24/01/26 10:26:55.46 AgeuErjv.net
>>179
>シキタカKはワケワカコピペで何がしたいんだかｗ
金魚フンの君に説明しよう
・布石だよ、このスレでの将来の ベルグマン核、L^2解析などへ （囲碁と同じだ）
平地、小松が 検索で引っかかったから、メモをしておいた
・ところで、ある人が Feffermanの論文から Ｏ-竹腰拡張定理（ L2 拡張定理とも）を創出したという
平地 健吾氏>>174は、”強擬凸領域を１次元高いアンビエント空間 [3] とよばれるリッチ平坦ローレ
ンツ多様体に埋め込むアイディアを着想しました (Fefferman 自身はその後数年で研究分
野を大きく変えてしまいます)”とある
ここから、さらに検索をかけて、>>177 小松玄「ベルグマン核に現れる解析と幾何は怖くない」がヒットしたので
これも貼った
・余談ですが、Fefferman氏が 数年で研究分野を大きく変えてしまいます とあるから、彼はやったけど成果が出なかったので諦めたんだね
そこを深堀するとは、なかなかやりますね
ところで、金魚フンの評価も貼っておくよ（下記）
（君こそ、なにをしたいのだか。私に粘着しているだけの ”金魚フン”という評価が定着しているな）
(参考)
<河東泰之「セミナーの準備のしかたについて」は本当に正しいのか？>
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:971番)-974
0971１３２人目の素数さん
2024/01/19(金) 13:48:51.84ID:fKXwTfDI
自分一人が毎週発表する勉強ができないのか？と>>967は言ってる
要するにID:cbeVFClIは、そんな「過酷」な勉強は到底できない、と認めたわけだね
君には大学数学なんて到底無理だから
0972１３２人目の素数さん
2024/01/21(日) 21:49:36.94ID:SK2diD9F
>>971
馬鹿すぎるwww
四年からM1は毎週発表してたよ。
四年のゼミは二人で二人共毎週発表だったな。
二人共別の本読んでたしな。
ゼミのやり方なんて先生によっていろいろだよ。
やり方が決まっているとか勝手に決めつけるなよwww
0973１３２人目の素数さん
2024/01/21(日) 21:50:46.25ID:F4cQYtdZ
毎週発表が過酷ってwwww
0974１３２人目の素数さん
2024/01/21(日) 21:55:55.33ID:cJolHC01
大学数学無理とかwwww
大学数学無理でも査読論文くらい書けるって事だな
得意の思い込み決めつけwww
予想外れすぎてるぞ、数学板から消えたら？
184:１３２人目の素数さん
24/01/26 10:43:54.30 qj4py6g1.net
>>183
>布石だよ、このスレでの将来の・・・などへ （囲碁と同じだ）
いまだに正則行列も分からん奴がなにいってんだか
囲碁の話がしたいなら、囲碁板に書きな
URLﾘﾝｸ(medaka.5ch.net)
>・・・が 検索で引っかかったから、メモをしておいた
ナントカを覚えたサルですか？
>ところで、ある人が・・・から・・・を創出したという
でも正則行列知らずに還暦迎えた君の人生には全く無関係だよ
いままで学問しなかった人がこれからできるわけがない
君は学問に全く何の興味もない政治ゴロなんだから
あきらめて日本バンザイってわめいてればいいんだよ
>・・・は、”・・・を・・・ とよばれる・・・に●め●むアイディアを着想しました
> (・・・はその後数年で研究分野を大きく変えてしまいます)”とある
>ここから、さらに検索をかけて、
>・・・「・・・に現れる・・・と・・・は怖くない」がヒットしたので
>これも貼った
君に理解できない言葉を・・・にすると見事に何もなくなる
こりゃ全く意味ないな
>余談ですが、・・・氏が 数年で研究分野を大きく変えてしまいます
>とあるから、彼はやったけど成果が出なかったので諦めたんだね
ま、つまんなかったんだろうね
>そこを深堀するとは、・・・
つまんないことが好きな変態かもな
185:１３２人目の素数さん
24/01/26 10:52:03.64 qj4py6g1.net
>>183
河東泰之「セミナーの準備のしかたについて」は本当に正しいのか？
については向こうのスレッドで回答いたしましたので読んでね
まあ、検索コピペで喜んでるシキタカK君にはわからないだろうけど
186:１３２人目の素数さん
24/01/26 11:21:42.91 qj4py6g1.net
>つまんないことが好きな変態かもな
まあ、これは冗談だが
シキタカKは
「他人が諦めたところを深掘した」
としか言ってないから
「他人がつまらないと思ったところをわけもわからず穿った」
ととられても仕方ない
重要なのはアイデア そこを語らない書き込みは無駄だからやめとけ
187:１３２人目の素数さん
24/01/26 11:30:10.45 AgeuErjv.net
>>182
>最初の著書は「等角写像論」
>出版は1944年の12月
なるほど
「等角写像論」は、二次元流体力学の面からも重視されていました
航空機の翼に働く揚力が、等角写像のジューコフスキー変換で計算できるとかで（下記）
二次元流体力学と複素関数論が、結構相性がいいというもの のちに知りました（下記、応用超関数論 I・II 【著者】今井功）
(参考)
URLﾘﾝｸ(note.com)
流体力学 ジューコフスキー変換・翼（その1）
素人が伝えてみる機械工学ブログ
2023年6月16日 00:32
最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
第49回目は，「ジューコフスキー変換・翼」について紹介していきますが，「等角写像」の続きです。よって，等角写像の理論編と例題編を基に進めますので，以前の記事もご覧ください。
流体力学 等角写像（理論編）
URLﾘﾝｸ(www.phys.chuo-u.ac.jp)
中央大学 理工学研究科 物理学専攻 中野研究室
２０１１年度流体物理学講義ノート
URLﾘﾝｸ(www.phys.chuo-u.ac.jp)(2011).pdf
6 等角写像 中央大学 理工学研究科 物理学専攻 中野研究室
6.1 ２次元での座標変換
２次元空間での２組の座標
z = x + iy, ζ = ξ + iη (6.1)
を考える。ζ 空間での点 (ξ,η) は、写像
z = g(ζ) (6.2)
により、z 空間の点 (x, y) に写されるとする。すると z 空間での微小線分 dz は、ζ 空間での dζ
と次のように関係付けられる：
6.2 ジューコフスキー変換
6.3 翼に働く揚力
ジューコフスキー変換 (6.5) により、ζ 空間での半径 a の円
URLﾘﾝｸ(www.fukkan.com)
応用超関数論 I・II 【著者】今井功
この本で語られる超関数とは、Schwartsのdistributionに対して佐藤幹夫がCauchyの積分公式を一般化した形で与えたHyperfunctionです。理論流体力学の大家である今井功は、これを物理的解釈(渦層)で捉え、初等的な算術として整理する仕事を数理科学の連載で行いました。本書はそれを書籍化した内容となります。
URLﾘﾝｸ(www.fukkan.com)
GengaQ SurvivoR (2021/03/17)
大数学者佐藤幹夫の構築した佐藤超函数論への初等的な入門書である。実際、複素解析を勉強した者であればその延長で読める本であり、シュワルツの超函数論が測度論という数学者でない者には敷居の高い理論を下敷きにしているのと対照的である。物理や工学においても超函数は必須であるが、そのシュワルツ理論の厳密な基礎付けが難解であるが故に、怪しげな公式を孫引きして使っている人が多くいると思われる。佐藤の超函数論は複素解析を納めた者であればその基礎と計算は誰でも理解できるものであり、それ故にこの理論が生み出された国日本において普及していない現状を嘆くものであり、この本はその状況を打破し得る貴重な一冊であると信じる。
188:１３２人目の素数さん
24/01/26 11:35:06.23 +SZpIYXX.net
