24/01/27 15:06:17.89 HL7mh5IY.net
>>203
>（リーマン積分でも ”測度”は当然使っていますが、”測度”という意識が無かっただけとか 藤田博司先生（愛媛大）が何かに書かれていました）
下記だった気がする
”2.3 リーマン積分 2.4 積分可能性をめぐる混乱”
辺り
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.tenasaku.com)
『「集合と位相」をなぜ学ぶのか―数学の基礎として根づくまでの歴史』
藤田 博司 著
技術評論社 2018年 3月19日
第2章 積分の再定義
2.3 リーマン積分
2.4 積分可能性をめぐる混乱
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン
「集合と位相」をなぜ学ぶのか ― 数学の基礎として根づくまでの歴史 単行本（ソフトカバー） – 2018/3/6 藤田 博司 (著) 技術評論社
書評
目玉焼き
5つ星のうち4.0 数学の基礎概念の歴史を交えた”教科書ではない”解説書
2018年3月21日
内容は「商品の説明」にチャプターの題があるので軽く。
１章から３章で、１８世紀～１９世紀頃の解析学が抱えていた問題点から実数や関数概念が整備されていく様子を語っています。
４章で、集合についての形式的な導入があり、基礎論に深入りしない程度に基本的で、普通の数学を記述するにも概ね充分と言える範囲で集合の概説をします。終わりに「濃度の相等」の概念から５章の話題に自然に繋げています。
５章では、位相の初歩を、６章では、測度論の初歩を話題にしています。
７章で、ユークリッドの原論の手法からブルバキの構造の視点までの大きな流れを話題にもってくることで、集合概念がもたらした変化を語っています。
教科書的で合理的な順序をなぞらず、集合論がなかった時代に大先輩たちが漠然と突き当たっていた解析の諸問題と歴史的経緯を絡めながら集合や位相の基本を語っています。
この本を手にとることで、学生にとって数学が思っていた以上に血の通った世界であったと感じられるきっかけになるかと思います。
つづく
240:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:06:37.66 HL7mh5IY.net
つづき
Kuto
5つ星のうち5.0 「集合と位相」を学ぶ前に読みたい本
2022年10月28日
対象読者
大学の数学科での「集合と位相」を学ぶ人
「集合と位相」は抽象的で学ぶ理由も目的地も漠然としている、と学び始めた人は感じます。「なぜ、これを学ぶのか？」と。
この本は「集合と位相」という分野が整理、成立されるまでの数学者の研究の軌跡を描いています。数学的な厳密さと論理をもって。
「集合と位相」を学ぶ前に読みたい本としておススメします。
もなくゎ
5つ星のうち5.0 教科書ではありませんが
2018年3月22日
まえがきにもありましたが、本書は教科書ではありません。
しかし、集合と位相を学ぶ上での心構えを伝えてくれる（「そうか、だから君たちは学んでおくべきなんだね」と分からせてくれる）よい本だと思います。
自分は集合と位相に詳しいとはまだ言えませんが、ある程度の用語は知っていたので、特に躓くこともなく読み切ることができました。もちろん知らないことも多く出てきましたが、説明はあるので特に困りませんでした。
ストーリー仕立てで進む本書は、人物コラムも挿みながら数学の歴史を紐解いていってくれます。
自分が本書で特に評価したいのは、記号への配慮です。
逆写像と逆像の記法が区別されていたり、また複数の記法があるものに関して「こういうのもあるし、こういうのもある。うちではこうね」と注意書きがあったり（もちろんこんな口調で書かれてはいませんが）と、記号への配慮による読者への配慮が、極めて強く感じられました。文章もよく練られていて読みやすかったです。
あと、個人的に本書のミントグリーン？的な色合いが好きです。
このような読み物が増えると、数学に親しみを覚えてくれる人も増えてくれるかなあと思います。
(引用終り)
以上
241:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:14:11.57 HL7mh5IY.net
>>237
>>そこ、19～20歳のガロアが考えて、
>>シュバリエへの手紙で遺書として残したってことに
>>「カルチャーショック」を受けてくれ
>君は下らないことに「カルチャーショック」を受けるんだね（呆れ）
・以前、ラグランジュの分解式＝ガロワ理論と錯覚していたアホがいたけど
そいつが、数学科出身と聞いて「カルチャーショック」を受けたよｗ
・君は>>224『むしろ第二段階で
「部分群による左同値類と右同値類が同じになるとは限らない？
で、同じになる場合は、同値類同士の演算が群を為す？
おお、なるほど！数学ってこんな”細かいこと”まで考えてるんですね！
で、これ何に使うんですか？」
というのが「カルチャーショック」』
というが、それは
ガロア20歳の遺稿（シュバリエへの手紙）そのものってことさ>>229
まあ、落ちこぼれには分からないだろうさｗ
242:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:21:00.19 8mu8mYo+.net
>>241
>以前、ラグランジュの分解式＝ガロワ理論と錯覚していたアホがいたけど
君の記憶は、君の都合で改変されるねｗ
「代数方程式の解がベキ根で表せることとラグランジュの分解式で解けることは同値」
といった人がいるのは知っているし、それは正しい
>（正規部分群について）
>それはガロア20歳の遺稿（シュバリエへの手紙）そのもの
だから何なんだろう？
そもそももっと驚くべき結果についても述べてたと思うがな
そこか理解できないので割愛？ 君は本当にわかりやすいね
243:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:27:43.79 8mu8mYo+.net
さて、シキタカK君に問題
（初級）リーマン積分の定義を書け
（中級）いかなる関数がリーマン可積分かその条件を書け
（上級）ルベーグ積分の定義およびルベーグ可積分の条件を書け
さらにリーマン可積分でないがルベーグ可積分な関数を１つ挙げ
そのことをリーマン可積分の条件及びルベーグ可積分の条件に照らして示せ
最初の２問は大学１年の微分積分学を理解していれば答えられる
最後の１問もルベーグ積分を理解していれば答えられる
ま、頑張ってｗ
244:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:27:45.01 HL7mh5IY.net
>>236
>>社会で現実に起こっていることを議論するとき、
>>たいていは なんらかの単純化が必要です
>単純化が必要、ならば、単純化が正しい、といえるか？
例えば、ニュートン力学では
物体の運動を、質点というもので考える
しかし、実際の物体は大きさを持つから、質点はあくまで現実を単純化したものです！！
すべからく、現実に対しての理論を考えるとき、なんらかの単純化をした方が
理論的には、取り扱い易くなるのです
これは、囲碁でいう”常用の筋（スジ）”というやつですよｗ
>大学レベルのものなど一つもなかったが
あれあれ？ｗ >>203 一般関数 英語ではgenerallized function 「線形位相空間と一般関数 共立数学講座16」山中健
完全にスルーかよ シュワルツの超函数論、佐藤 hyperfunction 壊滅かな
245:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:31:29.13 8mu8mYo+.net
>>244
ニュートン力学の単純化が「正しい」とされたのは
当時の実験結果と整合したから
しかし、より精密な実験では整合しなくなった
マイケルソン＝モーリーの実験のことだけどな
＞あれあれ？一般関数 完全にスルーかよ
シキタカK君、自分の言葉で何一つ説明できてないのでノーカウント
ま、君が積分分かってるかどうか、
>>243の答えで判定してあげるから
頑張ってｗ
246:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:32:38.44 8mu8mYo+.net
243は文字小さいので再書き込みｗ
さて、シキタカK君に問題
（初級）リーマン積分の定義を書け
（中級）いかなる関数がリーマン可積分かその条件を書け
（上級）
１ ルベーグ積分の定義およびルベーグ可積分の条件を書け
２ さらにリーマン可積分でないがルベーグ可積分な関数を１つ挙げ
そのことをリーマン可積分の条件及びルベーグ可積分の条件に照らして示せ
最初の２問は大学１年の微分積分学を理解していれば答えられる
最後の１問もルベーグ積分を理解していれば答えられる
ま、頑張ってｗ
247:１３２人目の素数さん
24/01/27 20:13:53.56 HL7mh5IY.net
>>245
>ニュートン力学の単純化が「正しい」とされたのは
>当時の実験結果と整合したから
>しかし、より精密な実験では整合しなくなった
>マイケルソン＝モーリーの実験のことだけどな
分かってないな
・君は、論理の首尾一貫性の貫徹が弱いね
それじゃ数学は、出来ないだろうな
・そもそも>>244”物体の運動を、質点というもので考える
しかし、実際の物体は大きさを持つから、質点はあくまで現実を単純化したものです！！”
だった
・これに対して、「マイケルソン＝モーリーの実験」は、特殊相対性理論の範囲だから
”実際の物体は大きさを持つ→質点近似”
は、なお有効です
・しかし、一般性相対性理論では、質点近似が不適切になる場合は多い
質点近似で、大きさの無い１点に質量が集中するという近似は
一般性相対性理論では特異点になるから、ブラックホールなどを考える必要が出てくる
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.oit.ac.jp)
岩手大学 2021年度「現代物理学１（後半）」集中講義 2022年2月 version3(2022-0219)
相対性理論 アインシュタインはどこまで正しいのか真貝寿明（大阪工業大学）URLﾘﾝｸ(www.oit.ac.jp)
本講義では，相対性理論とその検証にまつわる技術を紹介する． 理学的な視点としては，Einsteinの導いた2つの相対性理論（特殊相対性理論と一般相対性理論）の概略，およびそれらが導くブラックホールや重力波の問題を概観する．
248:１３２人目の素数さん
24/01/27 20:53:20.71 HL7mh5IY.net
一つ質問に答えると、味をしめて 新たに二つ質問が
それに答えると、また味をしめて 新たに二つ三つ質問が
・
・
・
そしてエンドレスになる
見えているじゃんｗ
その手には
乗りませんよｗｗ
249:１３２人目の素数さん
24/01/27 21:38:34.35 bKK5TuJm.net
一つも答えてない輩の言う台詞じゃないな
250:１３２人目の素数さん
24/01/27 22:58:58.03 l3IhlFhD.net
>>248
247と249は
スルーしてよい
251:１３２人目の素数さん
24/01/28 06:43:26.15 DigaRTeo.net
>>248
>一つ質問に答えると、味をしめて 新たに二つ質問が
>それに答えると、また味をしめて 新たに二つ三つ質問が
>そしてエンドレスになる 見えているじゃん
>その手には乗りませんよ
>>249
>一つも答えてない輩の言う台詞じゃないな
まったくだ
完璧に答えれば次の質問はない
次の質問があるのは答えがまずいから
要するに自ら答えられないって白状してんじゃん
252:１３２人目の素数さん
24/01/28 06:49:08.80 DigaRTeo.net
>>246
＞（初級）リーマン積分の定義を書け
積分区間を、任意の小区間の集まりに細分し、その中からそれぞれ１点をとる
その１点での関数の値と小区間の長さを掛けた値の和をとる
小区間の細分によって、和の値がある値に収束するとき、
その収束値が関数の区間でのリーマン積分の値である
（収束の定義にはもちろん小区間の長さの最大値δと範囲εに関するε‐δ論法を使う）
253:１３２人目の素数さん
24/01/28 06:58:20.85 DigaRTeo.net
>>246
＞（中級）いかなる関数がリーマン可積分かその条件を書け
実は252でリーマン可積分の条件書いちゃったので、
同値な条件を一つ書いておく
R^n の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → R に対し、
f が I 上リーマン可積分であることと、
f がほとんど至るところ連続であること（※）は同値
（※ f の不連続点全体の集合が零集合）
254:１３２人目の素数さん
24/01/28 07:03:38.26 DigaRTeo.net
>>246
（上級）問題は残しておくわｗ
ただ、リーマン可積分でない関数の例だけ示してあげるねｗ
区間[0,1]について有理数の点で0、無理数の点で1となる関数
これは区間の至るところで不連続なのでリーマン可積分でない
一方以下の関数はリーマン可積分である
区間[0,1]について有理数の点で1-1/n (nは既約分数の分母)、無理数の点で1となる関数
なぜなら、有理数点では不連続だが、無理数点では連続だから
255:１３２人目の素数さん
24/01/28 07:14:12.83 DigaRTeo.net
余談だけどリーマン積分は実は「ルベーグ式」にも定義できる
その場合、測度をルベーグ測度ではなく別の”測度”にする
さてその”測度”とは何で、ルベーグ測度とは何が違うでしょう？
ルベーグ可測だがその”測度”では非可測な集合の例は？
（ヒント >>254）
256:１３２人目の素数さん
24/01/28 09:30:36.88 /f7wCbMr.net
>>254
>区間の至るところで不連続なのでリーマン可積分でない
これの証明を３行以内で述べよ
257:１３２人目の素数さん
24/01/28 09:51:56.76 CwYPAyWB.net
pを素数としn=p-1とおく。
[0,1]をn等分し左から順にΔkとする。
各Δkに分母がpの既約分数がちょうどひとつずつあるのでそれをXkとする。
一方各Δkから無理数Ykを選んでおく
Σf(Xk)|Δk| = p(1-1/p)/(p-1)
Σf(Yk)|Δk| = 0
258:１３２人目の素数さん
24/01/28 10:18:39.70 DigaRTeo.net
>>256
リーマン可積分なら253で述べた通りほとんど至るところで連続である
一方、至るところで不連続といってる、これは矛盾である
したがってリーマン可積分でない ほら三行でいえた
259:１３２人目の素数さん
24/01/28 11:27:56.77 DigaRTeo.net
ちなみに>>253の証明なら以下
ほとんど至るところで連続
⇔ほとんど至るところの点を含むδ以内の区間でその中での関数の値の差がε以内になるようなものがとれ
δを小さくすればするほどその区間の合計の長さが元の区間の長さに収束する
⇔リーマン可積分
260:１３２人目の素数さん
24/01/28 19:32:26.96 /f7wCbMr.net
>>259
不明確
261:１３２人目の素数さん
24/01/28 22:28:18.67 CwYPAyWB.net
>>259
kwsk
リーマン可積分⇒微分可能でない点の集合が測度０
の方がわからん
262:１３２人目の素数さん
