど持ってないから良く知らん
218:１３２人目の素数さん
13/02/19 00:00:41.13 .net
>>207
数学セミナー20121年11月号に
「ゲーデルの第２不完全性定理はわからない」江田勝哉
というのがあるよ。
219:１３２人目の素数さん
13/02/20 01:05:38.67 .net
>>213
今日読んだ。俺の疑問は解決しなかったが、なかなか面白かった。
220:１３２人目の素数さん
13/02/20 08:05:54.40 .net
「数学」の「数学基礎論」の書評読んだが
数学の細分野化はついに数理論理内部でも
全分野を把握できないくらいに進んだんだなあ、と思った
221:１３２人目の素数さん
13/05/18 18:51:49.80 .net
【論理力テスト】次の文章は正しいようで実は論理的に間違っています。どこがどうおかしいか貴方は説明できますか→「何度学校を変わってもいじめられるのは、いじめられる側に原因がある証拠だ」…答えは「感情自己責任論」で検索
222:１３２人目の素数さん
13/05/30 12:26:44.93 .net
論理的に間違ってるわけではないよ
後件が真になるような仮説を前件に持ってくれば真になる
要するに総合命題
223:１３２人目の素数さん
13/06/13 17:22:28.59 .net
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224:あのこうちやんは始皇帝だった
13/06/13 19:22:46.11 .net
>>218
無職のクソガキども！ 大変なコトになるな！
憲法改正だ！ ９６条を改正してから、９条を改正する。 そして、何条を改正するか？
１８条だ！ そうして、国家総動員法ができて、オマエたち、無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵だ！
オマエたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！ すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
225:１３２人目の素数さん
13/06/13 19:29:27.39 .net
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227:１３２人目の素数さん
13/06/19 17:47:17.09 .net
>>216
もちろん、「人間」であることが原因の一つなのは当然
同様に「学校に行く」も原因だがな
228:１３２人目の素数さん
13/07/09 NY:AN:NY.AN .net
不完全性定理は原始再帰関数ではないけれど、計算可能関数に入るの？
それとも計算できない証明できないけど真ということになるの？
または全く関係
229:ないの？
230:１３２人目の素数さん
13/07/10 NY:AN:NY.AN .net
いや、不完全性定理はそもそも関数じゃないんで……
何を聞きたいのか分からない。
φ(x):ゲーデル数xの（自然数論の）論理式の、Nにおける真理値
とするときφ(x)は計算可能なの？
とか聞かないと。因みにこれは計算可能ではありません。
231:１３２人目の素数さん
13/07/10 NY:AN:NY.AN .net
閉論理式としないといかんしxがゲーデル数じゃないときの値も決めとかないとダメか
まあいいや
232:１３２人目の素数さん
13/07/11 NY:AN:NY.AN .net
解析数論や幾何学的群論の有効性について数理論理学ではどのような研究があるの？
233:１３２人目の素数さん
13/07/11 NY:AN:NY.AN .net
不完全性定理は閉論理式じゃないの？
234:１３２人目の素数さん
13/07/12 NY:AN:NY.AN .net
>>224もよくわかってないな。
235:１３２人目の素数さん
13/07/14 NY:AN:NY.AN .net
質問なんですけど
∃x（Ax→Bx）が成り立つとするじゃないですか
∃xAx→∃xBxはありですか？
236:１３２人目の素数さん
13/07/15 NY:AN:NY.AN .net
Aとしてx≠0
Bとしてx≠x
が反例
237:１３２人目の素数さん
13/07/15 NY:AN:NY.AN .net
？？？
としての部分の日本語の意味がよくわからないのでもう少しわかりやすく答えてもらえると助かるのですが
238:１３２人目の素数さん
13/07/15 NY:AN:NY.AN .net
∃x（x≠0→x≠x）は成り立つ
（0≠0→0≠0だから）
しかし∃x(x≠0)→∃x(x≠x)は成り立たない
239:１３２人目の素数さん
13/07/15 NY:AN:NY.AN .net
なるほど
わかりました。ありがとうございます
240:１３２人目の素数さん
13/07/16 NY:AN:NY.AN .net
まずは∃xAx→∃xBxは∃xAx→∃yByと等価だということを理解した方がいいね。
束縛範囲が違えば同じ記号でも意味が違ってくるから。
241:１３２人目の素数さん
13/07/17 NY:AN:NY.AN .net
>>233
それとは違う話じゃない？
242:１３２人目の素数さん
13/07/17 NY:AN:NY.AN .net
>>233
聞きたかったのはそれでした！！
うまく疑問が言葉に表せなかったので遠回しな聞き方になってしまいました
243:１３２人目の素数さん
13/07/19 NY:AN:NY.AN .net
>>228
∃x（Ax→Bx）は￢∃x（￢Ax→Bx）を含意しない
244:１３２人目の素数さん
13/07/30 NY:AN:NY.AN .net
声優スレにこんなことが書いてあった
【彼氏できた】って”言わない”のと
【彼氏いない】って”言う”のは全く別の意味だからな
245:１３２人目の素数さん
13/07/31 NY:AN:NY.AN .net
>>228
∃x（Ax→Bx）が∀x（Ax→Bx）だったらいえるけどな
246:１３２人目の素数さん
13/08/07 NY:AN:NY.AN .net
数学基礎論を学ぶにはどこの大学がいいのだろう
247:１３２人目の素数さん
13/08/07 NY:AN:NY.AN .net
文系の私でも大学で論理学を学べますかね？
論理学で単位を取ってみたいです。
248:１３２人目の素数さん
13/08/09 NY:AN:NY.AN .net
論理学なんてamazonや公立図書館で入手できる本を自習してわからない所を著者に聞けば勉強できます
249:１３２人目の素数さん
13/08/11 NY:AN:NY.AN .net
本も買わずに著者に聞くとか……
250:１３２人目の素数さん
13/08/11 NY:AN:NY.AN .net
俺やったこと無いから分らないけど
著者にメールしたらほとんどの場合分らないところ教えてくれるの？
251:１３２人目の素数さん
13/08/11 NY:AN:NY.AN .net
むかし国文学の大先生に手紙で問い合わせをしたら先生の著作に付箋を沢山つけて
送ってくださったことがある。
252:１３２人目の素数さん
13/08/17 NY:AN:NY.AN .net
論理学だけ学んでもあまり面白くないと思う
人工的な定義ばかりだし
253:１３２人目の素数さん