>>184
>ま、つまんなかったんだろうね
それはあなたの感想ですね
189:１３２人目の素数さん
24/01/26 11:40:12.51 qj4py6g1.net
>>188
他人の感想なんか書けませんや 感想に対して感想書いただけ
高卒シキタカKにいいなよ あいつは数学に興味なくて自国自慢したい●違いだから
190:１３２人目の素数さん
24/01/26 11:42:13.51 +SZpIYXX.net
つまんなかったのなら
評価もしなかったと思われる
191:１３２人目の素数さん
24/01/26 12:12:32.60 AgeuErjv.net
>>185
・人違いしているぞｗ
>>972（下記）は、別の人だよ
969以降には、私は書いておりません！
・そういう論点ズレ出まくりが、君が評価されない原因ですよ
（本来スレバトル目的ではなく、ゼミのあり方の議論が主であるべきとろだろ？）
・977氏の意見（下記）には、ある意味賛成です
”システム作りのできない”に
・そもそも、数学科の４年ゼミのシステムはいつから？
多分、戦前からで、ドイツあたりから入ったかも
・で、いま米国とかでは、この方式が主流なの？
米国以外でも、独とか仏とかは？
・日本の数学科の４年ゼミのシステムは、それなりに良い面はあると思うんだよね（続いてきたことには理由があると思う）
でも、システムを見直すのは、良いことだと思う（各国の４年ゼミみたいなのがどうかを、調べることからはじめてね）
もう、あそこには書きませんが
(参考)
<河東泰之「セミナーの準備のしかたについて」は本当に正しいのか？>
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:976番)-977
0976１３２人目の素数さん
2024/01/26(金) 10:49:34.18ID:qj4py6g1
>>972
馬鹿すぎるね コピペしか能がないシキタカK君は
もちろん、セミナーで毎週発表なんてザラにある
0977１３２人目の素数さん
2024/01/26(金) 11:01:37.38ID:/vMwx9gW
見返りも乏しいのに要求水準だけ厳しくして
組織を健全に発展維持できるわけがない
システム作りのできない日本の無能な大人（教員、大学関係者、文科省）たちのせいで
192:１３２人目の素数さん
24/01/26 13:59:57.39 AgeuErjv.net
>>191 タイポ訂正
（本来スレバトル目的ではなく、ゼミのあり方の議論が主であるべきとろだろ？）
↓
（本来スレバトル目的ではなく、ゼミのあり方の議論が主であるべきところだろ？）
193:１３２人目の素数さん
24/01/26 15:58:22.72 AgeuErjv.net
>>189
>高卒シキタカKにいいなよ あいつは数学に興味なくて自国自慢したい●違いだから
・いまや、多くの人が認識していると思うが、あらためて書いておく
１）君は異常に、反日＆反日本人で 少しでも日本および日本人礼賛があると反発する
２）君は異常に、数学を神格化して 数学科以外では理解できない難解なものとしている
・そして、その原因を考えると
１）君は某私大数学科へ入学するも
初日ガイダンスで思っていた数学科のイメージと違うことに気づき
”進路を間違ったかも”と思ったんだったね
２）”落ちこぼれた”が、なんとか数学科は卒業して修士は数学科内の情報系で修士卒
３）修士卒で企業就職した（情報系？（システム系？））
４）が、体をこわしたか何かで、退職し不遇に（メンタルをやられたのかも）
・これから導かれること
１）自分が不遇になったのは、日本＆日本人が悪い！（→反日＆反日本人になる）
２）自分が落ちこぼれた大学数学が、非数学科では理解できない（理解できるはずない）と思っている
・しかし見ていると性格だろうが
１）議論していても、スレバトルに勝ちたいためか どんどん論点・ロジックがズレる（ズラす？）
２）確かな根拠に基づかない議論が、頻発（”高卒”うんぬんだとか）
私の診断は
あなたは、数学に向いてない
というか、理系に向いてない
そう思うな
それだけロジック崩して平気なら
政治家かセールスマン向きじゃない？
194:１３２人目の素数さん
24/01/26 16:44:21.08 Jw+8rZQZ.net
>>191
某スレの972がシキタカK君でないことくらいご承知
972のいう「馬鹿すぎる」がシキタカK君に対する言葉と理解した上で
彼に完全同意した言葉が「馬鹿すぎるね」の相槌
>そもそも、数学科の４年ゼミのシステムはいつから？
>多分、戦前からで、ドイツあたりから入ったかも
>で、いま米国とかでは、この方式が主流なの？
>米国以外でも、独とか仏とかは？
河東氏のやり方は「欧米流」だろ
>日本の数学科の４年ゼミのシステムは、
>それなりに良い面はあると思うんだよね
>（続いてきたことには理由があると思う）
>でも、システムを見直すのは、良いことだと思う
>（各国の４年ゼミみたいなのがどうかを、調べることからはじめてね）
正則行列の定義すら答えられん素人馬鹿に迎合する必要はあるまい
195:１３２人目の素数さん
24/01/26 16:52:50.34 Jw+8rZQZ.net
>>193
>君は異常に、反日＆反日本人で 少しでも日本および日本人礼賛があると反発する
僕は反日とか反日本人とかじゃなくそもそも反国家、反民族なので
国家とか民族に対する馬鹿礼賛は嘲笑する 当然のこと
>君は異常に、数学を神格化して 数学科以外では理解できない難解なものとしている
まったく誤解だな
まず、数学は神でもなんでもない 数学を神格化したがってるのはむしろシキタカK君だろ
そして、数学は実は数学科でもよく理解できないｗ
数学科卒なのにガロア理論が理解できてなかった私がいうんだから間違いないｗｗ
しかし君のあまりにもアホな書き込みをただそうと学習したおかげで
ガウスの円分方程式論がどういうものか理解できたよ
その点だけは君に感謝しよう 君はまだ全然理解できてないみたいだけど
実にもったいないねｗｗｗ
196:１３２人目の素数さん
24/01/26 17:07:32.87 Jw+8rZQZ.net
>>193
>君は某私大数学科へ入学するも、初日ガイダンスで
>思っていた数学科のイメージと違うことに気づき
>”進路を間違ったかも”と思ったんだったね
いや シキタカK君は他人の言葉を正確に記憶できないようだね
そもそも、学科の初日ガイダンスなんてものはない
微分積分の最初の講義ではいきなり実数の定義から始まる
まあ、これが最初のカルチャー・ショックだねｗ
そして、私がいた大学では１年生から数学概論みたいな講義があるが
ここでやっぱり群論を教わって、
群だの部分群だの正規部分群だのといった定義を教わり、
群を正規部分群で割った剰余類が群になるとかいう定理を教わる
これまた、カルチャー・ショックだね
今、考えると他愛ないことではあるが
>”落ちこぼれた”が、なんとか数学科は卒業して
>修士は数学科内の情報系で修士卒
もともと数学者になりたいわけじゃなかったからそんなに熱心に勉強しなかったｗ
プログラマーもいいかと思ったから情報系に進んだ
>修士卒で企業就職した（情報系？（システム系？））
実はそういう会社には就職してない 結構ハードワークだと知ったので
まあ、就職はしたがね
>が、体をこわしたか何かで、退職し不遇に（メンタルをやられたのかも）
いや、いまだに同じ職場にいるよ
まあ、数学者にもならず結婚もせず出世もせず
という状況を「不遇」と表現したが
当の本人はそんなこと全く思ってないがね
で、君、正則行列も知らないのに就職して結婚して出世したのかい？
なら、いまさら数学に興味もたなくていいじゃん
君の人生に、数学は全く必要なかったんだからさ
ま、それは僕の人生にも言えることだけどねｗ
197:１３２人目の素数さん
24/01/26 17:12:28.32 Jw+8rZQZ.net
>>196
>自分が不遇になったのは、日本＆日本人が悪い！（→反日＆反日本人になる）
私個人はさておき、現代人が不遇だと思うがね
そしてそれは国家やら資本主義やらのせいだと思うがね