24/01/28 22:41:25.37 woJqKGbY.net
>>259-260
なるほど
某Ｎ大Ｏゼミか
”大学数学ゼミ、かくあるべし”！
そう主張していた人が居たねｗ
ツッコミが有って本望だろう
頑張れよ
263:１３２人目の素数さん
24/01/29 05:39:10.75 /E26NdWV.net
>>260 その指摘が不明確かと
264:１３２人目の素数さん
24/01/29 05:42:43.68 /E26NdWV.net
>>261
区間[0,1]について有理数の点で0、無理数の点で1となる関数、は至る所不連続
区間[0,1]について有理数の点で1-1/n (nは既約分数の分母)、無理数の点で1となる関数、はほとんど全ての点（無理数点）で連続
なのは、わかる？
265:１３２人目の素数さん
24/01/29 05:50:37.58 /E26NdWV.net
>>262
そういう君に問題
以下の関数のどれがリーマン可積分、ルベーグ可積分かわかる？
１．区間[0,1]のうち２進数でｎ桁以内の有限小数の点で０、それ以外で１
２．区間[0,1]のうち２進数で有限小数の点で０、それ以外で１
３．区間[0,1]のうち点０と２進数で無限小数の点で、
差が有限小数という同値関係を入れた場合の同値類の代表となる場合１
その他の点で０
266:１３２人目の素数さん
24/01/29 07:58:17.77 2Tor3z84.net
>>261-263
>>>260 その指摘が不明確かと
やれやれ、日wikipediaに書いてあることを自慢して
ちょっとツッコミあると沈没か？ｗ
さて
リーマン可積分⇒微分可能でない点の集合が測度０
↓
リーマン可積分⇒連続でない点の集合が測度０
ですな
"R^n の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → R に対し、
f が I 上リーマン可積分であることと、
f がほとんど至るところ連続であること（※）は同値
（※ f の不連続点全体の集合が零集合）"
だったね
これの証明は、下記の英wikipediaにある
（Integrability 可積分性条件 the Lebesgue-Vitali theorem な）
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Riemann integral
Integrability
A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions). It has been proven independently by Giuseppe Vitali and by Henri Lebesgue in 1907, and uses the notion of measure zero, but makes use of neither Lebesgue's general measure or integral.
The integrability condition can be proven in various ways,[4][5][6][7] one of which is sketched below.
Proof
The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition.
One direction can be proven using the oscillation definition of continuity:[8] For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε. Since every point where f is discontinuous has a positive oscillation and vice versa, the set of points in [a, b], where f is discontinuous is equal to the union over {X1/n} for all natural numbers n.
つづく
267:１３２人目の素数さん
24/01/29 07:58:35.71 2Tor3z84.net
つづき
If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure. Thus there is some positive number c such that every countable collection of open intervals covering X1/n has a total length of at least c. In particular this is also true for every such finite collection of intervals. This remains true also for X1/n less a finite number of points (as a finite number of points can always be covered by a finite collection of intervals with arbitrarily small total length).
For every partition of [a, b], consider the set of intervals whose interiors include points from X1/n. These interiors consist of a finite open cover of X1/n, possibly up to a finite number of points (which may fall on interval edges). Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.
We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] For every ε, Xε is compact, as it is bounded (by a and b) and closed:
For every series of points in Xε that is converging in [a, b], its limit is in Xε as well. This is because every neighborhood of the limit point is also a neighborhood of some point in Xε, and thus f has an oscillation of at least ε on it. Hence the limit point is in Xε.
Now, suppose that f is continuous almost everywhere. Then for every ε, Xε has zero Lebesgue measure. Therefore, there is a countable collections of open intervals in [a, b] which is an open cover of Xε, such that the sum over all their lengths is arbitrarily small. Since Xε is compact, there is a finite subcover – a finite collections of open intervals in [a, b] with arbitrarily small total length that together contain all points in Xε. We denote these intervals {I(ε)i}, for 1 ≤ i ≤ k, for some natural k.
The complement of the union of these intervals is itself a union of a finite number of intervals, which we denote {J(ε)i} (for 1 ≤ i ≤ k － 1 and possibly for i = k, k + 1 as well).
つづく
268:１３２人目の素数さん
24/01/29 07:58:50.16 2Tor3z84.net
つづき
We now show that for every ε > 0, there are upper and lower sums whose difference is less than ε, from which Riemann integrability follows. To this end, we construct a partition of [a, b] as follows:
Denote ε1 = ε / 2(b － a) and ε2 = ε / 2(M － m), where m and M are the infimum and supremum of f on [a, b]. Since we may choose intervals {I(ε1)i} with arbitrarily small total length, we choose them to have total length smaller than ε2.
Each of the intervals {J(ε1)i} has an empty intersection with Xε1, so each point in it has a neighborhood with oscillation smaller than ε1. These neighborhoods consist of an open cover of the interval, and since the interval is compact there is a finite subcover of them. This subcover is a finite collection of open intervals, which are subintervals of J(ε1)i (except for those that include an edge point, for which we only take their intersection with J(ε1)i). We take the edge points of the subintervals for all J(ε1)i － s, including the edge points of the intervals themselves, as our partition.
Thus the partition divides [a, b] to two kinds of intervals:
Intervals of the latter kind (themselves subintervals of some J(ε1)i). In each of these, f oscillates by less than ε1. Since the total length of these is not larger than b － a, they together contribute at most ε∗
1(b － a) = ε/2 to the difference between the upper and lower sums of the partition.
The intervals {I(ε)i}. These have total length smaller than ε2, and f oscillates on them by no more than M － m. Thus together they contribute less than ε∗
2(M － m) = ε/2 to the difference between the upper and lower sums of the partition.
In total, the difference between the upper and lower sums of the partition is smaller than ε, as required.
(引用終り)
以上
269:１３２人目の素数さん
24/01/29 08:07:05.92 2Tor3z84.net
補足
>Proof
>The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition.
”the Darboux integral definition of integrability”は、日wikipediaにも説明あるよ
もちろん、英wikipediaにも詳しい説明がある（下記）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リーマン積分
類似概念
リーマン積分の定義によく用いられるのがダルブー積分である。これは、ダルブー積分が技術的に単純で、リーマン可積分性とダルブー可積分性が同値になることによる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Darboux integral
In the branch of mathematics known as real analysis, the Darboux integral is constructed using Darboux sums and is one possible definition of the integral of a function. Darboux integrals are equivalent to Riemann integrals, meaning that a function is Darboux-integrable if and only if it is Riemann-integrable, and the values of the two integrals, if they exist, are equal.[1] The definition of the Darboux integral has the advantage of being easier to apply in computations or proofs than that of the Riemann integral. Consequently, introductory textbooks on calculus and real analysis often develop Riemann integration using the Darboux integral, rather than the true Riemann integral.[2] Moreover, the definition is readily extended to defining Riemann–Stieltjes integration.[3] Darboux integrals are named after their inventor, Gaston Darboux (1842–1917).