13/08/19 NY:AN:NY.AN .net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
大学の今期のテスト問題だったのですが、解答もなく結局分からずじまいでした。
どなたか解説お願いします。
第一不完全性定理関連の問題です。
254:１３２人目の素数さん
13/08/19 NY:AN:NY.AN .net
Basicは
∀x￢( suc(x) = zero )
∀x∀y(( suc(x) = suc(y) ) → ( x = y ))
∀x( x + zero = x )
∀x∀y( x + suc(y) = suc(x + y) )
∀x(x × zero = zero )
∀x∀y (x × suc(y) = (x × y) + x )
∀x￢( x < zero )
∀x∀y(( x < suc(y) ) ⇔ (( x < y ) ∨ ( x = y )))
∀x∀y((( x < y ) ∨ ( x = y )) ∨ ( y < x ))
上の9つの論理式からなる集合で、suc(x)= x + 1と解釈します。
標準モデルとはBasicの標準ストラクチャーと同義のようです。
また、計算可能という言葉については
「自然数全体の集合Nの部分集合Sが計算可能であるとはSに属するか否かを判定するアルゴリズムが存在することである。」
と習っています。
他に不十分な説明がありましたら教えてください…
255:１３２人目の素数さん
13/08/19 NY:AN:NY.AN .net
(4')→(4)なので(1),(2),(3),(4')をみたすΓは(4)も満たします。
(4'')についてはBasicの公理である9個の式のそれぞれが
そもそも恒真であるかどうか考えてみると良いでしょう。
(4''')については排中律がヒントになります。
いずれにせよ、Basic以外のΓを考える必要は出て来ない問題です。
256:１３２人目の素数さん
13/08/19 NY:AN:NY.AN .net
>>248
ありがとうございます。
糸口が見つかりました。
257:１３２人目の素数さん
13/09/05 00:29:14.95 .net
Set Theory: an Introduction to the World of Large Cardinals
URLﾘﾝｸ(scandinavianlogic.org)
258:１３２人目の素数さん
13/09/14 23:19:10.85 .net
圏論とスペンサーブラウンの関係って？
259:１３２人目の素数さん
13/09/15 18:41:06.86 .net
あったなー なつい
260:１３２人目の素数さん
13/09/23 16:45:54.76 .net
ゲーデルの不完全性定理と完全性定理を
組み合わせると、発狂する。
いや、別に矛盾はしないがね。
「矛盾の証明が存在する」という命題が
真となるモデルがある、というだけのことだが。
これだけでもナイーブな奴を発狂させるには十分だ。
実際には「矛盾の証明が存在する」という命題が
文字通りに表現されていないということになる。
で、その場合、文字通りの表現とは何だ、と考えると
・・・やっぱり発狂する。やはり無限は恐ろしいｗ
261:１３２人目の素数さん
13/09/23 23:44:06.13 .net
ゲーデルの完全性定理は完備性定理とかの別の名前の方が良かった気がする。
いまだに混乱するわ。
262:１３２人目の素数さん
13/09/24 00:49:04.56 .net
逆に不完全性定理の方を不完備性定理と訳した本なら昔あった
263:１３２人目の素数さん
13/09/30 23:38:17.69 .net
>「矛盾の証明が存在する」という命題
どんな無矛盾な体系Aにも、「体系Aが矛盾していることがAにおいて証明可能で
ある」という命題を真とするモデルが必ず存在する
264:考える人
13/10/03 23:31:03.32 .net
では解説しましょう。
完全性定理とは、
|= φ ←→ |- φ
第一不完全性定理とは、
Ｎ |= φ ← PA |- φ （右向きの矢印が成り立たない）
という状況をあらわしている。
265:緩募
13/10/03 23:39:20.84 .net
すみません、以下のようなものを探しているのですが存在するんでしょうか？
・atomlessとseparativeのうち
片方が成り立って片方が成り立たないようなブール代数
・完備ブール代数に埋め込めないようなブール代数
266:１３２人目の素数さん
13/10/04 21:27:10.26 .net
>>246
いずれの場合もそのようなΓは存在しない。
（理由）(4')は(3)と矛盾。(4'')は(4)と等価。(4''')も(4)と等価。
ではないかな？
267:１３２人目の素数さん
13/10/04 23:26:24.32 .net
>>258
Comodo理論のΣバウンドとかエレフィスブール硬度が有名
ツァリスの結果でググってみ
268:１３２人目の素数さん
13/10/05 06:02:32.48 .net
また例の人か
269:１３２人目の素数さん
13/10/05 15:34:27.92 .net
フェルマーの最終定理を崩すスレ
ｽﾚﾘﾝｸ(archeology板)
270:１３２人目の素数さん
13/10/05 19:49:36
271:.40 .net
272:１３２人目の素数さん
13/10/05 20:22:32.30 .net
>どんな無矛盾な体系Aにも、「体系Aが矛盾していることがAにおいて証明可能で
>ある」という命題を真とするモデルが必ず存在する
Con(A) → ∃M( M |= [A |- [A |- φ∧￢φ]] )
論理式のが読みやすい＾＾
273:１３２人目の素数さん
13/10/14 23:27:56.40 .net
論理学がさっぱりわかりません。
なにがわからないのかつきつめていった結果、
「無矛盾である」という言葉の意味が分かっていないことを認識しました。
これじゃ不完全性定理を理解するところまで進めませんね。
274:１３２人目の素数さん
13/10/15 20:33:09.38 .net
>>265
直観主義的なアレ？
275:あのこうちやんは始皇帝だった
13/10/15 20:44:30.67 .net
>>266
コイツ、２０代の、無職の、女性恐怖症の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
無職のクソガキども！ 大変なコトになるな！
憲法改正だ！ ９６条を改正してから、９条を改正する。 そして、何条を改正するか？
１８条だ！ そうして、国家総動員法ができて、オマエたち、無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵だ！
オマエたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！ すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
死にゆく、クソガキどもに、大伴家持の詩を贈ってやろう！
海行かば 水浸く屍 山行かば 草むす屍 大君の 辺にこそ死なめ かえりみはせじ！
276:１３２人目の素数さん
13/10/15 20:59:37.80 .net
コイツ
277:265
13/10/15 21:15:27.80 .net
なんか変なの呼んじゃった？