まあ、君は「勝ち組」なのかもしらんがね 数学以外ではｗｗｗ
>自分が落ちこぼれた大学数学が、非数学科では理解できない（理解できるはずない）と思っている
それはない
ただ、検索コピペしか能がないシキタカK君には理解できるはずがないとは思ってる
実際、大学１～２年レベルの基本的な数学でことごとく間違った
まあ、勉学意欲のない学生はそんなもんよ
そんなのが大卒とかいってるんだからちゃんちゃらおかしい
なにがメリトクラシーだか
198:１３２人目の素数さん
24/01/26 17:16:04.03 Jw+8rZQZ.net
>見ていると性格だろうが
>議論していても、スレバトルに勝ちたいためか
>どんどん論点・ロジックがズレる（ズラす？）
スレバトルではなくレスバトルね
で、勝ちたいために論点を変えるのはシキタカK君のお家芸ね
ロジック？君にそんなものはないでしょ
>確かな根拠に基づかない議論が、頻発（”高卒”うんぬんだとか）
大学の卒業証書をもっているかどうか？ということは実は意味がない
そもそも大学１～２年の一般教養で習ってることを、君は尽く知らない
それは高卒レベルってこと 証拠は君の過去の書き込み
だからいってるだろう？数学学びたいならマセマの本で勉強しなおせって
199:１３２人目の素数さん
24/01/26 17:17:51.22 Jw+8rZQZ.net
>私の診断は
>あなたは、数学に向いてない
>というか、理系に向いてない
>そう思うな
うん、シキタカK君に対する僕の診断も全く同じだよ
君は職業政治家にでもなったほうがよかった
まあ、僕はああいう人種を最も軽蔑しているがね
君にできそうなことはあんな「ブルシット・ジョブ」だろ
200:１３２人目の素数さん
24/01/26 17:21:43.45 Jw+8rZQZ.net
>それだけロジック崩して平気なら
そもそもロジックがないのはシキタカK君だと
自分にロジックがある？いやそれは最大の誤解であり妄想でしょｗ
>政治家かセールスマン向きじゃない？
ああ、ここでもシキタカK君に対する僕の考えと一致したね
で、君、会社ではもっぱら営業一筋でしょ？
君みたいな「日本バンザイ！経済成長バンザイ！」みたいな
おめでたいことを絶叫するのはだいたい営業の人って決まってる
技術者はそういう馬鹿なことをいわない・・・とはいわないが
まあそういうこというのは、もともとメンタルがおかしい人だけだねｗ
201:１３２人目の素数さん
24/01/26 21:03:29.85 oOBYvDaH.net
>>194-197
前にも書いたが、私は ここ５ｃｈに書かれたことを鵜呑みにしない
裏付けのある話なら信用するけどね
さて
>河東氏のやり方は「欧米流」だろ
数学界で、欧と米とは多分全く違うよ
欧も、独・仏・英・伊などで違うだろう
>>君は異常に、反日＆反日本人で 少しでも日本および日本人礼賛があると反発する
> 僕は反日とか反日本人とかじゃなくそもそも反国家、反民族なので
そうは見えない
多分、日本と日本人に対する怨念があると見える
>微分積分の最初の講義ではいきなり実数の定義から始まる
>まあ、これが最初のカルチャー・ショックだねｗ
前にも書いたと思うが、高校2年の数学教師が数学科出身でね
ことある毎に、「いまの収束の説明はゴマカシで、本当はε-δだ」というので
高校で”ε-δ”は独習した（河東の麻布中の劣化版だったみたいねｗ）
中学1年だったと思うが、数学教師が突然デデキントの切断の話をしてね
いま思い返すと、当時デデキントの『数とは何かそして何であるべきか』の訳本が出て読んだ話だったろう
”デデキントの切断”だけ、記憶に残っている
コーシー列による定義は、大学入学後に数学セミナーのバックナンバーを10年分くらい読んだときに
何度か出てきた気がする（細かいことは忘れたが、学部数学で苦労の記憶は無い）
>群だの部分群だの正規部分群だのといった定義を教わり、
>群を正規部分群で割った剰余類が群になるとかいう定理を教わる
>これまた、カルチャー・ショックだね
>今、考えると他愛ないことではあるが
数学では良くあるよね
馴れたらどうということが無いが
”商”とか言うんだよね、ほとんど”単なる類別”と思えば良いのにね
>>が、体をこわしたか何かで、退職し不遇に（メンタルをやられたのかも）
>いや、いまだに同じ職場にいるよ
>まあ、数学者にもならず結婚もせず出世もせず
>という状況を「不遇」と表現したが
>当の本人はそんなこと全く思ってないがね
違うな。記憶では
・「数学板に来ている数学科出身者は、みな不遇だ」
・「そう思うと、涙がでる」
と言ったと思う（過去ログ発掘は大変なのでやらないが（2016年ころと思う、7年くらい前だから））
思うに、君は日本経済のバブル崩壊時の就職氷河期で、非正規かな
（「いまだに同じ職場にいる」は、あやしいｗ）
> 私個人はさておき、現代人が不遇だと思うがね
そこらが、思考が粗雑と感じるところだよ
”∀現代人”とおくと、一人の反例で潰れるよね、あなたの主張はｗ
> ただ、検索コピペしか能がないシキタカK君には理解できるはずがないとは思ってる
そこらも、思考が粗雑と感じるところだよ
５ｃｈのこの板では、数学検定の問題解きっこする場ではないし
大学の成績表を晒す場でもないし
そもそも、他人が何を理解しているかを問題にすることが変です
他人が何を理解しているかって、名無しさん相手に問題にすることがへんだよ～！ｗｗｗ
202:１３２人目の素数さん
24/01/26 21:09:57.13 aRUJte5/.net
>シュワルツの超函数論が測度論という数学者でない者には敷居の高い理論を下敷きにしている
これは非常に大きな誤解だ
203:１３２人目の素数さん
24/01/26 23:47:24.08 oOBYvDaH.net
>>202
>>シュワルツの超函数論が測度論という数学者でない者には敷居の高い理論を下敷きにしている
>これは非常に大きな誤解だ
なるほど
ここにツッコミが入るとは、プロだね。御大か
いま手元に、「線形位相空間と一般関数 共立数学講座16」山中健（下記）があります
これは、結構良い本でして、シュワルツの超函数と佐藤のhyperfunctionとを
汎関数（＝一般関数）として、統一的に論じる本です
なので、「シュワルツの超函数論が測度論」は誤解ですね
一般関数は、英語ではgenerallized function です(下記)
山中先生の本の参考文献にも、ゲルファント、シーロフとかあって
当時のソ連（今ロシア）の文献が上がっています
佐藤スクールとソ連ゲルファント スクールとは
結構交流があったと、昔”猫”さんが、旧ガロアすれで言っていました
（下記 ”Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič; Vilenkin, Naum Jakovlevič (1964). Generalized Functions. Vol. I–VI”などが文献であがっています）
なお、ルベーグ積分でなく、普通のリーマン積分で間に合うようです
（リーマン積分でも ”測度”は当然使っていますが、”測度”という意識が無かっただけとか 藤田博司先生（愛媛大）が何かに書かれていました）
あと、”測度論”は大学 確率論で必要なので、「数学者でない者には敷居の高い理論」ではないです。私でさえ勉強しました ；ｐ）
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.meirinkanshoten.com)
線形位相空間と一般関数
【著者名 】山中健
【シリーズ】共立数学講座16
【発行年度】昭和41年
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Generalized function
In mathematics, generalized functions are objects extending the notion of functions. There is more than one recognized theory, for example the theory of distributions.
