19/09/25 00:13:51.90 HNtypll1.net
nが大きいときは
Gr[n] = (π/4) - (-1)^n･{Σ[k=0,∞] E_2k /[4^(k+1)･n^(2k+1)]}
ただし E_2k はオイラー数。
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
237:１３２人目の素数さん
19/09/25 00:38:30.02 HNtypll1.net
>>228
a[n] = ∫[0,π/4] (tanθ)^(2n) dθ
= (-1)^n (π/4 - Gr[n])
= | π/4 - Gr[n] |
238:１３２人目の素数さん
19/09/25 03:58:49.12 HNtypll1.net
>>228
a[n] = ∫[0,1] x^(2n) /(1+xx) dx
= (-1)^n (π/4 - Gr[n])
= | π/4 - Gr[n] |,
239:１３２人目の素数さん
19/09/25 05:51:14.04 HNtypll1.net
〔類題〕
b[n] = ∫[0,π/4] (tanθ)^(2n+1) dθ
= ∫[0,1] x^(2n+1)/(1+xx) dx
= (1/2)∫[0,1] y^n /(1+y) dy
とおく。
b[0] = [ (1/2)log(1+xx) ] = (1/2)log(2),
b[n] + b[n+1] = ∫[0,1] x^(2n+1) dx = (1/2)∫[0,1] y^n dx = 1/(2n+2),
が成り立つ。
このとき、交代調和級数
H[n] = 1 -1/2 +1/3 - ････ +(-1)^(n-1)･(1/n),
を用いて b[n] を表わせ。
240:１３２人目の素数さん
19/09/25 17:21:11.28 HNtypll1.net
b[n] = (-1)^n (1/2){log(2) - H[n]}
= (1/2)| log(2) - H[n] |
nが大きいときは
b[n] = 1/(4n) -1/(8nn) +1/(16n^4) -1/(8n^6) +17/(32n^8) -31/(8n^10) + ････
= (1/2)Σ[k=1,∞］{ー(2^k -1)/k･B[k]} /(n^k),
ただし B[k] はベルヌーイ数。
B[0] = 1, B[1] = -1/2, B[2] = 1/6,
B[4] = -1/30, B[6] = 1/42, B[8] = -1/30,
241:１３２人目の素数さん
19/10/01 10:54:03.98 9+EG76aR.net
〔出題2〕
正の実数の集合 { x(n,t) | n：整数、t：負でない整数 } において
x(n,t+1) = min[ x(n,t), x(n+1,t)+x(n+2,t) ]
(n：整数、t：負でない整数)
が成り立つとします。min[a,b] は a,bのうち大きくない方を表わします。
さらに条件(2)が成り立つとき、ある整数Tが存在して、
任意のnに対して ｔ≧T ならば x(n,t) = x(n,T)
となることを示してください。
・条件(2)
t=0 において、ある整数M<Nと 正の実数α,βが存在し、
n≧N ならば x(n,0)=α、n≦M ならば x(n,0)=β が成り立つ。
242:１３２人目の素数さん
19/10/01 11:27:28.17 9+EG76aR.net
n≧N のとき、条件(2)より
x(n,t) = x(n,0) = α,
n=N-1, t≧1 のとき
x(N-1,1) ≦ 2α,
x(N-1,t) = min[ x(N-1,t-1), 2α ] = ････ = x(N-1,1)
n=N-2, t≧2 のとき
x(N-2,2) ≦ x(N-1,1) + α
x(N-2,t) = min[ x(N-2,t-1), x(N-1,1)+α ] = ････ = x(N-2,2)
同様にして
n=N-k, t≧k のとき
x(N-k,t) = x(N-k,k)
n=M, t≧N-M のとき
x(M,t) = x(M,N-M)
n≦M-1 のとき、条件(2) と x(n,t)>0 より
x(n,t) = x(n,0) = β,
以上により T=N-M とおく。
任意のnに対して t≧T ならば x(n,t)=x(n,T)
243:１３２人目の素数さん
19/10/01 11:40:27.84 9+EG76aR.net
>>235
・条件(1)
t=0 において、ある整数N≠0 が存在し、
任意のnに対して x(n+N,0) = x(n,0) が成り立つ。
244:１３２人目の素数さん
19/10/01 19:42:15.89 9+EG76aR.net
>>236
> n≦M-1 のとき、条件(2) と x(n,t)>0 より
> x(n,t) = x(n,0) = β,
β がじゅうぶん大きいときは
右から左に侵食し続けます。
よって不成立。
245:１３２人目の素数さん
19/10/01 20:09:29.89 9+EG76aR.net
n=N-k, k≦t<k1 のとき
x(N-k,t) = x(N-k,k) ≦ Ｆ(k+2)α
F() はフィボナッチ数。
じゅうぶん大きい k1 について
Ｆ(k1+2)α > β (アルキメデス)
となるので、
n≦N-k1 ならば x(n,t) = β
よって T=k1 とおいて成立。
246:１３２人目の素数さん
19/10/06 21:51:46.10 4tBXkTQ/.net
〔補題〕
a1 ≦ a2 ⇒ min{a1, b} ≦ min{a2, b}
b1 ≦ b2 ⇒ min{a, b1} ≦ min{a, b2}
(略証)
min{a1, b} = min{min{a1, a2}, b} = min{a1, a2, b} ≦ min{a2, b}
min{a, b1} = min{a, min{b1, b2}} = min{a, b1, b2} ≦ min{a, b2}
247:１３２人目の素数さん
19/10/06 22:04:31.68 4tBXkTQ/.net
>>235
x(n,t+1) = min[ x(n,t), x(n+1,t)+x(n+2,t) ]
は x(n,t) x(n+1,t) x(n+2,t) について単調増加(非減少)
{ x(n,0) | nは整数} のうち最も小さい2つは変化しない。