だれか「公理系が無矛盾である」の意味を教えてくれー
278:１３２人目の素数さん
13/10/15 21:34:43.44 .net
無矛盾とは、φと￢φの両方が証明可能になるようなφが無いことだよ
だいたいどんな教科書にも書いてあると思うけど
279:265
13/10/15 22:01:56.78 .net
>>270
範囲がわからないんですよ。
存在するとかしないとかって、考える範囲を決めておかなきゃ意味がはっきりしないじゃないですか。
２乗して-1になる数があるかって問いと一緒だと思うんですが、
いったいどういう範囲で考えてるのか、わけがわからなくなっちゃう。
280:１３２人目の素数さん
13/10/15 22:04:35.95 .net
>>271
君、定義をきちんと追わずに勘で理解しようとするタイプ？
281:１３２人目の素数さん
13/10/15 22:13:45.08 .net
定義を追わないどころかステートメントも読まないタイプとみた
282:１３２人目の素数さん
13/10/15 22:20:25.73 .net
φはその公理系の「言語」で書かれた論理式のどれかだよ
だいたいどんな教科書にも書いてあると思うけど
283:１３２人目の素数さん
13/10/15 22:27:30.62 .net
つまり
Ａ＝Ｂと￢Ａ＝Ｂが両方証明されたらおかしいだろう
とはいえ、これは古典論理の場合のみ
パラコンスタント論理では両方証明できるのに矛盾しているとはいわない
他のみエリアツィヒンの補題とかカイラル三重奏みたいな現代論理の応用では
非分岐世界を連脱結合することで全図式を得ようとしているから
矛盾そのものは不要になってくる・・・ケラスの流体構成とかもそうだしね
284:１３２人目の素数さん
13/10/15 23:07:47.08 .net
>>272,273.274
定義もステートメントも読んでるんですが？
> 公理系の「言語」で書かれた論理式
の範囲が明確にわからないって話ですよ。
285:１３２人目の素数さん
13/10/15 23:15:14.95 .net
初学者のために言っておくと>>275は無視してよいからね
286:１３２人目の素数さん
13/10/15 23:26:50.55 .net
すんません。>>265＝>>276です。
>>275の3行目以降は意味不明でした。なので自動的に無視。
教科書では、まずatomic論理式から始まる￢と∨と∃の組み合わせによる構成が書かれています。
というか、それしか書いていないという印象です。
287:１３２人目の素数さん
13/10/16 00:34:01.78 .net
それについては曖昧なままで我慢していてくれ。
288:１３２人目の素数さん
13/10/16 01:16:41.74 .net
>278
規則に従って生成できる論理式全ての集合が言語の範囲だけど……どの辺りが明確に判らない？
289:１３２人目の素数さん
13/10/16 01:24:41.18 .net
>>278
ちゃんとかいてあるじゃん
そこにかいてある手順で構成した記号列だけがその言語における論理式
自由変数を含まない論理式の集合が、公理、または理論
公理から推論規則を適用して、○○という論理式がえられたら、それはその公理で証明可能ってこと
「○○」と、「￢○○」の両方とも、公理から推論で得られるとき、その理論は「矛盾している」
矛盾していないとき、「無矛盾」
290:１３２人目の素数さん
13/10/16 01:27:40.55 .net
（念のため補足）
矛盾する文が存在しないとき、「無矛盾」
矛盾する文が一つでも存在したら、「その理論は矛盾する」
291:１３２人目の素数さん
13/10/16 06:41:57.23 .net
>>280
論理式全ての集合が限定されてない点です
>>281
公理から推論で得られないかどうか確定するんですか？
>>282
存在する、存在しない、という対象の存在範囲が明確でないのでは？
292:１３２人目の素数さん
13/10/16 08:42:30.69 .net
>>283
>>280についてのレスがよくわからない
通常与えられた文字列が論理式かどうかが機械的に判定できる体系を扱うものだからね。
293:１３２人目の素数さん
13/10/16 10:03:03.59 .net
「証明体系」と「言語」と「論理式」がどういう関係になってるか混乱してるってことでしょう
まず「言語」ってのは
記号の集まり、◎や★でも何でも良いけど
普通は ∧ ∨ ￢ Ｒ ｆ ｘ （ ）などを使う
このＲとかｆは好きな数だけ入れれば良い
これらの記号をでたらめにつなぎ合わせると無数の記号列ができる
∧￢￢Ｒｆ とか ∨）￢ とか長さはいくらでも良い
そしてその中から論理式ってのを認定して選びだす
それが本に書いてある論理式のルールね
例えばＡとＢが論理式ならＡ∧Ｂも論理式とか
ちなみに当たり前だけど論理式に入ってる記号は言語にあるものだけね
そして今度は証明体系Ｈっていう公理と推論規則を定義する
推論規則ってのは例えばＡ∧ＢならばＡという論理式がＨで証明できますよってな形のもの
んで公理ってのは推論規則があっても一番はじめの論理式がＨになくちゃはじまらないから
何個か適当な論理式いれときますってこと
でＨから証明可能なのは何個か入れた公理と、それからを推論規則で出せるものね
このときＨを変な風に設定してみる
例えば当たり前だけど、公理にＲと￢Ｒを入れちゃうとＲも￢Ｒも証明できますってことになる
これを矛盾って定義しようってなってる、こうならないなら無矛盾なんだよ
ではなんでＲと￢Ｒが両方とも入ると無矛盾なのかっていうと
Ｒには「素数は無限個ある」とかを入れようとして論理体系ってのは作られることが多いからなんだ
「素数は無限個ある」と「素数は有限個である」が同時に証明できるＨは使い物にならないでしょ？
もちろんそういう体系も作り出せて矛盾許容論理ってよばれてる
294:１３２人目の素数さん
13/10/16 12:38:36.85 .net
>>283
>論理式全ての集合が限定されてない点です
あらかじめ決めた構成法で得られる形に、なっているか、なっていないかは
記号列の形を見れば、機械的に判定できるよ。別の言い方だと「アルゴリズムが存在する」
もちろん、「カッコの省略」とか「可読性のための置き換え」を復元して判定するんだよ
それが「帰納的に定義するっ」てこと
その本にも書いてあるとおもうけど・・・
295:１３２人目の素数さん
13/10/16 12:55:36.23 .net
>存在する、存在しない、という対象の存在範囲が明確でないのでは？
何度もいうようだけど、「範囲」は明確
公理から推論規則を適用して得られる命題（定理）全体を、いま仮に「定理集合」と呼ぶことにすると
この「定理集合」に中に、○○と￢○○という『形』のものが存在するかどうかを判定する
だから、まず、この「定理集合」を
296:構成していく様を頭の中でイメージすることから始めてはどうかな？
297:１３２人目の素数さん
13/10/16 13:08:21.83 .net
もちろん、逆に
ある命題をぱっと提出されて、「これはこの理論の定理？」と聞かれた場合に
判定できるかどうかは別問題
何しろ定理集合は無限にあるから、一つ一定理集合の元と比べていくやりかたなら
当然、「いつおわるかわかんない」
ただし、「証明できる」か、「証明できない」かのどちらかは成り立っている
と考えるのが普通の立場（直観論理の人ならみとめないでしょうね）