The early history is connected with some ideas on operational calculus, and more contemporary developments in certain directions are closely related to ideas of Mikio Sato, on what he calls algebraic analysis.
Books
Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič; Vilenkin, Naum Jakovlevič (1964). Generalized Functions. Vol. I–VI. Academic Press. OCLC 728079644.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超関数
204:１３２人目の素数さん
24/01/27 00:23:55.32 8mu8mYo+.net
>>201
>私は ここ５ｃｈに書かれたことを鵜呑みにしない
>裏付けのある話なら信用するけどね
みんな君がここ5chに書いたことを信じないけど
裏付けの無い思い込みばかりだから
例えば
>数学界で、欧と米とは多分全く違うよ
>欧も、独・仏・英・伊などで違うだろう
「多分」「だろう」で妄想語られても
みんな信じないよ
また
>>>君は異常に、反日＆反日本人で 少しでも日本および日本人礼賛があると反発する
>> 僕は反日とか反日本人とかじゃなくそもそも反国家、反民族なので
> そうは見えない 多分、日本と日本人に対する怨念があると見える
これもとにかく自国自慢したい君の妄想でしょ
自国自慢が嫌いなのであって地域としての自国が嫌いとはいってないのが読めないのかな
地域・文化と政府・民族は切り分けてね それできないと誰とも意味ある議論できないよ
205:１３２人目の素数さん
24/01/27 00:31:44.45 8mu8mYo+.net
>>201
>高校2年の数学教師が数学科出身でね
>ことある毎に、「いまの収束の説明はゴマカシで、本当はε-δだ」というので
>高校で”ε-δ”は独習した
ε-δは、関数の連続性の定義で、実数の定義ではないよ
わかってる？
>中学1年だったと思うが、数学教師が突然デデキントの切断の話をしてね
>いま思い返すと、当時デデキントの
>『数とは何かそして何であるべきか』
>の訳本が出て読んだ話だったろう
>”デデキントの切断”だけ、記憶に残っている
>コーシー列による定義は、大学入学後に
>数学セミナーのバックナンバーを
>10年分くらい読んだときに
>何度か出てきた気がする
「有理数集合の切断として実数を定義する」（デデキントの切断）とか
「有理数のコーシー列の同値類として実数を定義する」（カントルの基本列）とか
全く教えない大学があるんだね
いったい、どこの大学？
まあ、工学部か なら教えないか
どうせ生涯に一度も使うことないもんな
206:１３２人目の素数さん
24/01/27 00:55:28.40 8mu8mYo+.net
>>201
>>群だの部分群だの正規部分群だのといった定義を教わり、
>>群を正規部分群で割った剰余類が群になるとかいう定理を教わる
>>これまた、カルチャー・ショックだね
>>今、考えると他愛ないことではあるが
>数学では良くあるよね
>馴れたらどうということが無いが
>”商”とか言うんだよね、ほとんど”単なる類別”と思えば良いのにね
君、分かってないな
商とか類別とかなんて馬鹿でも分かるよ
問題は単なる部分群と正規部分群の違い
部分群でも剰余類による類別はできるよ
ただ左剰余類と右剰余類は一般に異なる
両者が一致する場合が正規部分群
まあ、ほかにも定義があるけど、みな同値だから
で、その上で、正規部分群の場合は
剰余類間の乗法が定義できて群になる
これを剰余群という
部分群の左剰余類もしくは右剰余類では
そんな演算は定義できない
まあ、このことはガロア理論で重要な意味を持つけど
つまり中間体Hのガロア群Gal(E/H)が
Gal(E/F)の正規部分群か否かで、
中間体HがFのガロア拡大になるかどうかがわかる
207:１３２人目の素数さん
24/01/27 00:59:15.44 8mu8mYo+.net
>５ｃｈのこの板では、
>数学検定の問題解きっこする場ではないし
問題解けないんだ・・・
>大学の成績表を晒す場でもないし
成績最低なんだ 優良可の可ばっかりとか
>そもそも、他人が何を理解しているかを問題にすることが変です
そもそも、自分が理解してないことをコピペするのがおかしいけどね
５ｃｈはカンニングペーパーじゃないし
208:１３２人目の素数さん
24/01/27 01:07:45.95 8mu8mYo+.net
>>201
>リーマン積分でも ”測度”は当然使っていますが、”測度”という意識が無かっただけとか
なんかリーマン積分とルベーグ積分の違いが分かってなさそう
まあ、ここの直感的な解釈の図でも見なよ
で、両者のどこでどう測度を使ってるか説明できるかい？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>”測度論”は大学 確率論で必要なので、
>「数学者でない者には敷居の高い理論」ではないです。
>私でさえ勉強しました
でも全然理解してなさそう
まあ、測度論が理解できなくても、
実際の確率計算の方法だけ覚えれば困らないからね
209:１３２人目の素数さん
24/01/27 06:17:57.83 l3IhlFhD.net
群論を学んだ時の
一種のカルチャーショックは
ジョルダン・ヘルダーの定理だった
210:１３２人目の素数さん
24/01/27 06:44:22.73 8mu8mYo+.net
>>209
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
「与えられた群の任意の組成列は同値であると主張する。
つまり、組成列の長さは等しく、組成因子も順序と同型の違いを除いて等しい。」
いってることは、特に驚きはないな ああ、やっぱり、って感じ
211:１３２人目の素数さん
24/01/27 06:57:27.07 l3IhlFhD.net
これを見て自分の中で群論の重みが増した
212:１３２人目の素数さん
24/01/27 06:58:48.45 l3IhlFhD.net
超関数論ではmeasuree theoryよりconvolutionが重要
213:１３２人目の素数さん
24/01/27 07:03:05.12 8mu8mYo+.net
>>211 それならわかる
>>212 それもわかる
214:１３２人目の素数さん
24/01/27 07:05:20.21 l3IhlFhD.net
タイポ
measuree ---> measure
215:１３２人目の素数さん
24/01/27 07:11:32.05 l3IhlFhD.net
クルル・レマク・シュミットはやや高級
216:１３２人目の素数さん
24/01/27 08:55:05.15 HL7mh5IY.net
>>204-208
>みんな君がここ5chに書いたことを信じないけど
>裏付けの無い思い込みばかりだから
・信じてもらう必要はない、というか数学では他人を信じるのは禁物だろう
如何に大先生のいうことでも 完成されたものではない、次の発展の芽を探らないとね。数学者になろうとする人は
・なお、常に裏付けはつける努力はしている。URLとそこからの抜粋を
>>数学界で、欧と米とは多分全く違うよ
>>欧も、独・仏・英・伊などで違うだろう
>「多分」「だろう」で妄想語られても
>みんな信じないよ
・逆だろｗ、数学界で「欧と米と」の違い分からんやつは勉強不足だよ
・独・仏・英・伊などで、みな違うよ
・それぞれ、歴史と伝統とプライドがある
>>>>君は異常に、反日＆反日本人で 少しでも日本および日本人礼賛があると反発する
>自国自慢が嫌いなのであって地域としての自国が嫌いとはいってないのが読めないのかな
いやいや、日本に対する君の反応はどこかの国で「反日教育で育った人」を思わせるｗ
>「有理数のコーシー列の同値類として実数を定義する」（カントルの基本列）とか
>全く教えない大学があるんだね
・大学の最初のガイダンスで「大学は自分で勉強するところ」と言われて
なるほどと思い実行している
>商とか類別とかなんて馬鹿でも分かるよ
>問題は単なる部分群と正規部分群の違い
・話は逆
・”同値類たちの集合，を S の ～ による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び，S/～ と表記する．”URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
・正規部分群の場合には、商集合が再び群を成すということ
・この二段階に分けて理解することが重要
>５ｃｈはカンニングペーパーじゃないし
５ｃｈは私のメモ帳ですｗ ；ｐ）
> まあ、測度論が理解できなくても、
> 実際の確率計算の方法だけ覚えれば困らないからね
・だから君は、時枝の「箱入り無数目」で間違えたのです！ｗ
217:１３２人目の素数さん
24/01/27 09:10:32.07 cr5N4FF5.net
セタは頭悪いな
218:１３２人目の素数さん
24/01/27 09:11:31.99 cr5N4FF5.net
琵琶湖に「セタシジミ」ってのがあるらしい
セタの起源はその辺りか？！ｗ
219:１３２人目の素数さん
24/01/27 09:13:57.04 HL7mh5IY.net
>>215
>クルル・レマク・シュミットはやや高級
なるほど
de.wikipedia にありますね
ja.wikipedia
↓
en.wikipedia
↓
de.wikipedia
と辿りました
（参考）
URLﾘﾝｸ(de.wikipedia.org)
Satz von Krull-Remak-Schmidt
Der Satz von Krull-Remak-Schmidt ist ein wichtiger Satz in der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Er besagt, dass sich unter bestimmten Endlichkeitsvoraussetzungen Gruppen bzw. Moduln im Wesentlichen eindeutig als direktes Produkt ihrer unzerlegbaren Untergruppen bzw. Untermoduln schreiben lassen.
