24/02/08 23:33:22.73 SisNSAhd.net
>>506
>>>503
>>Lebesgue零集合の性質をいくつか述べておこう。
>>命題1.3.7(Jordan零集合とLebesgue零集合の関係)
>>(1)Rnの任意のJordan零集合はLebesgue零集合である。
>>(2)Rnの任意のコンパクトLebesgue零集合はJordan零集合である。
>>証明
>>略
> 正真正銘の大馬鹿野郎ｗｗｗ
さて、”正真正銘の大馬鹿野郎”と宣う「命題1.3.7(Jordan零集合とLebesgue零集合の関係)」は
桂田 祐史 (かつらだ まさし)先生のPDFからの引用そのままなのですが
”正真正銘の大馬鹿野郎”と宣うかね？
この”命題1.3.7(Jordan零集合とLebesgue零集合の関係)”
の証明を引用しておきますね
(参考)
URLﾘﾝｸ(nalab.mind.meiji.ac.jp)
P29
(命題1.3.7の)証明
(1)は明らかである。
(2)はJordan零集合,Lebesgue零集合の定義の中の「閉方体」を「開区間」でおきかえてもよいことに注意すれば、
コンパクトの定義(任意の開被覆は有限部分被覆を持つ)から明らかである。
後で示すように、QはLebesgue零集合であるが、Jordan零集合ではないから、
上の命題の(1)の逆は成り立たない。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コンパクト空間
概要
動機
R^nの有界閉集合Xは位相空間として「性質が良く」、例えば以下が成立する事が知られている：
・XからRへの連続写像は必ず最大値・最小値を持つ
・XからRへの連続写像は必ず一様連続である
・XからR^nへの単射fが連続なら、逆写像f^-1:f(X)→ Xも連続である。
このような「性質の良い」空間を一般の位相空間に拡張して定義したものがコンパクトの概念である。
ただし、「R^nの有界閉集合」という概念自身は、「有界」という距離に依存した概念に基づいているため、一般の位相空間では定義できず、別の角度からコンパクトの概念を定義する必要がある。
そのために用いるのがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とハイネ・ボレルの被覆定理である。これらの定理はいずれも「R^nの有界閉集合であれば◯◯」という形の定理であるが、実は逆も成立する事が知られており
R^nにおいては
1.有界閉集合である事
2.ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分
3.ハイネ・ボレルの定理の結論部分
の３つは同値となる。しかも上記の２，３はいずれも位相構造のみを使って記述可能である。
ハイネ・ボレル性によるコンパクト性の定義
定義
コンパクト性の概念は以下のように特徴づける事ができる：
定義 (ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義) ― 位相空間
(X,O)が以下の性質を満たすとき
(X,O)はコンパクトであるという[4]：
・(ハイネ・ボレル性) Xの任意の開被覆
Sに対し、Sのある有限部分集合Tが存在し、
TはXを被覆する[4]。
定理 (２つの定義が同値であること) ― ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義はボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義と同値である[4]。
上述の定義におけるTの事をSの有限部分被覆という