Definition
略
270:１３２人目の素数さん
24/01/29 09:37:37.61 2GVFwqXV.net
>>266-269 それ日本で要約して書いてみ
271:１３２人目の素数さん
24/01/29 10:41:46.50 F9Ii6wqO.net
>>270
>>>266-269 それ日本で要約して書いてみ
面白い漫才師だな
するりとうまく「体を入れ替える」話法ねｗ
下記は、君が”大学数学ゼミ、かくあるべし”！>>262
と主張していたことだよ
で、そのしたり顔の主張をつぶしに行ったのが、私です
”定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
そういうところを素通りするのは数学の本の読み方として根本的に誤っています．”
のところだが、一見道理だが河東泰之氏の主張は 彼の実際の勉強法と乖離している（下記）
河東氏は、麻布中入学後「数学の本はわかってもわからなくても手当たり次第に読んだ」
「このころ一番難しくてわからないと思った本は，ヘルマンダー「多変数複素解析学入門」だった」という
思うに、理解というのは 多少分からないところがあっても、先に進むと分かるときがある
逆に、先に進まないと分からないことも多い
しかし、セミナーの進め方としては、それらを全部ひっくるめて”準備してこい”ってことでしょう
普段の勉強とセミナーの準備を混同して主張するやつがいるから、それを潰しに行ったのです ；ｐ）
(参考)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:11番)-18
河東泰之「セミナーの準備のしかたについて」は本当に正しいのか？
>まず，当然書いてあることを理解することが第一歩です．
>黙って「何々である」とか，"It is easy to see...", "We may assume that...", "It is enough to show..."などと書いてあるのは
>すべて，なぜなのか徹底的に考えなくてはいけません．
>また自分の知らない定理や定義を使っているところがあれば当然，調べたり聞いたりしなくてはいけません．
>定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
>そういうところを素通りするのは数学の本の読み方として根本的に誤っています．
そういう修行はまっぴら御免という人は
数学科に入って数学者になろうなんて思うのが間違いだよ
要は数学が分かりたくて数学科に入ったんだろうということ
別に全然分からんでもいいと諦めても結構だが
そういうことなら即刻転科しな
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
履歴書（非公式版） (5/1/2019)
1975年3月 私立麻布中学入学
このころは，数学の本はわかってもわからなくても手当たり次第に読んだ． 今に影響してるのは，Rudin "Functional Analysis", Arveson "An invitation to C*-Algebras", 斎藤正彦「超積と超準解析」，シュヴァルツ「位相と関数解析」など． 岩波「基礎数学」，ブルバキ「数学原論」(日本語訳)も当時出はじめたので買って読んだ． 数学セミナーも1年生の時から熱心に読んで，「エレガントな解答を求む」などをやっていた． このころ一番難しくてわからないと思った本は，ヘルマンダー「多変数複素解析学入門」だった． 友隣社や東大数学科の図書館にもこのころ行った．東大教養の自主セミナーでやっていた， "Topology from the differentiable viewpoint" (Milnor)にも出た．
272:１３２人目の素数さん
24/01/29 10:48:03.51 2qHwHFEV.net
>>271
>したり顔の主張をつぶしに行ったのが、私です
他人の文章のコピペじゃ、つぶせないけど
例えば>>259が要約でないというなら、何が決定的に足りないか示せば？
ダルブー積分が何だか分かってますか？定義確認してます？
>普段の勉強とセミナーの準備を混同して主張するやつがいるから、それを潰しに行ったのです
なんでそんなことでムキになるのかわからんけど
潰しに行ったとかいって、わけもわからず他人の文章コピペしてすましてたら
そりゃこういわれますよ
「で、要点は何？」
273:１３２人目の素数さん
24/01/29 10:48:24.33 ZP2RUSu3.net
麻布の出身では昔は
中村という先生が有名だった
274:１３２人目の素数さん
24/01/29 10:51:58.35 ZP2RUSu3.net
一高での数学の記憶と言えばやはり例の「事件」であろう。
それはメンゲこと田中正夫先生がレポート問題として出した、
「円環を平面で斜めに上手に切ると切り口が２つの相交わる円になることを示せ」という問題である。
私はそれを「真面目に」計算して、それでも一工夫を加えて、
田中先生のご著書「立体解析幾何学」によるものよりはかなり短い証明を得て満足していた。
ところが中村得之君はそれをベクトルを使って解き、
数行ですむ簡潔な解を示して、『これでいいんだよ』と言った。
僕は論理的には解っても情緒的にはあまり解った気がしなかった。
そこで私は自分には数学の才能がないことを悟って数学科を諦め、
才能がなくてもつぶしがききそうな物理学科を選んだ。 もっとも、
数学科へ進んだ中村君は後で『数学科で君と一緒でライバルになるのは困るなと思っていた』と言ってくれた。
275:１３２人目の素数さん
24/01/29 11:08:20.39 oZlKMp+8.net
>>271
>するりとうまく「体を入れ替える」話法
それをやろうとしたのは ID:F9Ii6wqO
でも他人の文章のコピペでごまかそうとしたのが失敗
ゼミで問われているのは、どこかのだれかの理解ではなく説明者自身の理解
そこが、まだわかってないみたいだね わけもわからずレスバに勝ちたいだけの人には
276:１３２人目の素数さん
24/01/29 11:16:49.79 0ceLSWdy.net
>>274
「「解析概論」では第１章練習問題(4)
「 x が無理数ならば f(x)=0、x=p/q が有理数（ p/q は既約分数で、q＞0 ）ならば f(x)= 1/q とする。
このようにして区域 ｘ＞0 において定義された函数 f(x) の連続性はどうであるか」
（文章は改訂第三版による）という問題が気に入った。
[解]は ｘ が有理数ならば x において不連続、ｘ が無理数ならば x において連続である。
私はこの関数のグラフを頭の中でイメージし、そのイメージをもとに ε-δ 論法で証明を組み立てた。
そして数学とはこういうものであるといたく感激した。」
この人は分かってるよ
分かってない人はグラフを描いて、そのあとなんも考えずにこういう
「いたるところで不連続」
ε-δ による連続性の定義が分かってなく、そもそも分かる気もない人の典型
積分でも同じことがいえる
上記の関数はリーマン可積分です
では、以下の関数は？
「xが有理数のとき１ 無理数のとき０」
277:１３２人目の素数さん
24/01/29 11:34:51.05 ZP2RUSu3.net
>>276
261へのレスは？
278:１３２人目の素数さん
24/01/29 11:49:05.89 2qHwHFEV.net
>>277
>>261の訂正は？
279:１３２人目の素数さん
24/01/29 12:41:17.99 ZP2RUSu3.net
>>278
261でないので代わりに訂正
>>259
kwsk
リーマン可積分⇒微分可能でない点の集合が測度０
の方がわからん
訂正
微分可能ーー＞連続
280:１３２人目の素数さん
24/01/29 12:58:59.63 BYlciRP1.net
>>279 ご苦労様
259ではないが、259のどこが問題なんだろう？
281:１３２人目の素数さん
24/01/29 14:22:10.91 +GqtUDRE.net
つまり主張は
Riemann可積分 ⇔ 連続でない点の(Lebesgue?)測度0
証明kwsk
282:１３２人目の素数さん
24/01/29 15:35:33.27 2GVFwqXV.net
>>281
>Riemann可積分 ⇔ 連続でない点の(Lebesgue?)測度0
Riemann可積分 ⇔ 連続でない点のLebesgue測度0
逆に言えば、不連続点のLebesgue測度が0より大きいとき、そのときに限りRiemann可積分でない、ってことだね
Darboux積分で上積分と下積分の差をある限界より小さくできない障害は不連続点
その測度が0でない場合は区分をいくら小さくしても上積分と下積分の差が0に収束させることができない
283:１３２人目の素数さん
24/01/29 20:50:26.35 GSuzGfk/.net
>>282
>その測度が0でない場合は区分をいくら小さくしても上積分と下積分の差が0に収>束させることができない
これは測度の定義からすぐ出せますか？
284:１３２人目の素数さん
24/01/29 21:26:10.19 /E26NdWV.net
>>283 ジョルダン外測度、ジョルダン内測度を用いる
285:１３２人目の素数さん
24/01/30 06:58:20.53 +E0UF9j4.net
>>284
測度の定義をきいたのではないよ
286:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:23:04.29 0O1eEeBq.net
>>283
>>その測度が0でない場合は区分をいくら小さくしても上積分と下積分の差が0に収束させることができない
>これは測度の定義からすぐ出せますか？
カンニングですが、下記ですね
（>>266より再録）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Riemann integral
Integrability
A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions). It has been proven independently by Giuseppe Vitali and by Henri Lebesgue in 1907, and uses the notion of measure zero, but makes use of neither Lebesgue's general measure or integral.
The integrability condition can be proven in various ways,[4][5][6][7] one of which is sketched below.
Proof
The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition.
One direction can be proven using the oscillation definition of continuity:[8] For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε. Since every point where f is discontinuous has a positive oscillation and vice versa, the set of points in [a, b], where f is discontinuous is equal to the union over {X1/n} for all natural numbers n.
つづく
287:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:23:57.32 0O1eEeBq.net
つづき
If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure. Thus there is some positive number c such that every countable collection of open intervals covering X1/n has a total length of at least c. In particular this is also true for every such finite collection of intervals. This remains true also for X1/n less a finite number of points (as a finite number of points can always be covered by a finite collection of intervals with arbitrarily small total length).
For every partition of [a, b], consider the set of intervals whose interiors include points from X1/n. These interiors consist of a finite open cover of X1/n, possibly up to a finite number of points (which may fall on interval edges). Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.
We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] ・・
(引用終り)
＜補足＞
１）Proofで、Darboux integral URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
に持ち込むのが、定石のようです
Darboux integralを見ると、"supとinf" URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp) 高校数学の美しい物語 sup(上限)とinf(下限)の意味，max・minとの違い 2022/08/15
この"supとinf"は、数学では常用の手筋ですね
２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zero→Darboux integral 不可」ですね
背理法ですね。”If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure.”
３）そして、測度0でなければ
”Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.”