（Edge訳）
The Krull–Remak–Schmidt theorem is an important theorem in algebra, a branch of mathematics. It states that, under certain finiteness conditions, groups or modules can essentially be written unambiguously as a direct product of their indecomposable subgroups or submodules.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Krull–Schmidt theorem
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クルル・シュミットの定理
220:１３２人目の素数さん
24/01/27 09:47:45.62 HL7mh5IY.net
>>212
>超関数論ではmeasuree theoryよりconvolutionが重要
そうそう
convolution＝畳み込み
ですね。下記を貼っておきます
なお、下記「シュワルツ超函数論の成功に刺激を受けて佐藤超函数 (hyperfunction) の概念が生み出された。テスト函数には正則函数の空間が用いられる」
です
また、「広義の函数としての超函数 (generalized function) は1935年セルゲイ・ソボレフによって導入されたが、その後1940年代になって・・」
とあって、当時のソ連としては ”generalized function”を、Gelʹfand>>203らが熱心にやったのですね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
シュワルツ超函数
シュワルツ超函数（英: distribution; 分布）あるいは超函数（英: generalized function; 広義の函数）は、函数の一般化となる数学的対象である。シュワルツ超函数の概念は、古典的な意味での導函数を持たない函数に対しても微分を可能とする。特に、任意の局所可積分函数は超函数の意味で微分可能である。シュワルツ超函数は偏微分方程式の弱解（広義の解）の定式化に広く用いられる。古典的な意味での解（真の解）が存在しないか構成が非常に困難であるような場合でも、その微分方程式の超函数解はしばしばより容易に求まる。シュワルツ超函数の概念は、多くの問題が自然に解や初期条件がディラック・デルタのような超函数となるような偏微分方程式として定式化される物理学や工学においても重要である。
広義の函数としての超函数 (generalized function) は1935年セルゲイ・ソボレフによって導入されたが、その後1940年代になって一貫した超函数論を展開するローラン・シュヴァルツによって再導入される。
超函数(distribution)の拡張の一つとして、佐藤超函数があるとみなすことができる。
基本的な考え方
基本的な考え方は、函数を適当な「テスト函数」（扱いやすくよい振舞いをする函数）の空間上の抽象線型汎函数と同一視することである。超函数に対する作用・演算は、それをテスト函数へ移行することによって理解することができる。
例えば、f: R → R を局所可積分函数、φ: R → R をコンパクトな台を持つ（すなわちある有界集合の外側で恒等的に 0 となる）滑らかな函数（つまり無限回微分可能な函数）とする。函数 φ が「テスト函数」である。このとき、
＜f,φ＞ = ∫R fφ dx
は φ に関して線型かつ連続に変化する実数である。それゆえに、函数 f を「テスト函数」全体の成すベクトル空間上の連続線型汎函数と看做すことができる。
畳み込み
テスト函数と超函数との畳み込み
テスト函数として正則函数を用いること
シュワルツ超函数論の成功に刺激を受けて佐藤超函数 (hyperfunction) の概念が生み出された。テスト函数には正則函数の空間が用いられる。この精錬された理論は特に、層の理論や多変数複素解析を駆使する佐藤幹夫の代数解析学によって発展した。これにより、例えばファインマンの経路積分のような形式的な方法の範疇にあったものが、厳密な数学として扱えるようになった。
221:１３２人目の素数さん
24/01/27 10:18:21.62 8mu8mYo+.net
>>216
>数学では他人を信じるのは禁物だろう
>如何に大先生のいうことでも 完成されたものではない
>なお、常に裏付けはつける努力はしている。URLとそこからの抜粋を
矛盾ですな
「大先生」も誤ると認めるなら、
「「大先生」曰く」というURLは裏付けでないと認めたことになる
シキタカK君にロジックがない、というのはそこ
レスバトルに勝ちたいためにその場その場で
「いいこと」いうからそれらが互いに矛盾する
222:１３２人目の素数さん
24/01/27 10:22:10.66 8mu8mYo+.net
>>216
>・数学界で「欧と米と」の違い分からんやつは勉強不足だよ
>・独・仏・英・伊などで、みな違うよ
>・それぞれ、歴史と伝統とプライドがある
「国家のプライド」とかいう「病んだ自己愛」には興味ないですな
>日本に対する君の反応はどこかの国で「反日教育で育った人」を思わせる
日本で教育を受けましたがね
反国家的？まあ、支配側の人でない限り反国家的でしょう
国家の奴隷になって何が得なんですか？
223:１３２人目の素数さん
24/01/27 10:29:52.66 HL7mh5IY.net
>>221
>>数学では他人を信じるのは禁物だろう
>>如何に大先生のいうことでも 完成されたものではない
>>なお、常に裏付けはつける努力はしている。URLとそこからの抜粋を
>
>矛盾ですな
>「大先生」も誤ると認めるなら、
>「「大先生」曰く」というURLは裏付けでないと認めたことになる
矛盾ではない
確率論で証明しよう
・いま、単純に「人が間違う確率を1/2(=0.5)」とする
すると、ある事柄に対して、二人とも間違う確率は、(1/2)^2＝1/4(=0.25)
・つまり、一人のいうことが正しい確率が0.5から
裏付けのあることは、正しい確率が0.75へアップしているってことだ
・もし、裏付けが 「大先生」で、間違う確率が0.1とすると
ある人の主張 0.5と0.1の積 ＝0.05から
「大先生」の裏付けのあることは、正しい確率が0.95へアップしているってことだね
QED ；ｐ）
224:１３２人目の素数さん
24/01/27 10:30:27.96 8mu8mYo+.net
>”同値類たちの集合，を S の ～ による商集合あるいは商空間と呼び，S/～ と表記する．”
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>正規部分群の場合には、商集合が再び群を成すということ
>この二段階に分けて理解することが重要
二段階は否定してないが
シキタカK君にとって、第一段階の商集合が「カルチャーショック」だったというのがよくわかった
僕はそこは「ふーん」で終わったけど
むしろ第二段階で
「部分群による左同値類と右同値類が同じになるとは限らない？
で、同じになる場合は、同値類同士の演算が群を為す？
おお、なるほど！数学ってこんな”細かいこと”まで考えてるんですね！
で、これ何に使うんですか？」
というのが「カルチャーショック」
225:１３２人目の素数さん
24/01/27 10:37:10.06 8mu8mYo+.net
>>224
>>矛盾ですな
>>「大先生」も誤ると認めるなら、
>>「「大先生」曰く」というURLは裏付けでないと認めたことになる
>矛盾ではない
>確率論で証明しよう
シキタカK君の不得意な確率論で、かい？
>いま、単純に「人が間違う確率を1/2(=0.5)」とする
>すると、ある事柄に対して、二人とも間違う確率は、(1/2)^2＝1/4(=0.25)
>つまり、一人のいうことが正しい確率が0.5から
>裏付けのあることは、正しい確率が0.75へアップしているってことだ
>もし、裏付けが 「大先生」で、間違う確率が0.1とすると
>ある人の主張 0.5と0.1の積 ＝0.05から
>「大先生」の裏付けのあることは、
>正しい確率が0.95へアップしているってことだね