>公理から推論で得られないかどうか確定するんですか？
に対する答えは、「決まっているという立場をとる」じゃないかな
もちろん、実際に証明を構成してみせるアルゴリズムがあるかどうか、は別の話し
298:１３２人目の素数さん
13/10/16 13:54:07.81 .net
念のためにいっておくと
「この理論からはAは証明できない」と「この理論からは￢Aが証明できる」は
全く別な言明なので、混同しないように
ただし、理論が「無矛盾」かつ「完全」なら、両者は同じ意味になる
299:１３２人目の素数さん
13/10/16 15:05:12.15 .net
>>288
初学者に対する答えとしてはアラが目立つ。
ズルいけど「実はややこしいこと」はサラッと述べるのが最善。
300:１３２人目の素数さん
13/10/16 20:17:23.53 .net
>>290
やって見せてくれないか
301:283
13/10/16 21:02:10.72 .net
みなさんレスどうもです。
>>285
おっしゃっていることは全部クリアです
>>284,286
与えられた記号列についての判定ができることはクリアです
>>287
その「定理集合」の存在証明が欲しいです
>>288,289
おっしゃっていることは全部クリアです
与えられた記号列が論理式になっているかや、与えられた証明が本当に証明になっているか、
の判定が機械的にできる点は理解しているつもりです。
問題は「無矛盾」もそのようにクリアに理解できるか、ですね。
302:１３２人目の素数さん
13/10/16 21:34:35.42 .net
まず、与えられた公理系が矛盾しているか無矛盾かは
（一般には）機械的に判定できないよ。
まずその点で、ある文字列が論理式かどうかや、
或る証明が正しいかどうかの判定（これらは機械的にできる）とは決定的に違う。
機械的に判定できないけど普通は、人間の判断の
必ずしも及ばないところでどちらかに定まっていると考える。
それから、定理全体の集まりとか論理式全体の集まりの存在証明が欲しいということだが、
当然のことながら、メタ数学だろうがただの数学だろうが
無からは何も証明できない。何かを証明するには、何か証明不要の前提が要る。
無限のモノの集合の存在を言うにはそれなりの前提を無条件に認めることが必要になる。
303:１３２人目の素数さん
13/10/16 21:57:41.64 .net
有権の立場
304:１３２人目の素数さん
13/10/16 21:58:33.77 .net
有限です＞＜
305:283
13/10/16 22:15:18.40 .net
>>293
最初の4行はわかります。
中段の2行についてですが、あまり関わりたくない部分です。ちょっと哲学ぽくて。
そういう議論がなくても数学はできるでしょ。
後段ですが、「それなりの前提を認めることが必要」とのことですが、前提があるってことは、
それが成り立つ場合と成り立たない場合の両方を考えられる、でいいですか？
306:１３２人目の素数さん
13/10/16 22:26:29.25 .net
どうぞ勝手に考えてください
307:１３２人目の素数さん
13/10/16 22:46:28.29 .net
>>296
> 前提があるってことは、それが成り立つ場合と成り立たない場合の両方を考えられる
論理的でなかなか結構ｗ
そりゃもちろん両方考えられるさ。
前者では議論できることが後者では議論できなくなるってだけだよ。
308:１３２人目の素数さん
13/10/16 22:48:10.82 .net
言っちゃなんだが、論理式全体の集合が確定していない気がするとかいうのも
同じくらい哲学っぽい話だよ。
309:283
13/10/16 23:10:10.85 .net
>>299
ちょっと言い直させてもらいたいんですが、
気がする／しない、とか思う／思わないといった議論を避けたいんです。
>>287さんが、「範囲は明確だ。定理集合だ」と言うんで、その存在を認めるための
根拠を求めてるだけです。
310:１３２人目の素数さん
13/10/16 23:20:49.91 .net
堂々
311:巡りじゃん、ルイスキャロルのあれじゃないんだから はいもうこの話おしまい
312:１３２人目の素数さん
13/10/16 23:21:56.25 .net
論理式の集合といった場合に、
実際に論理式をすべて列挙してないのにそんなことが言えるのかという疑問だろうか。
「論理式全体の集合」ってのはイメージしやすいようにするための言葉くらいに思ったほうがよい。
実際は「論理式とは～～」という定義があって、
「記号列が論理式の定義をみたす場合は、～～～」といったように言い換えられる話だから。
313:１３２人目の素数さん
13/10/16 23:35:29.05 .net
数学では、たとえば
「自然数 n に対して、それが偶数なら 2 で割る、奇数なら 3 倍して 1 を足す、
という操作を繰り返す。このとき有限回の操作で 1 になる
自然数 n の集合を M （⊂ N）とする」
みたいな無限集合の定義は普通に出て来るけど、
>>283はそもそもそういう無限集合の存在を認めない人？
314:283
13/10/16 23:47:48.45 .net
>>301
堂々巡りって、根拠が出てくれば終わる話なんですよ。
>>303
数学での無限集合は認める認めないとかいう議論の対象じゃないですよ。
ここでの話とは無関係だと思いますが。
315:１３２人目の素数さん
13/10/16 23:55:56.00 .net
「論理式全ての集合」というのは認める認めないという議論の対象なの？何で？
316:１３２人目の素数さん
13/10/17 01:08:19.69 .net
>>305=303？
認める認めないという議論の対象というか、公理等のルールで認めているわけではなく、
かといって存在証明があるでもないから、
317:１３２人目の素数さん
13/10/17 02:01:45.81 .net
>>306
まあ、確かにそうだな
至極その通りだけど、俺は数学やるのに困ってない。
318:１３２人目の素数さん
13/10/17 02:10:10.19 .net
>304
論理式全ての集合は、自然数全ての集合と同じぐらいの確かさだよ。
ゲーデル数調べるよろし。
319:１３２人目の素数さん
13/10/17 05:53:35.77 .net
まあメタ数学でどの程度集合の言葉を使ってもよいかは
人によって考えが違うけど、公理系の無矛盾性を定義するのに
無限集合の存在は必須ではないし、
「論理式」というのも範囲が充分明確に定まっていると考える人が殆どだと思う
例えば、ある性質 P が
(1)原子論理式に対して成り立つ
(2)長さ n の論理式で成り立てば長さ n + 1 の論理式に対しても成り立つ
を満たせば当然全ての論理式に対して成り立つし、誰もがそれを認めるわけだが、
こういう一見明らかな性質だって、よくよく考えると
公理等のルールで認めているわけではなく、かといって証明があるでもない。
320:１３２人目の素数さん
13/10/17 06:33:26.99 .net
>>307
根拠のない事柄を認めようが認めまいが、数学やるのに困らないようにできてる、って重要なことですね。
>>308
自然数すべての集合と同じくらい根拠なし（思い込みに過ぎない）、ってことですよね。
で、存在を信じなくても別に困らないと。
>>309