を導きます
このとき、”oscillation ”URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
を使って、不連続の評価をしています。（不勉強で、”oscillation ”は初見でしたが、面白いですね。定石かも）
”For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε.”に続きます
つづく
288:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:24:24.41 0O1eEeBq.net
つづき
この後、We now prove the converse direction は、各自ご参照ください
余談ですが、ある数学者の本の奥付に、囲碁７段格とあって やりすぎと思いましたが
囲碁用語の定石＆手筋で、数学を説明すると 分かりやすい
この方の場合、囲碁も数学の役に立っているのではと思っています ^^)
以上
289:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:30:25.36 0O1eEeBq.net
>>287 訂正
２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zero→Darboux integral 不可」ですね
２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」ですね
290:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:40:54.25 0O1eEeBq.net
>>287-289 補足の補足
>２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」ですね
> 背理法ですね。”If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure.”
えーと、対偶だったな？ (>_<)
「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」
の対偶
「Darboux integral 可 → 不連続の点の集合がmeasure zero 」
で
Darboux integral 可＝Riemann integral 可
ですね
訂正追加か (>_<)
291:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:42:09.36 M4oEAf6o.net
>"supとinf"は、数学では常用の手筋ですね
それだけだとバカでもいえる
supとinfの差を0に近づけられるというのが、常用の手筋
といえばバカでないなとわかる
292:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:47:22.23 M4oEAf6o.net
コピペするからバカにされる
自分の言葉で書けばバカにされない
それ分からない奴は大バカ
293:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:53:58.53 0O1eEeBq.net
>>286 補足追加
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>Riemann integral
>Integrability
>A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions).
この”A bounded function on a compact interval [a, b]”
「コンパクト区間[ a , b ]上の有界関数」
この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
抜かすと、証明が複雑になる（反例がある？）
294:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:56:19.28 0O1eEeBq.net
>>291-292
漫才師か？ｗ
あんたは、ボケ役なのにｗｗ
必死にツッコミ役やっているｗｗｗ
295:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:56:53.20 0O1eEeBq.net
まあ、”手筋”の意味が分かってないみたいだ
296:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:58:16.85 Hz3OOh/7.net
>>293
>”A bounded function on a compact interval [a, b]”
>「コンパクト区間[ a , b ]上の有界関数」
>この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
あんたやっぱり大学入ったことないだろ？ 無知すぎる
297:１３２人目の素数さん
24/01/30 12:18:22.37 0O1eEeBq.net
>>259-260
>ちなみに>>253の証明なら以下
> ほとんど至るところで連続
>⇔ほとんど至るところの点を含むδ以内の区間でその中での関数の値の差がε以内になるようなものがとれ
> δを小さくすればするほどその区間の合計の長さが元の区間の長さに収束する
>⇔リーマン可積分
>
>不明確
>
>kwsk
>リーマン可積分⇒連続でない点の集合が測度０ >>279
>の方がわからん
戻ると
・いま仮に院試の口頭試問だとしましよう
試験官が「不明確」と言ったとする
・そうすると
a)ほとんど至るところを、”（※ f の不連続点全体の集合が零集合）”へ戻さないといけない
b)その上で、命題 PとQ 同値の定石として
P→Q ＆ Q→P の二つに分けて
証明をすること
・これをやらないと、合格点は出ないでしょう
別の試験官も”リーマン可積分⇒連続でない点の集合が測度０”を要求しているでしょ
298:１３２人目の素数さん
24/01/30 12:25:15.66 0O1eEeBq.net
>>296
>>この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
> あんたやっぱり大学入ったことないだろ？ 無知すぎる
>>259 より
ほとんど至るところで連続
⇔ほとんど至るところの点を含むδ以内の区間でその中での関数の値の差がε以内になるようなものがとれ
δを小さくすればするほどその区間の合計の長さが元の区間の長さに収束する
⇔リーマン可積分
(引用終り)
有界の条件を抜かしたアホは、だれでしょうか？
院試では、書かれたことが全てです
重要ポイントで書かれていないことがあれば、減点ですよ
院試なら、首が飛ぶ
普段から気を付けておかないとね
（というか、プロはこういうところは絶対に抜かさない）
299:１３２人目の素数さん
24/01/30 12:28:02.15 0O1eEeBq.net
>>297 リンク訂正
>>259-260
↓
>>259-261
300:１３２人目の素数さん
24/01/30 16:28:26.40 D5+SogOa.net
>>298
>有界の条件を抜かしたアホは、だれでしょうか？
リーマン積分の区間は有限ですが？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「リーマン積分は ℝn の有界集合上の関数に対して定義されるが、
積分範囲にある種の極限を考えることにより、広義リーマン積分が定義される。」
広義リーマン積分は（狭義の）リーマン積分ではないが、日本語読めない？
301:１３２人目の素数さん
24/01/30 18:45:37.71 0O1eEeBq.net
>>290 メモ
背理法について、下記の塩見浩三先生の説明が分かりやすいね
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.chart.co.jp)
数研通信（1号～50号） 【教授用資料】 数研出版
URLﾘﾝｸ(www.chart.co.jp)
数研通信 3号 数研出版
背理法の定義について（塩見浩三）(愛媛県立西条高等学校)[102KB]
(抜粋)
命題 A→Bを証明するのに
<背理法>
A＆Bの否定→矛盾
<対偶法>
Bの否定→Aの否定
背理法と対偶法とに共通する点は B否定 を仮定とすることであるが,
背理法の方が, B否定とAとを仮定として理論を進めるだけ
思考の自由性は多いといえよう。
(引用終り)
302:１３２人目の素数さん
24/01/30 21:32:56.37 /Fu1fOdw.net
>>300
>>有界の条件を抜かしたアホは、だれでしょうか？
> リーマン積分の区間は有限ですが？
>広義リーマン積分は（狭義の）リーマン積分ではないが、日本語読めない？
あらら、まるで漫才師のボケ役だね
”有界函数（関数）”が分からんの
>>296 >>この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
あなたも、>>253 「有界関数 f: I → R に対し」と書いたでしょｗ
英wikipedia >>293"A bounded function is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). "
このbounded functionが、有界関数です
区間は”on a compact interval [a, b]”だね
なお、区間の方では「関数の台」という大事な数学用語があるよ
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
有界函数
ある集合 X 上で定義される実数あるいは複素数値の函数 f が有界函数（ゆうかいかんすう、英: bounded function）であるとは、その値からなる集合が有界集合であることを言う。言い換えると、X 内のすべての x に対して
|f(x)| <= M
が成り立つような、x に依らない実数 M が存在することを言う。
しばしば、X 内のすべての x に対して
|f(x)| <= A が成立するとき、その函数は上界 A によって上から抑えられる（bounded above）と言い、そのような A が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、X 内のすべての x に対して
|f(x)| >= B が成立するとき、その函数は下界 B によって下から抑えられる（bounded below）と言い、そのような B が存在するときその函数は下に有界であるという。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
関数の台
函数の台（support）とは、その函数の値が 0 とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う[1]。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。また、何らかの意味で有界な台を備える函数は、様々な種類の双対に関する理論において主要な役割を担っている。
特異台
特にフーリエ解析の文脈では、超函数の特異台 (singular support) の研究に興味が持たれる。これは直観的には超函数が「その点で滑らかな函数になることができない」ような点全体の成す集合と解釈することができる。
例えば、ヘヴィサイドの階段函数のフーリエ変換は（点 x = 0 を外にすれば）定数の違いを除いて逆数函数 1/x と考えることができる。
層の理論における台
「アレクサンダー-スパニアー・コホモロジー（英語版）」も参照
カルタンの定義した位相空間 X 上の台の族 (family of supports) という抽象概念は層の理論によく馴染む。ポアンカレ双対性を非コンパクト多様体に拡張してやれば、「コンパクト台」の概念はこの双対性の片方から自然に入れることができる。
303:１３２人目の素数さん
24/01/30 21:37:52.73 /Fu1fOdw.net
>>302 タイポ訂正
|f(x)| <= A が成立するとき、その函数は上界 A によって上から抑えられる（bounded above）と言い、そのような A が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、X 内のすべての x に対して
|f(x)| >= B が成立するとき、その函数は下界 B によって下から抑えられる（bounded below）と言い、そのような B が存在するときその函数は下に有界であるという。
↓
f(x) <= A が成立するとき、その函数は上界 A によって上から抑えられる（bounded above）と言い、そのような A が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、X 内のすべての x に対して
f(x) >= B が成立するとき、その函数は下界 B によって下から抑えられる（bounded below）と言い、そのような B が存在するときその函数は下に有界であるという。
304:１３２人目の素数さん