はい、間違い
人が間違う確率を勝手に決めるのはまあ許そう
しかし２人のそれぞれが間違うのが独立事象だというのは
確率論の前提ではなく、君が勝手に前提してること
したがって「確率論で説明」したのではなく
「俺様の幼稚な前提で説明」したというにすぎない
まあ、高卒レベルのお粗末な説明だね
工学部ではこんなお粗末な前提で物事を考えてるのかい？
それはダメだろ
226:１３２人目の素数さん
24/01/27 10:41:57.25 8mu8mYo+.net
>>220
超関数に関するカンニングコピペはいいから
リーマン積分とルベーグ積分
それぞれどこでどう測度を使ってるか
説明してくれる？
藤田博司さんは、ウソついてないよ
で、シキタカK君、その言葉の意味を正しく理解してる？
227:１３２人目の素数さん
24/01/27 10:50:28.84 HL7mh5IY.net
>>222
>>日本に対する君の反応はどこかの国で「反日教育で育った人」を思わせる
> 日本で教育を受けましたがね
> 反国家的？まあ、支配側の人でない限り反国家的でしょう
> 国家の奴隷になって何が得なんですか？
・君は、自称 無政府主義のアナーキストだったね
その”反日”は、アナーキストだけでは とても説明しきれないだろう
・ところで、支配側の人と被支配側との、二分法が正しいかどうかだ？
例えば、東大数学科から日銀総裁になった植田和男氏は 支配側の人？ｗ
・さらに、いま100人の村で考えよう。100人全員数学者では村は成り立たないｗ
農業の人、商売人、警察官、医者・・ いろんな人が居て、村が成り立つ
・村を大きくすれば市になり、もっと大きくすれば国になる
みんなで、国を支えているんじゃないですか？
支配側の人と被支配側との、二分法が正しいかどうかだね
まあ、自称 無政府主義のアナーキストの君の主張に賛同する人は少ないだろう
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
植田和男（うえだ かずお、1951年〈昭和26年〉9月20日 - ）は、日本の経済学者[1]。第32代日本銀行総裁。
人物・経歴
2008年7月
東京教育大学附属駒場高等学校（現筑波大学附属駒場高等学校）卒業。東京大学理学部、同大学経済学部卒業。
学歴
1974年 東京大学理学部数学科卒業、東京大学経済学部へ学士入学
228:１３２人目の素数さん
24/01/27 11:01:36.26 HL7mh5IY.net
>>225
> はい、間違い
> 人が間違う確率を勝手に決めるのはまあ許そう
> しかし２人のそれぞれが間違うのが独立事象だというのは
> 確率論の前提ではなく、君が勝手に前提してること
> したがって「確率論で説明」したのではなく
違うな
１）”説明した”ではなく、”証明した”だ
なお、”証明”はダジャレで 笑いをさそうネタですｗ
２）社会で現実に起こっていることを議論するとき、たいていは なんらかの単純化が必要です
例えば、「日米関係」を議論するときに
リアル界の日本、リアル界の米国
これらを そのままでは議論できないのです（現実はいきもので、多様ですから）
日と米を単純化しないと、議論が始らない
そして、その議論が正しいかどうかは、時間が経ってみないとわからない（神のみぞ知る）
３）その類いで、確率論を笑いのネタに使いましたｗ
以上
229:１３２人目の素数さん
24/01/27 11:23:08.88 HL7mh5IY.net
>>224
>むしろ第二段階で
>「部分群による左同値類と右同値類が同じになるとは限らない？
> で、同じになる場合は、同値類同士の演算が群を為す？
> おお、なるほど！数学ってこんな”細かいこと”まで考えてるんですね！
> で、これ何に使うんですか？」
> というのが「カルチャーショック」
・そっちかｗ
そこ、19～20歳のガロアが考えて、シュバリエへの手紙で遺書として残したってことに
「カルチャーショック」を受けてくれ（下記）
・そうすれば、ガロアも草葉の陰で喜ぶだろう
(参考)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:768番)
0768現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
2019/10/09
（参考）
URLﾘﾝｸ(plaza.rakuten.co.jp)
2010.01.13 オーギュスト・シュバリエへの手紙(ガロアによる）バード6787さん
(抜粋)
Ｇの夢より URLﾘﾝｸ(galois.motion.ne.jp)
Ａ「２００年前の手紙にも、説明が書いてある。こんな風に。
群Ｇが群Ｈを含むとき、群Ｇは
Ｇ = H + HS + HS' + ･･･
と、Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる組へと分解されるし、また
Ｇ = H + TH + T'H + ･･･
と、同じ置換にＨの順列を掛けて作られる組へとも分解される。
この２通りの分解は、通常は、一致しない。一致するときが、固有分解と呼ばれるものだ。
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
象が転んだ
たかがブロク､されどブロク
ガウスとアーベルから受け継いだガロア理論〜エヴァリスト･ガロアを巡る旅､その１４
2021年05月24日 04時17分48秒 | エヴァリスト･ガロア
決闘前夜の3つの論文と遺書
ガロアは､方程式の解を互いに置き換える操作(置換)を群と考え､この置換群(後のガロア群)の性質を調べさえすれれば､方程式が係数の四則演算とべき根だけで解けるかどうかを判定できるのではと考えました。
この置換群(ガロア群)の部分群が正規部分群(右剰余類=左剰余類)の時､その剰余類(”その12”を参照)は群となり､剰余類群の位数(元の個数)が素数の時に巡回群となり､その既約方程式はべき根で解ける。
つまり､ガロア拡大体の中で置換群は正規部分群へと縮小する。この正規部分群の発見こそがガロア理論の集約です。
また､方程式がべき根で解ける様な条件を満たす群を可解群と呼び､この言葉を使えば､”方程式がべき根で解ける⇔ガロア群(置換群)が可解群”こそが､ガロアの結論となります。
230:１３２人目の素数さん
24/01/27 11:54:51.62 HL7mh5IY.net
>>212
>超関数論ではmeasuree theoryよりconvolutionが重要
convolution＝畳み込み の追加
追伸：小松彦三郎先生の「Laplace超函数による微分方程式の解法」は、見事ですね。感心しました
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
フーリエ変換と超関数 木田良才2020年2月28日
第3講L2関数のフーリエ変換 . .33
3.1ヒルベルト空間とその完全正規直交系......... 33
3.2 L2(T)の場合............ . . 35
第III部シュワルツ超関数93第9講序論 . .95
9.1超関数とその動機............ . . 95
9.2微分............... 98
9.3微分の計算例............. . 100
第10講たたみ込み . .105
10.1テスト関数とのたたみ込み........... 105
10.2超関数の台............. . . 107
10.3コンパクト台をもつ超関数とのたたみ込み........ 109
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録935巻1996年21-52
Laplace超函数による微分方程式の解法 東京大学大学院数理科学研究科 小松彦三郎
P30
6.たたみこみ
（おまけ）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録1028巻1998年25-41
複素領域のたたみ込み方程式 千葉大理 岡田靖則(YasunoriOkada) *
概要たたみ込み積について復習し,複素領域におけるたたみ込み作用素とはどういう作用素かを調べる.さらにFourier-Borel解析を紹介し,整函数に関する理論のいくつかを仮定して,とくに管状領域における,たたみ込み方程式の可解性と解の延長問題について論じる.
