24/02/02 14:17:00.71 3jiIZ1yL.net
>>347
>>>338
>>関数の不連続点全体の集合のルベーグ測度がゼロならば
>>リーマン積分可能であることもわかる。これを証明してみよ。
>本当？
本当です、というか
そこは >>345 西谷達雄,阪大 下記です
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
Lebesque積分
P14
定理1.5.1 f(x)がRiemann積分可能であるためにはf＿(x)=f￣(x),a.e.となることが必要十分である．
P15
定理1.5.2 (Lebesgue) f(x)がRiemann積分可能であるための必要十分条件はf(x)の不連続点の集合が零集合となることである．
証明：最初にf(x)がx=x0で連続であるための必要十分条件はf∼(x0)= f(x0)=f∼(x0)の成立することである．
まずこれを確かめよう．
略
従ってf(x)はx=x0で連続である．
さて定理の証明に移る．f(x)をRiemann積分可能とすると，定理1.5.1よりf∼(x)=f＿(x)=f(x)=f￣(x)=f∼(x),a.e.従ってf(x)は殆ど至る所連続である．
逆にf(x)が殆ど至る所で連続とする．このとき，殆どいたるところf∼(x)=f∼(x).従ってf＿(x)=f￣(x),a.e.ゆえに再び定理1.5.1よりf(x)はRiemann積分可能である．
(証終)