24/01/31 00:03:18.45 xFIoSNei.net
定理 [0,1] 区間で定義された有界関数 f(x) で次は同値
(1) S = { x | f(x) は x=a で不連続 }の測度は0
(2) ∫01f(x)dx はリーマン可積分
(∵) f(x)が正値のとき示せば十分である。
[0,1]の分割 Δ に対して関数 m(Δ,x), M(Δ,x)を以下で定める
m(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
M(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
(1)を仮定する。まず
{ ( a,b ) | 0 ≦ b ≦ f(a), a は f(x) の連続点 }
= ∪Δ { ( a,b ) | 0 ≦ b ≦ m(Δ,a), a は f(x) の連続点 }
であり右辺は Lebesgue 可測集合だから f(x) はLebesgue 可測関数である。
さらに ξk ∈ Δ(k) をえらぶとき
∫01m(Δ,x)dx ≦ Σ f(ξk)|Δk| ≦ ∫01M(Δ,x)dx ...(*)
である。|Δ| → 0 のとき f(x) の連続点 x においてm(Δ,x) → f(x)、M(Δ,x) → f(x) であるから(*)の左辺、右辺はDCTにより∫01f(x)dxに収束する。よって f(x) は riemann 可積分である。
(1) を否定する。関数 ρ(x) を
ρ(x) = limsupt→x f(t) - liminft→x f(t)
でさだめる。仮定により正数 a>0 を集合
T = { x | ρ(x)>a }
が μ(T) > 0 を満たすようにとれる。
このとき分割 Δ にたいして
Σ { |Δk| | Δk∩T≠Φ } ≧ μ(T)
であり、 Δk∩T≠Φ である k に対して
M(Δ,x) - m(Δ,x) ≧ a
であるから結局
∫01M(Δ,x)dx - ∫01m(Δ,x)dx ≧ a
である。これが任意の分割Δについて成立するから f(x) はRiemann可測ではない。
305:１３２人目の素数さん
24/01/31 00:07:36.40 Rceb+sJ+.net
>>296
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>Riemann integral
>Integrability
後半の
”We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] For every ε, Xε is compact, as it is bounded (by a and b) and closed:”
が、いまいち分からないので、pdfを探すと下記
西谷達雄先生
Lebesque積分 講義録 がヒット
こっちの方がまだ分かる ；ｐ）
以下、下記西谷PDFより抜粋
・P10 "1.3零集合の定義と特徴づけ"が良いね
・P11 ”定義1.3.2ある性質(P)が適当な零集合を除けば成立しているとき，ほとんど至る所(P)が成立するといい，(P)a.e.(almosteverywhere)と略記する．”
・P12 "1.4基本補題"「ここで今後の考え方の基礎となる補題を２つ証明する．これらは非負の階段関数列の単調減少列があったとき，その積分値の零極限の存在と関数列自身の殆ど至る所での零極限の存在の同等性を主張するものである．」
・P13 "1.5 Lebesgueの判定条件 いままでの考察をRiemann積分可能性の判定に応用してみよう．"
（Darboux和使用）
・P14 "定理1.5.1f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．"
"証明：まずf(x)をRiemann積分可能としよう．Darbouxの定理1.1.1と系1.1.1によれば・・略"
・P16 "定理1.5.2 (Lebesgue)f(x)がRiemann積分可能であるための必要十分条件はf(x)の不連続点の集合が零集合となることである．
証明：最初にf(x)がx=x0で連続であるための必要十分条件は・・略
さて定理の証明に移る．f(x)をRiemann積分可能とすると，定理1.5.1よりf∼(x)=f(x)=f(x)=f(x)=f∼(x),a.e.従ってf(x)は殆ど至る所連続である．逆にf(x)が殆ど至る所で連続とする．このとき，殆どいたるところf∼(x)=f∼(x).従ってf(x)=f(x),a.e.ゆえに再び定理1.5.1よりf(x)はRiemann積分可能である．(証終)"
中途半端に、Lebesque積分やLebesque測度を使わずに証明しようとしているのかな？ en.wikipediaは
Darboux和（＝Darboux積分）は、使っている
(参考)
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
西谷達雄,Department of Mathematics Osaka University
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
Lebesque積分 講義録
306:１３２人目の素数さん
24/01/31 00:13:36.69 Rceb+sJ+.net
>>304
ありがとう
なるほど、すぐにはついていけないが (>_<)
これは、プロの仕事かな （＾＾；
307:１３２人目の素数さん
24/01/31 05:41:07.00 DDYM6ApU.net
>>306
>なるほど、すぐにはついていけないが (>_<)
さすが 高卒 頭わりいな
正則行列の条件も知らんくせに、
他人の発言に「有界関数って言ってねえ」と
わけもわからずケチつけるサル
サルに人間の数学が分かるわけねえわ
>>304
>m(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
>M(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
下はinfじゃなくsupだろ
M(Δ,x) = sup( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
308:１３２人目の素数さん
24/01/31 05:46:15.28 DDYM6ApU.net
>>306
>（＾＾；
高卒コピペザル「シキタカK」の一番ダメなところは
自分がわかってないことを認めず笑って誤魔化す点
自分を甘やかしてるうちは大学にも入れんし大学の数学も分からん
上関数と下関数の差がε未満になる範囲の
ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる、
そのときに限りリーマン可積分
309:１３２人目の素数さん
24/01/31 05:49:11.65 DDYM6ApU.net
「シキタカK」はまずマセマの大学基礎数学
そして線形代数・微分積分を読んで理解してくれ
ここに書き込むのはそれからだ
310:１３２人目の素数さん
24/01/31 05:54:13.58 DDYM6ApU.net
じゃあな
311:１３２人目の素数さん
24/01/31 07:32:50.61 Rceb+sJ+.net
>>307
>>>304
>>m(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
>>M(Δ,x) = inf( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
>
>下はinfじゃなくsupだろ
>M(Δ,x) = sup( f(t) | ∃k x,t ∈cl(Δ(k)) }
ありがと
さっそく赤ペンか
さすが数学科だなｗ
なんとなく、>>304は>>305の西谷達雄先生の
"1.5 Lebesgueの判定条件”
の略証をしてくれたんだ
という感じかな
使っている手筋は同じ気がする
312:１３２人目の素数さん
24/01/31 08:09:27.46 xFIoSNei.net
f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．
なにこれ？
313:１３２人目の素数さん
24/01/31 08:20:38.22 DhzORB/6.net
>>311
>使っている手筋は同じ気がする
手筋とかいう囲碁将棋用語 頭わるそう
>>312
>f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．
>なにこれ？
素人がわけもわからず漫然コピペした結果ｗ
左辺はfの下に傍線、右辺はfの上に傍線
意味はコピペした人に聞いて まあ答えられないからｗ
314:１３２人目の素数さん
24/01/31 08:25:47.43 KHrn6a9E.net
これからコピペ君のことは「小保方貼男」って呼ぼう
www.j-cast.com/2014/03/04198300.html?p=all
05年の論文では塩化カリウムを意味する「KCl」という記述が、
14年の理研の論文では「KC1」。
単語の最後が「l」（エル）から「1」（イチ）に変わり、意味のない単語になっている。
また、05年の論文では「トリプシン-エチレンジアミン四酢酸」を表す
「trypsin-ethylenediaminetetraacetic acid（EDTA）」という記述が、
理研の論文ではethylenediaminetetraacetic acidが消えて
「trypsin and EDTA (EDTA)」という記述になっている。
これらの表記ミスをめぐっては、
「コピペをしそこなったのでは」
との指摘も出ている。
315:１３２人目の素数さん
24/01/31 08:35:09.52 PITVxeMx.net
>>308
>上関数と下関数の差がε未満になる範囲の
>ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる、
>そのときに限りリーマン可積分
これならわかる。
労を多としたい。
316:１３２人目の素数さん
24/01/31 11:29:33.78 ywXXmR6V.net
>>315
>>上関数と下関数の差がε未満になる範囲の
>>ジョルダン外測度とジョルダン内測度の差が0になる、
>>そのときに限りリーマン可積分
>これならわかる。
>労を多としたい。
採点ご苦労様です
彼の精一杯でしょうかね
下記ですね。C.ジョルダンが，リーマン積分 (→定積分 ) の考え方をもとにして，ジョルダン測度を考えた
大学学部１年の教養数学であったような(テキストに絵があったか)
藤田博司の本（下記）では、リーマンは「測度という言葉は持っていなかったが（使っていない）、（ジョルダン）測度は分かっていた」みたいに書かれていたと思う
下記 浅野晃先生(関大)の”測度論ダイジェスト”を貼っておきますが、ジョルダン測度では
いまの リーマン積分条件＝不連続部が測度０ をすっきり理解することは難しいとありますね（当然ですが）
(参考)
URLﾘﾝｸ(kotobank.jp)
コトバンク ジョルダン測度 ブリタニカ国際大百科事典
C.ジョルダンは，リーマン積分 (→定積分 ) の考え方をもとにして，点集合の測度を定義した。ここで測度とは，直線上の点集合の長さ，平面上の点集合の面積，空間内の点集合の体積などを拡張した概念をさし，一般の m 次元空間における点集合の容積とでもいうべきものである。このジョルダンの測度を拡度ということもある。以下2次元の場合について述べる。平面上に有界な点集合 A が与えられているとき，各辺が座標軸に平行で1辺の長さが r の正方形の網 Δ をつくり，A をおおう。正方形の中で，A に含まれてしまうものの面積の総和を SΔ とし，A と少くとも1点を共有するものの面積の総和を S'Δ とすると SΔ＜S'Δ となる。ここで網の目を次第に細かく分割して，正方形の1辺の長さ r を0に収束させたとき，それぞれの極限値を
とすれば，S≦S′ である。このときの S を A のジョルダン内測度，S′ を A のジョルダン外測度という。特に等号が成り立つ場合 S＝S′ をジョルダン測度という。 A について S＝S′ が確定する場合，この A をジョルダン可測という。
(参考)>>239 再録
URLﾘﾝｸ(www.tenasaku.com)
『「集合と位相」をなぜ学ぶのか―数学の基礎として根づくまでの歴史』
藤田博司 技術評論社 2018
第2章 積分の再定義
2.3 リーマン積分
2.4 積分可能性をめぐる混乱
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
浅野晃の講義（2023年度秋学期の講義もあり）
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
2016年度秋学期 応用数学（解析）浅野晃 関西大学総合情報学部
第５部・測度論ダイジェスト
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
【講義プリント】ルベーグ測度と完全加法性 第１４回
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
【スライド】ルベーグ測度と完全加法性 第１４回
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
【講義プリント】ルベーグ積分 第１５回
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
【スライド】ルベーグ積分 第１５回
317:１３２人目の素数さん
24/01/31 12:00:11.78 zi9AnMjm.net
>>316
>採点ご苦労様です
>彼の精一杯でしょうかね
小保方貼男君がなんかいってる
318:１３２人目の素数さん
24/01/31 12:32:12.78 c0kMwWwH.net
>>316
>浅野晃(関大)の”測度論ダイジェスト”を貼っておきますが、
>ジョルダン測度では リーマン積分条件＝不連続部が測度０ をすっきり理解することは難しい
>とありますね（当然ですが）
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
【講義プリント】ルベーグ測度と完全加法性 第１４回
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
【スライド】ルベーグ測度と完全加法性 第１４回
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
【講義プリント】ルベーグ積分 第１５回
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
【スライド】ルベーグ積分 第１５回
どこにもそんな文章ありませんね
捏造はいけませんよ 小保方貼男君
319:１３２人目の素数さん
24/01/31 12:37:29.70 MCB2ti7K.net
小保方貼男君は、関数の連続性の定義もジョルダン測度の定義も
全く知らんし知る気もなくてfの下傍線も上傍線も見ずに漫然コピペする
剽窃家だから リーマン積分条件＝不連続部が測度０ なんて丸っきり分かるわけない
320:１３２人目の素数さん
24/02/01 06:26:14.00 Nb14vqxL.net
でも有界性にはこだわっていたようだ
321:１３２人目の素数さん
24/02/01 08:02:52.28 C3Vk+jLI.net
でも、fの下傍線と上傍線は気づかなかった・・・と
小保方貼男「センセ、センセ」（ゆっさゆっさ）
ダメですよ、巨○にだまされては
322:１３２人目の素数さん
24/02/01 10:10:09.27 nkXreRAg.net
>>321
落ちこぼれさん、ご苦労様です
＞でも、fの下傍線と上傍線は気づかなかった・・・と
・話は逆だよ
ここ５ｃｈは、通常の数学記号による議論には適さない
前から言っている通り
だから、５ｃｈで本格的な数学議論は、無理 ムリ むり ですよｗｗｗ
・例えば、和Σ記号はΣの上と下に数字で和の範囲を示すべきところ
同様に定積分記号∫ は、上と下に積分範囲を示すべきところ
ここ５ｃｈでは、それはできないのですｗ
・同様に、fの下傍線と上傍線を記号として表現することは不可
（２行ないし３行使えば絶対不可ではないが、おれはやらんよｗ）
・で上記の指摘は、>>305 西谷達雄先生(阪大) Lebesque積分 pdfからのコピー
P14 "定理1.5.1f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．"
だね
・これで、「f(x)=f(x),a.e.」で 下傍線と上傍線がコピーできていないって指摘だね
それは、当然想定内のことです（上記のΣや定積∫と類似だよ）
だから、原本URLと該当ページ P14 の箇所を見ろってことです
323:１３２人目の素数さん
24/02/01 10:38:51.20 nkXreRAg.net
>>320
>でも有界性にはこだわっていたようだ
・そうだよ
下記のδ関数のようなことを避けるために
・いまの議論の目的としては、１変数実関数f(x) で、閉区間[a,b]で有界
つまり｜f(x)｜＜M (Mはある正又は0の実数)としておけば十分です
・有界の制限を外すと、無用な下記δ関数のような議論を含むことになる
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ディラックのデルタ関数
ディラックのデルタ関数はデルタ超関数（英: delta distribution）あるいは単にディラックデルタ（英: Dirac's delta）とも呼ばれる。これを最初に定義して量子力学の定式化に用いた物理学者ポール・ディラックに因み、この名称が付いている。デルタ関数は古典的な意味での関数ではないシュワルツ超関数（英: distribution）の最初の例になっている。
ディラックのデルタの「関数」としての性質は、形式的に次のように述べることができる。まず、f(x) として実直線上常に一定の値 1 をとる関数をとり、デルタ関数をデルタ関数自身と f(x) = 1 との積であると見ることにより
∫－∞ +∞ δ(x)dx=1
である。一方、積分値が f の x = 0 での値にしかよらないことから
δ(x)dx=0 (x ≠0)}
でなければならないが、その上で積分値が 0 でない有限の値をとるためには
δ(0)=∞
が満たされなければならない。
324:１３２人目の素数さん
24/02/01 10:43:02.60 nkXreRAg.net
>>323 タイポ訂正
δ(x)dx=0 (x ≠0)}
↓
δ(x)=0 (x ≠0)
325:１３２人目の素数さん
24/02/01 10:47:13.12 AOu+kKRG.net
>>322
>ここ５ｃｈは、通常の数学記号による議論には適さない
>だから、５ｃｈで本格的な数学議論は、無理 ムリ むり ですよ
自分の不注意を掲示板のせいにするとはみっともない
>fの下傍線と上傍線を記号として表現することは不可
誰も見たまま書けとはいってない 区別できるように書けばいい
>指摘は、… pdfからのコピー
>P14 "定理1.5.1f(x)がRiemann積分可能であるためにはf(x)=f(x),a.e.となることが必要十分である．"
>で、「f(x)=f(x),a.e.」で 下傍線と上傍線がコピーできていないって指摘だね
そう、今言われて初めて気づいたんだろ ダメだよ、読まずにコピペは
>それは、当然想定内のことです
分かっていてなにもしないのは犯罪的行為
分かってなくてなにもしないのは怠慢
どっちがいいかい？ どっちも馬鹿だけどな
元祖小保方のKClをKC1とOCR変換し間違ったのをそのまま貼るくらい酷い
コピペも正しくできないド素人なんて数学板に書くなよｗｗｗｗｗｗｗ
326:１３２人目の素数さん
24/02/01 10:48:28.63 nkXreRAg.net
>>323 タイポ訂正追加
｜f(x)｜＜M (Mはある正又は0の実数)
↓
｜f(x)｜＜M (Mはある正の実数)
注）0はいらないね
327:１３２人目の素数さん
24/02/01 10:49:37.32 AOu+kKRG.net
>>323
こいつ、コピペもろくにできないわ、δ関数とかトンチンカンなこというわ、ほんと数学、初歩からわかってないな
328:１３２人目の素数さん
24/02/01 10:58:47.59 nkXreRAg.net
>>325
>>fの下傍線と上傍線を記号として表現することは不可
> 誰も見たまま書けとはいってない 区別できるように書けばいい
・それは、君の変態趣味だね
君は数学科で落ちこぼれ、アカデミックな数学の議論にあこがれて
この便所落書き５ｃｈでアカデミックな数学議論をしたいという
変態趣味を持っているなｗｗｗ
・悪いが、おれはそんな変態趣味はないよ
別に変態趣味を止はしないが、他人を巻き込むのは
勘弁なｗｗｗ
329:１３２人目の素数さん
24/02/01 11:09:20.70 nkXreRAg.net
>>327
ふふふ
ご苦労様です
君は、”おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」”（下記）
まともに相手をするつもりは、ないよ
(参考)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:5番)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）18
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」
(参考)
URLﾘﾝｸ(keiji-pro.com)
刑事事件マガジン
公開日：2018.5.10 更新日：2023.10.13その他
サイコパス（精神病質者）の10の特徴と診断基準｜実はあなたの周りに・・・？
サイコパスとは、「反社会性パーソナリティ障害」という精神病者のこと。
一般人と比べて著しく偏った考え方や行動を取り、対人コミュニケーションに支障をきたすパーソナリティ障害の一種で、サイコパスの主な症状として、感情の一部、特に他者への愛情や思いやりが欠如していることや、自己中心的である、道徳観念・倫理観・恐怖を感じないといったことが挙げられます。
330:１３２人目の素数さん
24/02/01 11:09:34.01 Nb14vqxL.net
>>328
この問題に限って言えば
どっちがまともなことを言っているかは明らかで
他のみんなも分かっていると思う
331:１３２人目の素数さん
24/02/01 11:15:14.40 vZQJEN8j.net
>>330
そだね
そもそも頼まれもしないのに
ドヤ顔でコピペした結果がこれ
得意のコピペで自爆って・・・
332:１３２人目の素数さん
24/02/01 11:19:14.93 J+1UkY4s.net
>>329
>サイコパスとは、「反社会性パーソナリティ障害」という精神病者のこと。
>一般人と比べて著しく偏った考え方や行動を取り、
>対人コミュニケーションに支障をきたすパーソナリティ障害の一種で、
>サイコパスの主な症状として、
>感情の一部、特に他者への愛情や思いやりが欠如していることや、
>自己中心的である、道徳観念・倫理観・恐怖を感じない
>といったことが挙げられます。
この件で、どっちが自己中心的で
道徳観念・倫理観が欠如してるかといえば
そりゃもう誰が見ても明らかでしょ
読まずにコピペ
誤りを指摘されると「掲示板が悪い」
333:１３２人目の素数さん
24/02/01 11:24:45.84 fwiD3n8+.net
自分の言葉で書いたら、正則行列と書くべきところを正方行列と書く自爆
それでは、と全コピペしたら、数式の下線と上線の存在すら気づかず自爆
まあわかりもせんのにわかってるとウソついてでも書こうする時点で自爆
さすがサイコパス
334:１３２人目の素数さん
24/02/01 18:35:53.97 nkXreRAg.net
>>333
なるほど
まだ、やる気かなｗ
ではｗｗ
(参考)
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
浅野 晃の講義 関大
URLﾘﾝｸ(racco.mikeneko.jp)
2016年度秋学期 応用数学（解析）
第１４回第５部・測度論ダイジェスト／
ルベーグ測度と完全加法性
測度論とは，「ものを測る」ことの本質を考える数学の分野です。長さ，面積，体積，質量など，ものを測るにはいろいろな測り方がありますが，これらをあわせて，何かを測った結果を測度(measure)といいます。測度論では，測るとは何か、測ることのできる集合とは何か，といったことを学びます。この「測度論ダイジェスト」第１回では，測度論誕生のきっかけになった「疑問」を説明し，集合の基本的な測り方であるルベーグ測度，測度の持つべき基本的な性質である完全加法性，そしてその帰結として現れてきた零集合について説明します。
積分に対する疑問定積分を習った時に，「任意のaについて，関数f(x)のaからaまでの積分は0，すなわち∫ a a f(x)dx=0である」すなわち「幅が0の積分は0」ということを習ったと思います。ということは，図1(a)のように，積分∫ q p f(x)dxから，pとqの間にあるaのところだけ幅0の線を抜き取っても，積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減らないということになります。幅0の積分は0なのだから，aの１カ所だけでなく，図1(b)のように幅0の線を何本抜き取っても，やはり積分の値，すなわち図のグレーの部分の面積は減らないはずです。ならば，pとqの間にあるすべての有理数の位置にある幅0の線を抜き取っても，すなわち可算無限個の線を抜き取っても，やはり面積は減らないのでしょうか？どうも納得いかない気がします。この疑問は，今までなんとなく考えてきた「幅」という概念を，より精密にとらえる必要があることを示しています。
ジョルダン測度これまで，定積分は「区分求積法」として習ったと思います。これは，ある関数の積分区間を「重なりのない，有限個の」区間に分けて，その上に，その関数のグラフの下の部分におさまるように配置した長方形（図
2(a)）と，グラフの下の部分を含むように配置した長方形（図2(b)）を考えます。
区間の分け方をさまざまに変えたとき，前者の配置での長方形の面積の上限をジョルダン内測度，後者の配置での長方形の面積の下限をジョルダン外測度といい，両者が一致するときそれをジョルダン測度といいます1。この例のような２次元の場合，このジョルダン測度をこれまで「面積」とよんできました。このように面積が測れる図形（一般には測度が定められる集合）をジョルダン可測であるといいます。
ルベーグ測度ジョルダン測度では「有限個の長方形」を考えています。一方，定積分の定義では，長方形の面積の「極限」を考えています。しかし，第４回の講義で説明した「極限」の意味を考えると，面積の極限を考えることは，無限個の長方形を考えることとは違うことがわかります。面積の極限とは，長方形を好きなだけ細かく分ければ，その極限に好きなだけ近づけることができる，という意味であって，あくまで有限個の長方形について想定されているものです。
つづく
335:１３２人目の素数さん
24/02/01 18:36:11.02 nkXreRAg.net
つづき
可算無限個の長方形を使った測度を考えます。図形（平面の有界な集合）Sを，重なりを許した
可算無限個の長方形I1,I2,...で覆ったとき，それらの長方形の面積I1, I2,...の和の下限inf ∞ ? i=1 IiをSのルベーグ外測度といい，m∗(S)で表します。
カラテオドリの意味の可測性もなりたつことが知られています。より一般的には，上の性質１～３を満たすm∗を外測度といい，それがある集合に対してカラテオドリの意味で可測であるとき，その集合を可測集合といい，その外測度を測度とよびます。
零集合と「ほとんどいたるところ」
ここまでの議論をふまえて，最初の「有理数全体の幅」の問題を考えます。ここまでは平面上の図形を長方形で覆うイメージを思い浮かべてきましたが，ここでは，数直線上のある集合を「区間」を組み合わせて覆うことを考えます。有理数は可算無限個あるので，ジョルダン測度の考え方で「幅」を考えることはできません。そこで，ルベーグ測度で考えます。有理数は可算ですから，通し番号をつけてa1,a2,...an...と表すことができます。ルベーグ測度の考えでは，有理数の集合が数直線上でもつ幅は，有理数全体を区間の組み合わせ（重なってもよいことに注意）で覆ったときの，区間の長さの合計の下限です。そこで，εを任意の正の数とし，a1を幅ε/2の区間で，a2を幅ε/2^2の区間で，・・・，anを幅ε/2^nの区間で覆うとします。このとき区間の長さの合計は
ε/2+ ε/2^2+・・ + ε/2^n+・・ =ε
となります。εは任意の正の数ですからいくらでも小さくすることができるので，区間の長さの合計の下限は0となります。すなわち，有理数全体のルベーグ測度は0となります。
したがって，最初の問題
で，積分区間内の有理数に対応する線を，積分からすべて抜き取っても，積分の値（面積）は変わらない，ということになります。ルベーグ測度に対する有理数の集合のように，測度が0である集合のことを零集合といいます。また，「測度0の集合を除いた部分で」ということを，ほとんどいたるところ5で，といいます。次回は，ルベーグ測度を基盤として構成された積分（ルベーグ積分）によって，これまで学んだ積分（リーマン積分）では表現できない積分を表すことを考えます。
(引用終り)
以上
336:１３２人目の素数さん
24/02/01 18:43:54.44 nkXreRAg.net
>>333
なるほど
まだ、やる気かなｗ
ではｗｗ
(参考)>>305
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
西谷達雄,Department of Mathematics Osaka University
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
Lebesque積分 講義録
P2
序
f(x)を区間[0,1]上の関数とするとき，f(x)の導関数f0(x)は関数列fn(x)=n(f(x+1/n)－f(x))のn→1のときの極限関数であり，f(x)の原始関数(の一つ)は関数列Fn(x)=Pn k=1f(kx/n)x/nの極限関数である．このように，関数列の極限として新たな関数を導入する，という考え方は解析学の真髄といってよい．Riemann積分は，この関数列の極限操作との相性があまり良くない．これらのことから予想されるように，Lebesgue積分は，関数列の極限を考える，という操作と(Riemann積分に比べて)相性がよく，様々な議論が簡略になる．Lebesgue積分が必要とされる基本的理由のうちのもう一つを説明しておこう．微積分学で学んだように，実数の全体は完備である，すなわち隙間なくつまっている，このことは微積分の展開における礎石であった．このことは，Cauchy列は必ず収束する，ということと同値でもあった．さて，[0,1]区間上でその絶対値がRiemann積分可能な関数の全体を考えてみよう．このような２つの関数f(x),g(x)の間の”距離”を
∫ 0～1 |f(x)－g(x)|dxで測ることは自然である．
今[0,1]上Riemann積分可能な関数列{fn}がこの距離でCauchy列になっているとする．
このときあるRiemann積分可能な関数f(x)があって
∫ 0～1 |fn(x)－f(x)|dx→0, n→1となるであろうか？
すなわちこのような関数の全体は完備であろうか？
残念ながらこのことは成立しない．これに対して，Lebesgueの意味で積分可能な関数の全体は完備である．
この事実は，Lebesgue積分可能な関数の全体の上で様々な解析をおこなうときに基本的な役割を果たす．
積分の一般論の構成方法としては，一般的には，Lebesgue方式とDaniell方式の２通りの方法がある．
Lebesgue方式(1902)では公理論的な測度論から出発し，そこから積分論を導く，という方法をとる．
一方Daniell方式(1918)では，基本関数族の上における基本積分の概念から出発し，まず積分論を構成し，積分論から測度理論を導く，という方法をとる．
ここではDaniell方式に従ってLebesgue積分論を解説することにする．
337:１３２人目の素数さん
24/02/01 18:47:48.22 nkXreRAg.net
>>336 文字化け訂正
∫ 0～1 |fn(x)－f(x)|dx→0, n→1となるであろうか？
↓
∫ 0～1 |fn(x)－f(x)|dx→0, n→∞となるであろうか？
338:１３２人目の素数さん
24/02/01 23:50:11.52 o51DrX5C.net
＜メモ＞
ルベーグ積分入門∗会田茂樹 東京大学
演習問題 6.2 リーマン積分可能 条件
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
ルベーグ積分入門∗会田茂樹 ∗2007.11.5版
P5
2リーマン積分2.1平面上の積分ここではリーマン積分の定義を思い出す。記述を簡単にするため、2次元(平面)の場合に述べるが、一般次元でも同じである。
S(f),s(f)については次のDarbouxの定理が基本的である。
定理2.2 略
注2.4 (1)f(x,y)が連続ならば可積分である。実は可積分になるための必要十分条件はf(x,y)の”不連続点の集合の測度ゼロ”ということが知られている。これについては演習問題6.2を参照せよ。
P28
6リーマン積分とルベーグ積分の関係
Ｐ29
演習問題 6.2 上の証明でf(x)=f(x)=f(x)a.e.x∈Iが示されたわけだが、これはf(x)がほとんどすべてのxで連続であることを示している。なぜか？また、逆に関数の不連続点全体の集合のルベーグ測度がゼロならばリーマン積分可能であることもわかる。これを証明してみよ。
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
会田茂樹のホームページ 講義のページ 過去分
chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
ルベーグ積分入門前編∗会田茂樹 平成24年
∗後編と前編に分けることにしました.前期の講義でFubiniの定理の紹介まで進みましたが,証明も含めた説明は後期,後編で行います.
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ルベーグ積分入門後編 会田茂樹 平成24年12月13日版∗
339:１３２人目の素数さん
24/02/02 06:01:09.72 MbjxqnZP.net
>>334 >>336
>なるほど
>まだ、やる気かなｗ
>ではｗｗ
小保方貼男「数学、わかってまぁ～す」
でも、あいかわらず、コピペで剽窃
しかも
>>338
>演習問題 6.2 上の証明でf(x)=f(x)=f(x)a.e.x∈Iが示されたわけだが
あいかわらず、全然直ってねえしｗ
f＿(x)=f(x)=f￣(x) だろ
あんた、高卒素人馬鹿？
340:１３２人目の素数さん
24/02/02 06:06:37.82 MbjxqnZP.net
もう nkXreRAg=o51DrX5C、は数学板のコピペ荒らしやめとけ
まず、マセマの大学基礎数学を読んだあと
線形代数、微分積分、複素関数、ベクトル解析を読め
URLﾘﾝｸ(books.mathema.jp)
341:１３２人目の素数さん
24/02/02 06:21:51.10 2SXac4JK.net
まずQのルベーグ測度が0であることの証明から
342:１３２人目の素数さん
24/02/02 08:01:06.73 gwJPvhUT.net
区間[0,1]中の既約分数の分母がm以下である有理数全体のジョルダン測度が0であることは明らかだが
343:１３２人目の素数さん
24/02/02 11:19:02.12 2SXac4JK.net
有限集合
344:１３２人目の素数さん
24/02/02 13:24:29.99 3jiIZ1yL.net
>>341-343
そだね
１）区間[0,1]中の数列、1/1,1/2,1/3,・・1/n・・→0 (n→∞)
が、無限列である。同様に次も無限 m/(m+1)∋[0,1]
２）さて、１点は測度0である。もし、0以外の有限測度cを与えると
加法則から数列 1/1,1/2,1/3,・・1/n・・の測度は（∞に）発散するので
区間[0,1]の測度が発散するので、まずい(背理法)
３）では、１点の加算無限和がどうなるか？
ところで、下記河東ゼミは「全部自分で考えろ」とは言っていない
”調べたり聞いたり”して、ゼミに望めという（自分で証明を考える力のある人は調べる必要はないが ；ｐ）
４）一つの答えが、下記のchiebukuro.yahooにある
これをよく見ると、>>335浅野晃の講義 関大 下記と同じ手筋です
『有理数は可算無限個あるので，ジョルダン測度の考え方で「幅」を考えることはできません。そこで，ルベーグ測度で考えます。有理数は可算ですから，通し番号をつけてa1,a2,...an...と表すことができます。ルベーグ測度の考えでは，有理数の集合が数直線上でもつ幅は，有理数全体を区間の組み合わせ（重なってもよいことに注意）で覆ったときの，区間の長さの合計の下限です。そこで，εを任意の正の数とし，a1を幅ε/2の区間で，a2を幅ε/2^2の区間で，・・・，anを幅ε/2^nの区間で覆うとします。このとき区間の長さの合計は
ε/2+ ε/2^2+・・ + ε/2^n+・・ =ε
となります。εは任意の正の数ですからいくらでも小さくすることができるので，区間の長さの合計の下限は0となります。すなわち，有理数全体のルベーグ測度は0となります。』
つまり、ε/2+ ε/2^2+・・ + ε/2^n+・・ =ε で、被覆幅を等比数列的に小さくする筋です
５）この筋は、下記の西谷達雄(阪大)Lebesque積分P10 『・零集合の高々可算個の和集合は再び零集合である．
Z1,...,Zn,...を零集合とするとき，任意の≤>0に対して，Znをε2^－nより小なる体積和をもつ高々可算個の区間で被覆できる．従って，これらの区間をすべてあわせれば，Z=∪i=1～∞ Ziは≤より小な体積和をもつ可算個の区間で被覆される』
６）ここで使われている手筋が二つある
a)加算集合→可附番（通し番号をつけて）
b)和を等比数列を使って小さく抑える
７）なお、>>338ルベーグ積分入門∗会田茂樹 ∗2007.11.5版(東大)では
P8で、『演習問題2.15 (1)Aiがルベーグ外測度ゼロの集合ならば∪i=1～∞ Aiのルベーグ外測度もゼロ。
(2)Aが可算集合ならばmL(A)=0』
と演習問題です ；ｐ）
つづく
345:１３２人目の素数さん
24/02/02 13:24:44.33 3jiIZ1yL.net
つづき
(参考)>>271より再録
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:11番)-18
河東泰之「セミナーの準備のしかたについて」は本当に正しいのか？
>また自分の知らない定理や定義を使っているところがあれば当然，調べたり聞いたりしなくてはいけません．
>定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
そういう修行はまっぴら御免という人は
数学科に入って数学者になろうなんて思うのが間違いだよ
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
chiebukuro.yahoo
ID非公開さん 2020/5/11
有理数全体の集合Qが測度0の集合すなわち零集合となることを証明せよ
この問題教えてください
got********さん
2020/5/11
有理数は可算集合であるから、すべての有理数を
q(1), q(2), q(3), ..., q(n), ...