231:１３２人目の素数さん
24/01/27 13:09:40.41 HL7mh5IY.net
>>230
>(参考)
>URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
>フーリエ変換と超関数 木田良才2020年2月28日
第0講ルベーグ積分 引用の最後
「本来,可測関数のルベーグ積分はルベーグ測度に基づいて定義されるので,ここでの説明とは逆の順序で論理が展開される」
これが ”オチ”かよｗ
木田良才先生は、関西人だな
(抜粋)
目次
序文v
第0講ルベーグ積分 1
序文このノートは2016,2017年度の東京大学理学部数学科向けの講義と2017,2018,2019年度の東京大学教養学部統合自然科学科向けの講義に基づいている.ともに3年生を主対象にした講義であり,主題はフーリエ解析と超関数である.
第0講ルベーグ積分
ユークリッド空間上にはたくさんの関数が存在するが, 目的に応じた関数に対して積分が定義で
きれば十分である. この講義で扱う関数は大抵, 連続なものを切り貼りしたり, もしくはその極限
として表されるものである. そのような関数は可測という性質をもっており, 常識的に定義される
関数はすべて可測と思ってよい. 選択公理を使えば可測でない関数の例を作ることは可能だが, こ
の講義で扱う関数については, それが可測でないことを心配する必要はまずない.
ルベーグ積分論がすっきりしている理由の一つは, どんな非負値可測関数に対してもその積分値
が, +1 になる場合も含め, 必ず確定するという点にある. もちろん, 積分値とよぶにふさわしいも
のが確定する. 例えば, 二つの関数f, g が任意の点x で不等式f(x) g(x) を満たすならば, f の
積分値はg のそれ以下になる. 任意の実数値可測関数f は, その正の部分と負の部分への自然な
分解f = f+ - f－ をもつ. f のグラフをかいたとき, 上の方へ出っ張る部分がf+ であり, 下の方
へ出っ張る部分を上下反転させたのがf－ である. f+ とf－ はともに非負値で可測なので, その積
分値が必ず定まる. そして両者の積分値が有限になるとき, f は可積分であるといい, f+ の積分値
からf－ の積分値を引いたものをf の積分値として定義する(f+ とf－ のうち片方だけが積分値
+1 をもつ場合でもf の積分値を+1 または-1 として定めることは可能だろうが, そういう
ものも積分可能であるといってしまうと, そういった関数の和が積分可能でなくなったりして面倒
である). 複素数値の関数の積分については, 実部と虚部に分けて定義すればよい.
リーマン積分との比較.
任意の非負値可測関数に対し,そのルベーグ積分の値が確定する一方,もしそのリーマン(広義)積分が確定するならば,+∞になる場合も含め,二つの積分値は一致する.これにより具体的な関数に対する計算ではリーマン積分が大いに使えるし,ルベーグ積分の値に対してリーマン積分での感覚が通用する(例えば,関数のグラフとx軸が囲む面積が積分値であるなど).非負値でない関数に対しては,定義の都合上,二つの積分の間に微妙な差異が生じることになるが,基本的には関数を正負の部分に分けてゆっくり考えればよい.
つづく
232:１３２人目の素数さん
24/01/27 13:09:56.31 HL7mh5IY.net
つづき
可測集合と測度零の集合.
ユークリッド空間Rdの部分集合Aが可測であるとは,Aの定義関数(すなわち,A上で1になり,Aの外で0になる関数)が可測になるときをいう.
フビニの定理.
これもリーマン積分で経験済みだと思うが,二変数関数を各変数に関して逐次積分するとき,その順序を交換することで計算が進んで,その結果,非自明な等式が得られることがある.また,逐次積分を二変数関数の積分と見なして,後者を極座標など変数変換によって計算し,それを一変数関数の積分の計算に応用できたりもする.これらが可能になるための十分条件を与えるのがフビニの定理である:
Lp空間.二つの可測関数がほとんどすべての点で一致するとき,それらは同値であるということにする. p∈[1,∞)に対し,Rd上の複素数値可測関数fで|f|pが可積分になるようなものを考え,その同値類からなる集合をLp(Rd)とかく.これは自然にC上のベクトル空間になることが示される.
ルベーグ測度とその正則性.
可測集合Aに対し,その定義関数の積分値はAの長さ・面積・体積といったものに相当する(次元dによって呼び名が変わる).これをm(A)とかきAの測度ということにする.可測集合全体の上で定義されるこの関数mのことをRd上のルベーグ測度という.可測関数を定義していないので,可測集合も定義したことになっていないのだが,可測集合についてはさしあたり次の事実を知っておくべきだろう:Rdの任意の可測部分集合Aに対し,m(A)<∞ならば,Aは下からコンパクト集合で,上から開集合で近似できる.つまり,任意のε>0に対し,Rdのコンパクト集合Kと開集合Uが存在して,K⊂A⊂Uかつm(U\K)<εとなる.m(A)=∞であっても,Aに含まれるコンパクト集合で任意の大きさの測度をもつものがとれる.この性質はルベーグ測度mの正則性と呼ばれる.
本来,可測関数のルベーグ積分はルベーグ測度に基づいて定義されるので,ここでの説明とは逆の順序で論理が展開される.ルベーグ積分の定義については適当な教科書を当たってほしい.ただ,このノートの中でルベーグ積分の定義を気にした場面はそれほど多くない.他にもここで述べなかった定理を使うことがあるが,それらは標準的な教科書で見つけられるものである.ルベーグ収束定理とフビニの定理に比較すると,それらを使う機会は稀である.
