24/02/09 17:00:31.05 3RLhARqe.net
つづき
定義1.2.1(Jordan可測集合)ΩをRnの有界集合とする。
Ωがn次元Jordan可測(n-dimensionalJordanmeasurable)とは、
積分∫A χΩ(x)dxが存在することと定義する。ここで
(1)AはΩ⊂A◦となる閉方体*a。
(2)χΩはΩの特性関数。
すなわちχΩ(x):= 1 (x∈Ω), 0 (x∈Ω)である。
このときµn(Ω)=µ(Ω):= ∫A χΩ(x)dx
をΩのn次元Jordan測度(n-dimensional Jordan measure)と呼ぶ。
(*a記号の復習:ΩはΩの閉包、A◦はAの内部を表す。)
例1.2.1 例1.1.5のfはΩ:=[0,1]∩Qの特性関数である。fは積分可能でないので、ΩはJordan可測ではない。
(P15より再録 例1.1.5(積分可能でない関数の例(Dirichletの関数))A=[0,1],f:A→Rを
f(x)= 1 (x∈A∩Q), 0 (x∈A＼Q)
で定めると、Aの任意の分割∆に対してL(f,A,∆)=0,U(f,A,∆)=1であることが容易に分かるから、
L(f,A)=0,U(f,A)=1.ゆえにfはAで積分可能ではない。)
P23
定義1.2.2(Jordan可測集合上の積分の定義)ΩをRnの有界でJordan可測な部分集合で、f:Ω→Rは有界関数とする。
このときfがΩで積分可能(または可積分)であるとは、Ω￣⊂A◦なるRnの閉方体Aを取って
f˜(x) def. = f(x) (x∈Ω), 0 (x∈A／Ω)
で f˜を定めるとき、 f˜がAで積分可能となることをいう。
このときfのΩ上の積分∫Ω f(x)dxを
∫Ω f(x)dx def. = ∫A f˜(x)dxで定める。
注意1.2.4
この積分の定義によれば、Rnの有界Jordan可測集合のJordan測度µ(Ω)は∫Ω 1dx (同じものを∫Ω dxとも書く)とも表せることになる。
(引用終り)
以上