のように番号づけすることができます。
このとき、任意のε>0 に対して
U(i)={x|q(i)ー((1/2)^i)ε < x < q(i)+((1/2)^i)ε}
とおけば、q(i)∈U(i) であって、
U=U(i=1, ∞)U(i) とおけば
有理数全体の集合Qは
Q⊂U
を満たし、
m(Q)<m(U)≦Σ(i=1, ∞)m(U(i))=Σ(i=1, ∞)((1/2)^i)ε=ε
となりますから、
m(Q)=0
となります
(参考)>>305
西谷達雄,阪大
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
Lebesque積分
(引用終り)
以上
346:１３２人目の素数さん
24/02/02 13:28:59.85 3jiIZ1yL.net
>>344 タイポ訂正
同様に次も無限 m/(m+1)∋[0,1]
↓
同様に次も無限 m/(m+1)∈[0,1]
347:１３２人目の素数さん
24/02/02 13:39:35.81 BIgXvsra.net
>>338
>関数の不連続点全体の集合のルベーグ測度がゼロならば
>リーマン積分可能であることもわかる。これを証明してみよ。
本当？
348:１３２人目の素数さん
24/02/02 14:17:00.71 3jiIZ1yL.net
>>347
>>>338
>>関数の不連続点全体の集合のルベーグ測度がゼロならば
>>リーマン積分可能であることもわかる。これを証明してみよ。
>本当？
本当です、というか
そこは >>345 西谷達雄,阪大 下記です
URLﾘﾝｸ(www4.math.sci.osaka-u.ac.jp)
Lebesque積分
P14
定理1.5.1 f(x)がRiemann積分可能であるためにはf＿(x)=f￣(x),a.e.となることが必要十分である．
P15
定理1.5.2 (Lebesgue) f(x)がRiemann積分可能であるための必要十分条件はf(x)の不連続点の集合が零集合となることである．
証明：最初にf(x)がx=x0で連続であるための必要十分条件はf∼(x0)= f(x0)=f∼(x0)の成立することである．
まずこれを確かめよう．
略
従ってf(x)はx=x0で連続である．
さて定理の証明に移る．f(x)をRiemann積分可能とすると，定理1.5.1よりf∼(x)=f＿(x)=f(x)=f￣(x)=f∼(x),a.e.従ってf(x)は殆ど至る所連続である．
逆にf(x)が殆ど至る所で連続とする．このとき，殆どいたるところf∼(x)=f∼(x).従ってf＿(x)=f￣(x),a.e.ゆえに再び定理1.5.1よりf(x)はRiemann積分可能である．
(証終)
349:１３２人目の素数さん
24/02/02 14:36:21.51 3jiIZ1yL.net
西谷 達雄先生
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
西谷 達雄
1990年 - 1994年大阪大学教養部 教授
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
西谷 達雄
- 1979年京都大学, 理学研究科, 数学
- 1979年京都大学
- 1974年京都大学, 理学部, 数学
- 1974年京都大学
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
解析学賞（かいせきがくしょう）は日本数学会解析学５分科会（函数論分科会、函数方程式論分科会、実函数論分科会、函数解析学分科会、統計数学分科会）により創設された学術賞。毎年3件以内の研究を選考する。2002年創設。受賞者には、賞状と賞金30万円が与えられる。
2009年度
西谷達雄（大阪大学大学院理学研究科）:双曲型偏微分方程式の初期値問題に関する適切性の研究
ついでに
2002年度
野口潤次郎（東京大学大学院数理科学研究科）:多変数値分布論と複素解析幾何学の研究
2003年度
泉正己（京都大学大学院理学研究科）:作用素環の部分環と群作用の研究
2006年度
小沢登高（東京大学大学院数理科学研究科）:II<sub1>-型因子環の構造解析
2007年度
会田茂樹（大阪大学大学院基礎工学研究科）:無限次元空間上の確率解析
350:１３２人目の素数さん
24/02/02 15:27:21.70 HeZp/tCF.net
>ここで使われている手筋が二つある
性懲りもなく手筋とかいう＊＊語を使う大＊＊素人
351:１３２人目の素数さん
24/02/02 15:29:27.01 HeZp/tCF.net
手筋足筋首筋目筋鼻筋耳筋口筋尻筋
352:１３２人目の素数さん
24/02/02 15:34:35.78 3jiIZ1yL.net
良く知られているが
”ルベーグ測度論において、カントール集合は非可算な零集合の例を与える[22]”
”カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]”
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カントール集合（カントールしゅうごう、英: Cantor set）は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミス（英語版）により発見され[1][注釈 1][4][5]、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された[6][7]:65。
性質
カントール集合はフラクタル図形の一種で自己相似性を持つ。フラクタル次元の一つであるハウスドルフ次元は log 2 / log 3 (= 0.6309297...) で、1 よりも小さい値を持つ[17]。カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[18]。
測度と確率
カントール集合は二進列全体の成すコンパクト群と見なせるから、自然なハール測度を備えている。カントール集合全体の測度を 1 に正規化するとき、それをコイントスの無限列のモデルとすることができる。さらに言えば、区間上の通常のルベーグ測度がカントール集合上のハール測度の像となることが示せる。他方、三進集合への自然な埋め込みでは特異測度の標準例となる。あるいはまた、このハール測度がカントール集合を適当な仕方で普遍確率空間とする任意の確率測度の像となることも示せる。
ルベーグ測度論において、カントール集合は非可算な零集合の例を与える[22]。
353:１３２人目の素数さん
24/02/02 18:11:23.44 3jiIZ1yL.net
再録 >>344-345
下記河東ゼミは「全部自分で考えろ」とは言っていない
”調べたり聞いたり”して、ゼミに望めという（自分で証明を考える力のある人は調べる必要はないが ；ｐ）
(参考)>>271より再録
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:11番)-18
河東泰之「セミナーの準備のしかたについて」は本当に正しいのか？
>また自分の知らない定理や定義を使っているところがあれば当然，調べたり聞いたりしなくてはいけません．
>定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
そういう修行はまっぴら御免という人は
数学科に入って数学者になろうなんて思うのが間違いだよ
(引用終り)
１）なんだか、何にも書けない数学科出身の落ちこぼれさんがいるぞｗ
２）自分で調べること、考えること、そして書くこと、それが出来ないのかな？ｗｗ
３）それじゃ、数学科で落ちこぼれは当然だわなｗｗｗ
４）タマゴとニワトリ。何にも書けないレベルの低さならば、落ちこぼれは当然だろうね QED ｗｗｗｗ ；ｐ）
354:１３２人目の素数さん
24/02/02 20:55:27.24 uvHkt/EG.net
会田茂樹先生、修士は応用物理か
確率論の大家ね。時枝の箱入り無数目に、速攻でダメ出しするだろうな
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
会田茂樹
東京工業大学 I類数学科 1986年3月卒業
東京工業大学大学院理工学研究科 応用物理学専攻修士課程修了 1988年3月
東京工業大学大学院理工学研究科 応用物理学専攻博士課程中退(2学年) 1990年3月
1990年4月-----1994年3月 東北大学理学部数学科助手
1994年4月から1999年3月まで東北大学大学院 情報科学研究科基礎数理学講座に所属。 ただし、1993年9月下旬から 1994年7月までは米国のMITに滞在、1994年9月下旬--11月終り まで英国のWarwick大学に滞在。
1999年4月から2003年3月まで 大阪大学大学院基礎工学研究科助教授
2003年4月から2010年3月まで同研究科教授
2010年4月から2017年3月まで東北大学大学院理学研究科数学専攻教授
2017年4月から東京大学大学院数理科学研究科教授
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
東京都生まれ、埼玉県育ち。 高校は埼玉県立川越高等学校卒業 (同校出身の数学研究者を二人知っています)。
1982年東京工業大学I類に入学。 山岳系のサークル、渓友会に所属。
学部は数学科に在籍し、4年生の時、藤原大輔教授のもとで関数解析の セミナーの指導を受けました。 当時から確率論の研究志望だったため、 藤原教授に応用物理学科の志賀徳造教授 を紹介して頂き、志賀教授の もとで確率論のセミナーの指導も受けました。 ですから、4年の時は、2つセミナーの指導を受けました。
大学院からは、応用物理学専攻に進学しました。 志賀教授が海外出張で不在のため、東大の楠岡教授 のセミナーに参加させてもらい、確率解析の指導を受けました。 氏は当時まだ助手でしたが、 楠岡研のメンバーは8人ほどもおり研究テーマも様々で 大変盛況でした。 修士1年のとき、メンバーのみんなと寝台車で熊本まで確率論のシンポジウムに 参加したのはなかなかよい思い出です。 楠岡教授が京大数理研に異動したこともあり、 私も博士課程2年(1989年6月〜1990年3月)のときに、京大数理研 の長期研究員として在籍させて頂きました。
1990年4月からは、東北大の助手として採用して頂き、 これまで全く縁が なかった東北に行くことになりました。 私は職を得てから博士の学位を取りましたが、 今は学位を取ってからでないとアカデミックポジションにつくのは 無理で、大きな違いがあります。 東北では確率論の研究者は、ほとんどいませんでしたが いろいろな分野の人から大変刺激を受けました。 また、助手になった年にICMが京都であり、 大変印象に残っています。 1994年4月から東北大学大学院情報科学研究科助教授となり、 5年間お世話になりました。 その後、大阪大学基礎工学研究科数理教室に移り、 11年間務め、東北大学在職期間より(2010年現在で) 長くいることになりました。 大阪は東京に次ぐ大都市ですが、大学がある場所が場所だからか、 非常に住みやすい所でした。 なお、私は、関西人ののりにそんなに辟易したことはありません。。。 そして、2010年4月から再び、東北大学数学教室に務めることになりました。
趣味
私の趣味は走る事(大阪では天竺川・神崎川周辺、仙台では広瀬川近辺を よく走ります)読書、映画を見る事。 最近は映画を見に行けていません