無限集合を認めなくても無矛盾性を定義するのに困らなければそれでいいんですが。
できますかね？
321:１３２人目の素数さん
13/10/17 07:19:15.78 .net
数学で出て来る無限集合は
認める認めないとかいう議論の対象じゃない、
ここでの議論と関係ないとか言っておきながら
論理式すべての集合は自然数全ての集合と同様に根拠が無い、
思い込みに過ぎないとか言い出したら言ってる事変わってるよ
考えている論理式の範囲なんて>>278で書いている
「atomic論理式から始まる￢と∨と∃の組み合わせによる構成」
がほぼ全てなんだから、この部分を無視したらそりゃ意味分からなくなる
322:１３２人目の素数さん
13/10/17 11:35:19.21 .net
>>310
教わるふりをして教えてやろうとする愚か者だったか。
323:１３２人目の素数さん
13/10/17 20:42:38.89 .net
田中さんの数学基礎論講義の述語論理のドメインのところにも
集合をだすのはおかしいと思うが出さなくてもできることはできるとあったような気がする
証明論的意味論使えばいいんだけど
便宜的にでも集合とかを使いたくないなら
林さんの数論論理学とか論理学をつくるみたいな本で勉強すればよい
集合論は場合分けとか論理的な複雑さを避けるために使っているだけであまり関係ない
324:１３２人目の素数さん
13/10/17 23:23:22.83 .net
>>311
数学で出てくる集合は始めから抽象�
325:T念だし、あると仮定しての理論じゃないですか。 あると仮定していろんな性質や派生概念が導けるって話で。 もし無いというなら、それらの性質や派生概念も一緒に無かったことになるだけ。 「認める認めないの議論の対象じゃない」は、認めようが認めまいが好きにすれば いいって意味です。 また言ってる事変わってるように見えたらごめんなさい。 これに対して有限の論理式の集合や無矛盾性は素朴で具体的な概念です。 無矛盾性の問題が「すべての論理式の集合」の存在に依存するんなら、その存在証明が欲しい。 そうでなく、「すべての論理式」という概念を使わない定義があるならそれが欲しい。 >>312 教わるも教えるも別に一方通行の関係じゃないよね
326:１３２人目の素数さん
13/10/17 23:27:33.42 .net
>310
>自然数すべての集合と同じくらい根拠なし（思い込みに過ぎない）、ってことですよね。
根拠なしというのは間違い。自然数がペアノ公理で定義されているのと同様に、
論理式（言語）も再帰的定義(>278)で定義されているよ。
再帰的定義を認めない立場なら自然数も論理式も根拠無しになるけど、
そんな立場の人間と論理学の話はできないわな。
327:312
13/10/18 00:01:54.58 .net
>>314
教わる「ふり」をしてる奴は一方向。
328:１３２人目の素数さん
13/10/18 00:07:25.65 .net
>>314
無矛盾の定義で、証明出来ない論理式があること、というのもあるね。
矛盾してたら全ての論理式が証明出来ちゃうのを利用した定義。
329:１３２人目の素数さん
13/10/18 00:08:19.94 .net
「平家でないものは人ではない」が
平家でない有象無象全ての集まり X の存在を仮定しなくても
意味が分かるのと同じで、無矛盾の定義も「論理式全てを一つに集めたもの」
それ自体に言及はしてない。
集合自身に対して合併や冪集合や分出などの操作を加えるわけじゃない。
それに矛盾、無矛盾の話に限って言うと
「φかつ￢φが証明可能」はφにどんな命題を入れても同値だから、
たとえば具体的に
(A) 0 ＝ 0 かつ 0 ≠ 0
だと思っても良い。つまり無矛盾⇔「 0 ＝ 0 かつ 0 ≠ 0 が証明可能でない」。
メタ数学的な議論で、～が存在する、
というときの量化の意味がきちんとしてない、とか言いたそうにも見えるがそれにしても
「ある論理式が存在して～～」というような
量化は認める立場がほとんどだと思う。こういう命題を認めないというのは、
任意の、とか存在する、というような言い回し全般を認めないとか、
形式的な論理式自体を認めないとか、そういう相当ラディカルな立場に近い。
330:１３２人目の素数さん
13/10/18 00:11:30.59 .net
>>315
いろいろ省略して考えてるでしょ？
再帰的定義を認めてるよ。
すべての自然数が定義されているのも認める。
「すべての自然数について○○」というのも明確な意味のある言葉だと認めます。
でも「自然数すべての集合」はそれとは別ものですよ。
ペアノ公理では言及してませんよ。
>>312
> 教わるふりをして教えてやろうとする
>>316
> 教わる「ふり」をしてる奴は一方向。
「教わるふりをしつつ教えてやろう」という２方向性を非難してるのかと思ったら、今度は「一方向」という主張か？
331:１３２人目の素数さん
13/10/18 00:16:01.94 .net
>319
集合がいやだったらクラスでも何でも良いよ。
便利だから使っているだけで集合であることに必然性はない。
>313の通り。
332:１３２人目の素数さん
13/10/18 00:18:40.42 .net
なんかレスが錯綜してるな
333:１３２人目の素数さん
13/10/18 00:33:14.94 .net
論理式全体についての集合はただの共通認識でしかなく文字によって定義されていない、ただの思い込みだ
ってことを言いたいだけのように見えてきた
ただそれが思い込みだとしても無矛盾性はみんな理解してる
亀がアキレスに言ったこと、ってわけだわなは
334:１３２人目の素数さん
13/10/18 00:39:23.11 .net
>>318
難しいので第１段についてだけ。
「平家」の意味が明確だとして、「平家でないものは人ではない」自体は意味が明確ですね。
でも、「人のいない国」って概念になったらどうでしょうね。人も国も無限にあるんですよ。
>>320
集合とかクラスが「いや」とかぜんぜん言ってません。
すべての自然数について言及しているペアノの公理系が「すべての自然数の集合」について
言及しているわけじゃないと言っただけです。
335:１３２人目の素数さん
13/10/18 00:49:09.99 .net
>>323
「人も国も無限にある」っていうのはまずいな
本当に無限の意味がわかってないって思われるよ
国も人間も、有限でしょ、どう考えても
多分、未来を考えても有限
いずれ人類なんていなくなるのはほぼ確実だし
336:１３２人目の素数さん
13/10/18 00:58:17.71 .net
１階述語論理は自然言語と正確に一致しないよ
現実に存在しない概念や成り立たないことが論理的に成立したりする
そこらへんを調整するために記述論理とか信念とか知識とかエージェントとか
メンタルスペースとか新しい形式化が試みられていて未解決問題もかなりある
337:１３２人目の素数さん
13/10/18 01:09:58.96 .net
>>325
何に対するレス？
324にだったら
じゃあ、人や国が無限に存在することをその論理でしめして見せてよ
324に対するレスじゃないなら、無視してください
338:１３２人目の素数さん
13/10/18 01:57:55.97 .net
嘉田勝URLﾘﾝｸ(www.mi.s.osakafu-u.ac.jp)
この人って有名な研究者なの？この人の『論理と集合から始める数学の基礎』って入門にはどうですか？