他のnについては、それ以上。
248:１３２人目の素数さん
19/10/06 23:33:07.97 4tBXkTQ/.net
min{ x(n,0) | nは整数 } = X0
n≧N ⇒ y(n,0)=α
M<n<N ⇒ y(n,0) = X0/2
n≦M ⇒ y(n,0)=β
y(n,t) も x(n,t) と同形の漸化式を満たす。
とすれば
y(n,t) ≦ x(n,t)
だろうな
249:１３２人目の素数さん
19/10/07 00:42:05.90 HWZCdfVy.net
n≧N のとき
y(n,t) = y(n,0) = α,
M+1≦n≦N-1 のとき
y(n,t) = y(n,0) = X0/2,
n=M のとき
y(M,0) = β
y(M,t) = y(M,1) = X0, (t≧1)
n=M-1, t≧2 のとき
y(M-1,0) = y(M-1,1) = β
y(M-1,t) = y(M-1,2) = min{β, (1/2)F_4 X0} (t≧2)
n=M-k, t≧k+1 のとき
y(M-k,t) = y(M-k,0) = β (0≦t≦k)
y(M-k,t) = y(M-k,k+1) = min{β, (1/2)F_{k+3} X0} (t≧k+1)
アルキメデスの原理から、じゅうぶん大きい整数ko に対して
(1/2)F_{ko+3} X0 ≧ β
n≦M-ko のとき
y(n,t) = y(n,0) = β (t≧0)
∴ y(n,t) = y(n,ko) (t≧ko)
∴ T = ko とおく。
F_k はフィボナッチ数
250:１３２人目の素数さん
19/10/08 00:09:02.76 G04q/jGG.net
>>242 を改良････
γ = min[ x(n,0) | N≧n>-M] > 0
n>-M ⇒ y(n,0) = γ,
n≦-M ⇒ y(n,0) = x(n,0) = β,
とすれば
y(n,0) ≦ x(n,0)
ここで >>241 (minの単調増加性) から
y(n,t) ≦ x(n,t) ････(ア)
だろうな。
さて
y(n,t) = γ (n>-M, t≧0)
y(n,t) = β (n=-M-k, 0≦t≦k)
y(n,t) = min[β, γ F_(k+3)] (n=-M-k, t>k)
F_k はフィボナッチ数。
じゅうぶん大きい ko について
β < γ F_(ko+3)
となる。(アルキメデスの原理)
n ≦ -M -ko では t≧0 で
y(n,t) = β ････(イ)
x(n,t) ≦ x(n,0) = β ････(ウ)
(ア)(イ)(ウ) から
x(n,t) = β
一方、n> -M -ko, では
t ≧ Max[N-n,0] ⇒ x(n,t) は不変
そこで T=M+N+ko とすれば題意をみたす。
251:１３２人目の素数さん
19/10/18 16:08:04 cJ0amKN9.net
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
最初の 10^n 個の素数のうち、どの位も1でないものの個数(n≧0)
1, 6, 54, 532, 4675, 34425, 262549, 2051466, 16831152,...
URLﾘﾝｸ(oeis.org)
10^n 未満の素数のうち、どの位も1でないものの個数(n≧1)
4, 17, 101, 670, 4675, 34425, 262549, 2051466, 16312743,...
偶然見付けたんだが、なんで途中一致してんだろ？ 誤ってんのかな？
252:１３２人目の素数さん
19/10/22 05:14:31.19 fspFsipc.net
A091635 について
n, a(n), π(10^n), -log{a(n)/π(10^n)}
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
1, 4, 4, 0.0
2, 17, 25, 0.385662480812
3, 101, 168, 0.508843462562
4, 670, 1229, 0.606678397181
5, 4675, 9592, 0.718700254985
6, 34425, 78498, 0.824290102142
7, 262549, 664579, 0.928716026189
8, 2051466, 5761455, 1.032635387452
9, 16312743, 50847534, 1.136885044220
10, 131464721, 455052511, 1.241674286828
11, 1071368863, 4118054813, 1.346443777037
12, 8809580516, 37607912018, 1.451374629985
13, 72986908554, 346065536839, 1.556348079762
14, 608542410004, 3204941750802, 1.661382588734
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
-log{a(n)/π(10^n)} ～ 0.1860 - log(9/10)･n = 0.1860 + 0.10536 n
そこそこ正確？
253:１３２人目の素数さん
19/10/22 17:08:02.23 fspFsipc.net
↑
π(x) = （x以下の素数の個数)
素数計数関数
254:１３２人目の素数さん
19/12/31 19:00:02.59 +Wwrl/T/.net
ithprime(10^4)
104729
ithprime(10^5)
1299709
ithprime(10^6)
15485863
ithprime(10^7)
179424673
ithprime(10^8)
2038074743
１０００００から２０００００までに条件を満たすものはないから
１０００００まででも１０４７２９まででも個数は同じ。
255:１３２人目の素数さん
20/01/14 06:12:43.13 YxIp/4Qu.net
>>248
おお
256:過去ログ ★
[過去ログ]
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています