24/02/01 18:35:53.97 nkXreRAg.net
>>333
なるほど
まだ、やる気かなｗ
ではｗｗ
(参考)
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浅野 晃の講義 関大
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2016年度秋学期 応用数学（解析）
第１４回第５部・測度論ダイジェスト／
ルベーグ測度と完全加法性
測度論とは，「ものを測る」ことの本質を考える数学の分野です。長さ，面積，体積，質量など，ものを測るにはいろいろな測り方がありますが，これらをあわせて，何かを測った結果を測度(measure)といいます。測度論では，測るとは何か、測ることのできる集合とは何か，といったことを学びます。この「測度論ダイジェスト」第１回では，測度論誕生のきっかけになった「疑問」を説明し，集合の基本的な測り方であるルベーグ測度，測度の持つべき基本的な性質である完全加法性，そしてその帰結として現れてきた零集合について説明します。
積分に対する疑問定積分を習った時に，「任意のaについて，関数f(x)のaからaまでの積分は0，すなわち∫ a a f(x)dx=0である」すなわち「幅が0の積分は0」ということを習ったと思います。ということは，図1(a)のように，積分∫ q p f(x)dxから，pとqの間にあるaのところだけ幅0の線を抜き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。幅0の積分は0なのだから，aの１カ所だけでなく，図1(b)のように幅0の線を何本抜き取っても，やはり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，pとqの間にあるすべての有理数の位置にある幅0の線を抜き取っても，すなわち可算無限個の線を抜き取っても，やはり面積は減らないのでしょうか？どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，より精密にとらえる必要があることを示しています。
ジョルダン測度これまで，定積分は「区分求積法」として習ったと思います。これは，ある関数の積分区間を「重なりのない，有限個の」区間に分けて，その上に，その関数のグラフの下の部分におさまるように配置した長方形（図
2(a)）と，グラフの下の部分を含むように配置した長方形（図2(b)）を考えます。
区間の分け方をさまざまに変えたとき，前者の配置での長方形の面積の上限をジョルダン内測度，後者の配置での長方形の面積の下限をジョルダン外測度といい，両者が一致するときそれをジョルダン測度といいます1。この例のような２次元の場合，このジョルダン測度をこれまで「面積」とよんできました。このように面積が測れる図形（一般には測度が定められる集合）をジョルダン可測であるといいます。
ルベーグ測度ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えています。一方，定積分の定義では，長方形の面積の「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明した「極限」の意味を考えると，面積の極限を考えることは，無限個の長方形を考えることとは違うことがわかります。面積の極限とは，長方形を好きなだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づけることができる，という意味であって，あくまで有限個の長方形について想定されているものです。
つづく