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)
339:１３２人目の素数さん
13/10/18 02:35:22.26 .net
>323
>集合とかクラスが「いや」とかぜんぜん言ってません。
じゃあ話を戻すか。
>292の通り、任意の記号列についてその記号列が論理式に属するか属しないかを
決めることができるのならば、論理式となる記号列を集めた集合を考えることができるよ。
論理式の集合が根拠無しというのならば、そもそも集合の定義を認めていないか、
あるいは>292を理解していないかのどちらかになりそうだね。
340:１３２人目の素数さん
13/10/18 06:33:59.13 .net
>>328
典型的な誤解だと思います。
集合論やそれをベースにした数学理論が理論として有効であることを認めています。
でも公理と推論規則から定理を導き出すゲームの一種であって、現実とは無関係。
集合論の主張が現実に適用できるかは、個別に検証が必要。
あなたが言ってるのは、集合論を認めるなら現実にも適用しろ、という事らしいけど、
それはちょっと乱暴。
341:１３２人目の素数さん
13/10/18 06:48:47.54 .net
24 ： テンプレよろ[sage] 投稿日：2011/10/04(火) 21:05:00.04
●命題論理
命題論理記号：￢,∧,∨,→,⊥(～でない,かつ,または,ならば,矛盾する)
原子命題：a,b,c... ※a＝「1+1＝2」,b＝「2は素数」など。
原始命題は命題。a,bが命題のとき￢a,a∧b,a∨b,a→bは命題。
真理値関数V：命題aが真ならf(a)＝1,偽ならf(a)＝0とする。
aが原子命題のときV(a)＝f(a)
V(￢a)＝1⇔V(a)＝0
V(a∧b)＝1⇔V(a)＝1かつV(b)＝1
V(a∨b)＝1⇔V(a)＝1またはV(b)＝1
V(a→b)＝1⇔V(a)＝0またはV(b)＝1
Vは一意に存在。トートロジーとは任意のVでV(a)=1となる命題a( |＝ a と書く)。
|＝ a→(b→a)
|＝ (a→(b→c))→((a→b)→(a→c))
|＝ (￢b→￢a)→(a→b)
上の3つのトートロジーを公理と呼ぶ、まとめて理論と呼ぶ(集合Tや{a}と書く)。
理論Tのすべての公理を1にする関数Vが命題pを1にすることを T |＝ p と書く。
公理は定理。a→bとaが定理ならbも定理。(MP,三段論法,cut等と呼ぶ)
aが定理ならaは証明可能( |― a と書く)。
有名なトートロジー： |＝ ￢a→(a→b), |＝ ￢￢a→a
演繹定理：T∪{a} |― b ⇔ T |― a→b
命題aとbで |― a→b∧b→aならaをbに書換え可能でa≡bと書く。
a→b≡￢a∨b,￢a∨￢b≡￢(a∧b),⊥≡￢(a→a)など。
T |― ⊥ のときTは矛盾すると言う、そうでないなら無矛盾。
T∪{￢a} |― ⊥ ⇔ T |― a 。
命題論理の完全性定理：|＝ a ⇔ |― a
命題論理のコンパクト性定理：
理論Tの任意の有限部分集合Aの全命題を1にする関数が存在⇒Tの全命題を1にする関数が存在。
命題論理のコンパクト性定理⇔離散位相�
342:ﾌ入った位相空間{0,1}^Nがコンパクト。
343:１３２人目の素数さん
13/10/18 07:03:17.35 .net
>>323「どうでしょうね」じゃなくて自分で無意味であることを人に説明しないと。
なんだか最初から「無限個のものに言及するような命題は無意味だ」というのは
自明だとでも考えてるようだけど全然そんなことないし。
だいたい>>323の言うとおりにやると「リンゴは赤い」だって
可能的なリンゴは無限個あるんだから全てのリンゴの集合が存在しない以上無意味な文だ、
とかいうことになりかねんし
それにペアノ算術のような自然数論は集合論とは事情が違う。
ゲームの一種であって、∃n P(n)がペアノ算術で証明できることと、
現実に1、2、3、と順番に調べていったときにどこかで
P(n) が成り立つ n が見つかることは無関係だ、と言うのは乱暴すぎる。
論理式は自然数でゲーデル数化できるから、良く分からない無限集合を使ってる訳じゃない。
344:１３２人目の素数さん
13/10/18 08:16:14.56 .net
>>319
>>312
> 教わるふりをして教えてやろうとする
>>316
> 教わる「ふり」をしてる奴は一方向。
「教わるふりをしつつ教えてやろう」という２方向性を非難してるのかと思ったら、今度は「一方向」という主張か？
「教わりながら教える」なら2方向だけど
教わるふりをして教えてくれた人の言葉にケチをつけて自分の考えを通そうとしてるだけだから1方向
345:１３２人目の素数さん
13/10/18 19:13:12.81 .net
関連するＰＤＦはっとくわ
URLﾘﾝｸ(ac-net.org)
わからないことがあったら聞いていいよ
今は２４階述語論理やってる
きれいな対称性があるんだよね、この論理って
346:１３２人目の素数さん
13/10/19 09:17:59.22 .net
>>329
集合論を現実に適用するのを認めないのは自由だ。
「論理式全体の集合の存在証明」を求めるのも自由だ。
それで公理系の無矛盾性概念は変わらないと思ってるの？
>>314も君だろ？よく読むとおかしいよ。
347:１３２人目の素数さん
13/10/19 10:32:37.93 .net
上にもあるように、証明出来ない論理式が存在すれば無矛盾、とすれば論理式全体の集合は出てこない。
348:１３２人目の素数さん
13/10/19 12:26:16.86 .net
>>334
公理系の無矛盾性概念は変えたくないですよ。変わっちゃおかしいでしょ。
>>329=>>314ですけど、どの箇所がおかしいんですか？
>>335
証明できない=>証明がどこにも存在しない
論理式が存在=>論理式がどこかに存在
という解釈になってしまい「どこかに」じゃ定義として認められないとなれば、
確定した全体として集合概念が結局は必要になってしまうんじゃないかと思います。
349:335
13/10/19 12:38:29.50 .net
>>336
要らない。ある体系で証明できる式はこれこれこういう性質を持っている、ということが示せて、
その性質を持たない式を構成できれば無矛盾であることがわかる。
350:１３２人目の素数さん
13/10/19 13:35:37.66 .net
>>337
それって判定方法を示して用語を定義するやり方ですよね。
その場合いつか終わる判定方法じゃないとだめじゃないですか？
構成できればその瞬間に無矛盾であることはわかる。
いつまでたっても構成できれなければ判定は（一般には）永久に下せない。
351:１３２人目の素数さん
13/10/19 14:09:00.15 .net
>>338
私は>>336に答えただけだ。付随する事は自分で考えるか別の人にきいてくれ。
352:１３２人目の素数さん
13/10/19 14:27:46.22 .net
>>336
>>314で言ってる↓
> これに対して有限の論理式の集合や無矛盾性は素朴で具体的な概念です。
> 無矛盾性の問題が「すべての論理式の集合」の存在に依存するんなら、その存在証明が欲しい。
> そうでなく、「すべての論理式」という概念を使わない定義があるならそれが欲しい。
すべての論理式の集合よりも無矛盾性の方が素朴な概念と決めつけてるようだが？
353:１３２人目の素数さん
13/10/19 14:46:21.20 .net
>329
>集合論を認めるなら現実にも適用しろ
何か勘違いしとりゃせんかな。そんなことは言ってないよ。
論理式の集まりとかの話をするんだったら集合論の枠内で話をした方が楽だから
そうしているだけだよ。集合の定義を認めない立場での議論もあるだろうけど、
そんなのは面倒なのでやりたくない。
無矛盾性を扱うならどのみち論理式全体を扱わなきゃいけないんだしね。
>313は未読だけどそういった議論はあるわけだし、そっちで勉強したら？
>335
そうだっけ？（記号列としての）論理式は再帰的集合じゃ無かったっけ？
（自己言及と否定を含む体系の）定理全体の集合というのならわかる。
>338
それが不完全定理で証明した内容じゃないの？
不完全定理は対角線論法を用いて自己言及する再帰関数（と否定演算の組合せ）の
超越性を示したものだと思うけど。
354:１３２人目の素数さん
13/10/19 18:06:50.67 .net
>>341
田中一之さんが「不完全性定理に対角線論法は不要」と数セミに書いてたと思うが
355:１３２人目の素数さん
13/10/19 18:35:02.36 .net
的はずれな指摘だけど、それでも指摘するなら「自己言及する再帰関数」にもツッコミ入れないとおかしい
356:１３２人目の素数さん
13/10/19 18:43:50.84 .net
つまり無矛盾性もそうだけど、「φは証明できる（φの証明が存在する）」
「φは証明できない（φの証明は存在しない）」みたいな
言葉自体がそもそもナンセンスだと言ってる訳だね。
357:１３２人目の素数さん
13/10/19 19:02:39.88 .net
不完全性定理って対角線論法じゃなくても証明できるよ
ＺＦＣのモデルの集合の連鎖から背理法でやるＷｏｏｄｉｎの第二不完全性定理証明とか
そこから完全性定理で第一を証明したりＰＡとかもっと弱い理論の不完全性も証明できる
また計算論で再帰的分離不能定理から系として証明されたり、
ブーロスの関数だけで証明するものとか（証明が簡単になるってわけじゃないけど）
一方限定算術で理論で理論を解釈してＰＡより弱い理論の不完全性を示すとか
このスレでも以前話題になったけど不完全性が成り立つにはその論理式Ａについて
Ａのゲーデル数＜2＾(Ａの論理式の長さ)
が成り立たなければならないとかx^(logy)オーダーの関数が入ってる必要があるとか
それに四則演算が入っててもウィラードの算術体系みたいな不完全性が証明できないものがある
無矛盾の話はもし的外れなら無視してもらっていいけど
言語はL＝｛∧、∨、→、￢、Ｒ｝のような集合で
記号列がその組み合わせ列でP(L)＝｛φ、∧、∧→、R￢、R∨R、・・・｝
ここで論理式を再帰的に定義して
論理式はその部分集合でF＝｛A∈P(L)｜Aは論理式｝
そしてある証明体系Hを設定したら
Th＝｛A∈F｜AはHで証明可能｝
このとき
あるB∈Fについて、
B∈Thかつ￢B∈Thが成り立つ ⇔ Hは矛盾
みたいなことが集合論とか計算論の本で出てくる典型的な導入だけど非常に簡潔だと思う
358:341
13/10/19 22:21:51.68 .net
>342-345
そうだったのか……サンキュー。
ちょっと調べてみよう。
>345
確かにそっちの方がイメージしやすいね。
ちょっと細かいけど、L自体は言語じゃなくて単なる記号の集合だよね。
Fみたいに構造を伴わないと言語にならないと思うけど。
359:１３２人目の素数さん
13/10/20 20:20:44.94 .net
>>346
どうでもいいと思ったけどやっぱり書くと
今まで見たほぼすべての本で
言語（language）Lは記号の集まり（プラス関数と述語に引数に該当する自然数を割り当てるルール）って定義されてた
ものすごい厳密には述語論理で定義されるこの関数と述語の記号は変数らしく、
具体的にZFCとかの理論を考える際に∈とかを代入しているらしい
言語は例えば新しく記号★を追加するときにL(★)みたいな書き方をする
この書き方はモデル理論とかの際に便利になってくる
記号の組み合わせの列は計算機科学とかだとクリーネスターとか言われてる
集合論では集合論の内部で定義可能性を定義したりするさいに
論理式の集合とか項の集合とか定理の集合とかってのはもっと厳密に定義されてる
360:１３２人目の素数さん
13/10/21 00:21:21.39 .net
>>333
8ページ目に
自然数の集合Nは・・・Nを支持する「数学的現象」はなく、Nは、
集合論の公理によってしか支えられていないといっても過言ではない。
ってあるけど、一般的にそう認識されているの？
361:１３２人目の素数さん
13/10/21 06:55:27.05 .net
言語と言った場合は論理記号は含めないのが普通だと思うけど
362:１３２人目の素数さん
13/10/21 23:48:11.34 .net
オレ言葉ができる前から数を数えてたんだわ。
「論理がしっかりできてないうちから数をかぞえ始めるな」みたいな論調があるけど、
すごく違和感を覚える。
363:１３２人目の素数さん
13/10/22 00:02:00.24 .net
聞いたことねえよ
364:１３２人目の素数さん
13/10/22 00:09:59.26 .net
>>350
> 言葉ができる前から数を数えてた
そんなことはありえないｗ
論理は数に先行するので、論理の根本的な性質を語るのに自然数の性質を使っちゃダメ、というのは正しい。
365:１３２人目の素数さん
13/10/22 00:44:27.78 .net
>>352
囲碁の天才棋士なんかそんなんじゃないかな
366:１３２人目の素数さん
13/10/22 01:35:54.91 .net
>>350
ガウスの生まれ変わりか？
いやガウスは、暗算までできたそうだから、ガウスの方が上だな。
367:１３２人目の素数さん
13/10/22 16:24:58.82 .net
あるpdfで
Σ1健全=1-無矛盾：「証明可能なΣ1文は真」とか言うのがずっとわからなかったんだが
昨日やっと氷解した
Ｎ |= ψ を「ψは標準モデルで真」とか書いてるから
「？モデルなら健全に決まってるじゃん、Σ1健全とか意味あんの？」って思ってた
標準「モデル」って言っちゃうから混乱しちゃった
一般の算術言語の文の真偽の話ししてるときは
標準「構造」とか言ってくれないと・・・
鹿島さんの本ではちゃんと「標準ストラクチャ」って書いてあった
368:１３２人目の素数さん
13/10/22 17:01:58.85 .net
永田雅宜「数学の本の誤りは考えればわかるから直さない」
369:１３２人目の素数さん
13/10/22 17:05:28.22 .net
まあ、標準モデルっていう言い方が業界の標準なんだろうけど
370:１３２人目の素数さん
13/10/22 19:44:57.21 .net
>>247 に標準ストラクチャーの話しがあった
でも、このレスの
「標準モデルとはBasicの標準ストラクチャーと同義のようです。」
っていうのは、言葉使いがおかしいよね
標準ストラクチャーっていうのはあくまで算術の言語(={ 0, Succ, ＋, ・})の解釈のことであって
別に特定の理論には縛られない
「標準ストラクチャーは、Basicのモデルになっている」
「Basic は、標準ストラクチャーをモデルに持つ」っていわないと
371:１３２人目の素数さん
13/10/22 19:52:37.76 .net
標準モデルとの関係でいえば
「Basic は、標準ストラクチャーをモデルに持つ。
この時、標準ストラクチャーのことを、Basicの標準モデルと呼ぶ」かな
372:１３２人目の素数さん
13/10/23 21:05:15.93 .net
>>352
使うなよ！
絶対使うなよ！
373:１３２人目の素数さん
13/10/23 23:15:02.55 .net
せっかくなので >>246 の問題をに答えてみる
(4') そのようなΓは存在しない
Γの要素は自明にΓから導出できるので、(4')が成り立てば(4)が成り立ってしまう
(4'') そのようなΓは存在しない
問題文中の"Γ中の"は、"Γから導出される"と解釈する。(Γの元だと解釈すると
問題文が無意味になってしまう。)
完全性定理より、恒真な閉論理式は、Γから導出できる。よって(4'')が成り立てば(4)も成り立つ
(4''') Γ= Basic とすればよい
一般に、算術言語の任意のストラクチャにおいて、算術言語の任意の論理式は、真が偽のどち
らかに解釈されるので、明らかに(4''')は成り立つ。
(1)が成り立つことは自明
(2)Basicは標準ストラクチャをモデルに持つので、完全性定理より、無矛盾である
(3)Basicの閉論理式が有限個であることから、明らか
374:１３２人目の素数さん
13/10/23 23:53:42.40 .net
>>361
> Γの要素は自明にΓから導出できるので、
ってなに？
375:１３２人目の素数さん
13/10/24 00:41:46.73 .net
任意の命題 ψ に大して
ψ |- ψ
は成り立つでしょ
だから
ψ ∈ Γなら Γ|- ψ
言葉でわかりやすく言うと、「公理の文は、公理から自明に導出できる」
376:１３２人目の素数さん
13/10/25 11:21:11.63 .net
上の「すべての論理式」うんぬんの話だけど、
数学的帰納法と構造的帰納法について調べてみてください。
数学系の本は後者について軽めに流してる本が多いです。
情報系だと構文処理と関わってくるから説明してあるのが多い。
ゲーデルの不完全性
377:定理の論文でももちろん説明してある。
378:１３２人目の素数さん
13/10/25 22:12:44.31 .net
> 構造的帰納法について調べてみてください。
「すべての論理式」の存在について何か理解が深まるのか？
単なる説明にとどまりそうだが。
379:１３２人目の素数さん
13/10/25 23:01:06.84 .net
まぁ実際にＺ言語とかＭｉｚａｒとかに触ってみればいいんじゃん？
380:１３２人目の素数さん
13/10/25 23:17:31.20 .net
>>352
動物でも数えるぞ
381:１３２人目の素数さん
13/10/26 00:43:41.96 .net
無生物だったのか、おまえ……。
382:１３２人目の素数さん
13/10/26 17:58:41.23 .net
無限集合の存在は、ZFCからは証明できないのでは？
あ、もちろんZFCから無限公理を取り除いた理論から、って意味ね
無限集合の存在は、数学的な要請として受け入れるしかない
383:１３２人目の素数さん
13/10/26 18:05:47.65 .net
「全ての論理式」ってそんな難しいことかなあ
少なくとも、有限個の記号（{ 0, Succ, ＋,×}）から作られる算術言語Ｌの論理式の全体を考えるのは
極めて自然なことだと思うけど・・
まず、「Ｌの記号を有限個並べた記号列」ははっきり判別できるよね
その記号列が、Ｌの論理式になってるかどうかを判別する手続きも、きちんと定義されてるし
チェックは必ず有限回でおわる（帰納的に定義されてるし、記号列の長さは必ず短くなっていくから）
【「『有限個の記号』からなる有限列」の全体】を認めない、っていうなら、もう処置無しだと思う
384:１３２人目の素数さん
13/10/26 18:16:53.92 .net
もし、記号が有限個じゃないとしても
「ある記号がＬの元かどうかが判別できる」ことさえ認めてしまえば
あとの論理式を構成する議論は全く同じだし
ＺＦＣは、あくまで集合論を形式化したものであって
ＺＦＣがあるから集合が存在するわけっじゃない
385:１３２人目の素数さん
13/10/26 18:55:31.06 .net
>>370
> 【「『有限個の記号』からなる有限列」の全体】を認めない、っていうなら、もう処置無しだと思う
ははは。
宗教じゃないんだからさ。
認める認めないという態度表明から話が始まるなんておかしいだろ。
386:１３２人目の素数さん
13/10/26 19:11:30.90 .net
>>372
それは上のほうでぐちゃぐちゃ言ってるやつに言えよ
難癖つけてるのはそいつだし
387:１３２人目の素数さん
13/10/26 19:14:06.29 .net
宗教ってそんなに謙虚なものだっけ
388:１３２人目の素数さん
13/10/26 20:39:06.42 .net
>>373
ぐちゃぐちゃ言ってるって言葉ができる前から数を数えてたやつのことか？
389:１３２人目の素数さん
13/10/26 20:43:20.64 .net
>>372
数学は認める認めない関係なくできるけど、議論は認める認めないがないと始まらない。
宗教を持ち出す必要はないぞ。
390:１３２人目の素数さん
13/10/26 21:02:10.47 .net
>>375
「論理式全体の集合」の存在証明が欲しいとかいってる奴だよ
391:１３２人目の素数さん
13/10/26 21:09:18.94 .net
>認める認めないという態度表明から話が始まるなんておかしい
んな事言っても選択公理は認めるか認めないかのどちらかしかない
最初にそれを決めないと集合論は始まらない
392:１３２人目の素数さん
13/10/26 21:11:07.20 .net
>>378
有る公理系と無い公理系が併存するだけで、特に問題はない。
393:１３２人目の素数さん
13/10/26 21:19:33.00 .net
>>379
だから、あってもなくてもどっちを選んでもいいけど
最初にどっちを選ぶか決めときゃなきゃダメだって話だろ
394:１３２人目の素数さん
13/10/26 21:24:21.53 .net
>>378,>>380
キミはどうもわかってないね。
>>376や>>379の言う通り、数学は認める認めない関係なくできる。
ある公理を認めるという時と「論理式全体の集合」の存在を認めるという時では、
その意味は違うんだよ。
395:１３２人目の素数さん
13/10/26 21:31:05.71 .net
>>380
もしかして「論理式全体の集合」の存在も最初にどっちか選べばいい問題だと思ってるのか？
396:１３２人目の素数さん
13/10/26 22:39:37.93 .net
>372
数学の場合、公理とか前提は受け容れるもので信じる信じないは関係ないのにな。
前提が矛盾するならそれを指摘すればいいし。
>381
疑似問題引き起すから、「認める」と「前提(公理)とする」を使い分けた方が良いぜ。
そういえば、集合や帰属関係は無定義語とされるけど、無定義語は公理から
定義されていることにならないのかしらん？
∀x,y(x∈y∨￢(x∈y))
なんかは集合と帰属関係の定義にならんのかね？