(引用終り)
以上
233:１３２人目の素数さん
24/01/27 13:13:09.85 HL7mh5IY.net
>>231
>第0講ルベーグ積分 引用の最後
>「本来,可測関数のルベーグ積分はルベーグ測度に基づいて定義されるので,ここでの説明とは逆の順序で>論理が展開される」
>これが ”オチ”かよｗ
>木田良才先生は、関西人だな
追伸
・この 第0講ルベーグ積分 は、秀逸だよ
・短い中に、ルベーグ積分・ルベーグ測度の真髄がつまっている
・これを読んで、必要により ルベーグ積分・ルベーグ測度を学べば、理解が早い
234:１３２人目の素数さん
24/01/27 14:26:12.95 HL7mh5IY.net
畳み込み
英 Visual explanation が面白い
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Convolution
Visual explanation
Historical developments
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
畳み込み
歴史
235:１３２人目の素数さん
24/01/27 14:48:57.31 8mu8mYo+.net
>>227
>その”反日”は、…
どこの人間でも自国自慢は愚弄嘲笑する
君がニホンザルだから私の愚弄嘲笑の対象が日本と誤解したまで
>ところで、支配側の人と被支配側との、二分法が正しいかどうかだ
二分法を唱えたつもりはないが、
例えば所得やら資産やらの一人あたり平均値を求めて
それより上か下かで分けてもいいよ
分布の形からいって半々ではなく
上の人が少なく下の人が多い
>例えば、東大数学科から日銀総裁になった植田和男氏は 支配側の人？
然り 所得額はあきらかに平均より上だろう
>いま100人の村で考えよう。100人全員数学者では村は成り立たないｗ
はっきりいえば100人しかいないなら数学者は1人も要らないｗ
数学者は余計者なのだよ
>農業の人、商売人、警察官、医者・・ いろんな人が居て、村が成り立つ
警察官は要らないな 医者も要らんだろう
>村を大きくすれば市になり、もっと大きくすれば国になる
>みんなで、国を支えているんじゃないですか？
負担が同じではない 利益も同じではない
負担が大きいのに利益が小さい者がたくさんいる
負担が小さいのに利益が大きい者がいる
国家というのは後者が前者を働かせて儲けるためのシステム
人が生きていくのに国なんか要らん
236:１３２人目の素数さん
24/01/27 14:56:38.36 8mu8mYo+.net
>>228
>違うな ”説明した”ではなく、”証明した”だ
なお悪いなｗ
>社会で現実に起こっていることを議論するとき、
>たいていは なんらかの単純化が必要です
単純化が必要、ならば、単純化が正しい、といえるか？
いえるわけはない
単純化が正しいといえるのは、そこから導いた結論が現実と整合する場合だけ
いいかね、世の中は数学ではないのだよ
公理から演繹した定理だから「正しい」とはいえない
経済学とかいう学問は、どうもそのことを忘れて
「経済数学」とかいう珍奇なものを発明したようだが
>その議論が正しいかどうかは、時間が経ってみないとわからない（神のみぞ知る）
君の説は３秒で誰でも誤りと分かるがね まあ君からみれば世間の人はみな神だなｗ
>その類いで、確率論を笑いのネタに使いました
君の理解する「確率論」が高校レベルってことがよくわかった
まあ、なんであれ君が自分の言葉で語った数学で
大学レベルのものなど一つもなかったが
237:１３２人目の素数さん
24/01/27 14:59:13.62 8mu8mYo+.net
>>229
>そこ、19～20歳のガロアが考えて、
>シュバリエへの手紙で遺書として残したってことに
>「カルチャーショック」を受けてくれ
君は下らないことに「カルチャーショック」を受けるんだね（呆れ）
238:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:05:55.22 8mu8mYo+.net
>>233
>この 第0講ルベーグ積分 は、秀逸だよ
>短い中に、ルベーグ積分・ルベーグ測度の真髄がつまっている
>これを読んで、必要により ルベーグ積分・ルベーグ測度を学べば、理解が早い
君は、自分が理解できてないとコピペで誤魔化す
しかもまっさきに安直な方法にすがる
一番ダメなやつだな
239:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:06:17.89 HL7mh5IY.net
>>203
>（リーマン積分でも ”測度”は当然使っていますが、”測度”という意識が無かっただけとか 藤田博司先生（愛媛大）が何かに書かれていました）
下記だった気がする
”2.3 リーマン積分 2.4 積分可能性をめぐる混乱”
辺り
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.tenasaku.com)
『「集合と位相」をなぜ学ぶのか―数学の基礎として根づくまでの歴史』
藤田 博司 著
技術評論社 2018年 3月19日
第2章 積分の再定義
2.3 リーマン積分
2.4 積分可能性をめぐる混乱
URLﾘﾝｸ(www.)アマゾン
「集合と位相」をなぜ学ぶのか ― 数学の基礎として根づくまでの歴史 単行本（ソフトカバー） – 2018/3/6 藤田 博司 (著) 技術評論社
書評
目玉焼き
5つ星のうち4.0 数学の基礎概念の歴史を交えた”教科書ではない”解説書
2018年3月21日
内容は「商品の説明」にチャプターの題があるので軽く。
１章から３章で、１８世紀～１９世紀頃の解析学が抱えていた問題点から実数や関数概念が整備されていく様子を語っています。
４章で、集合についての形式的な導入があり、基礎論に深入りしない程度に基本的で、普通の数学を記述するにも概ね充分と言える範囲で集合の概説をします。終わりに「濃度の相等」の概念から５章の話題に自然に繋げています。
５章では、位相の初歩を、６章では、測度論の初歩を話題にしています。
７章で、ユークリッドの原論の手法からブルバキの構造の視点までの大きな流れを話題にもってくることで、集合概念がもたらした変化を語っています。
教科書的で合理的な順序をなぞらず、集合論がなかった時代に大先輩たちが漠然と突き当たっていた解析の諸問題と歴史的経緯を絡めながら集合や位相の基本を語っています。
この本を手にとることで、学生にとって数学が思っていた以上に血の通った世界であったと感じられるきっかけになるかと思います。
つづく
240:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:06:37.66 HL7mh5IY.net
つづき
Kuto
5つ星のうち5.0 「集合と位相」を学ぶ前に読みたい本
2022年10月28日
対象読者
大学の数学科での「集合と位相」を学ぶ人
「集合と位相」は抽象的で学ぶ理由も目的地も漠然としている、と学び始めた人は感じます。「なぜ、これを学ぶのか？」と。
この本は「集合と位相」という分野が整理、成立されるまでの数学者の研究の軌跡を描いています。数学的な厳密さと論理をもって。
「集合と位相」を学ぶ前に読みたい本としておススメします。
もなくゎ
5つ星のうち5.0 教科書ではありませんが
2018年3月22日
まえがきにもありましたが、本書は教科書ではありません。
しかし、集合と位相を学ぶ上での心構えを伝えてくれる（「そうか、だから君たちは学んでおくべきなんだね」と分からせてくれる）よい本だと思います。
自分は集合と位相に詳しいとはまだ言えませんが、ある程度の用語は知っていたので、特に躓くこともなく読み切ることができました。もちろん知らないことも多く出てきましたが、説明はあるので特に困りませんでした。
ストーリー仕立てで進む本書は、人物コラムも挿みながら数学の歴史を紐解いていってくれます。
自分が本書で特に評価したいのは、記号への配慮です。
逆写像と逆像の記法が区別されていたり、また複数の記法があるものに関して「こういうのもあるし、こういうのもある。うちではこうね」と注意書きがあったり（もちろんこんな口調で書かれてはいませんが）と、記号への配慮による読者への配慮が、極めて強く感じられました。文章もよく練られていて読みやすかったです。
あと、個人的に本書のミントグリーン？的な色合いが好きです。
このような読み物が増えると、数学に親しみを覚えてくれる人も増えてくれるかなあと思います。
(引用終り)
以上
241:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:14:11.57 HL7mh5IY.net
>>237
>>そこ、19～20歳のガロアが考えて、
>>シュバリエへの手紙で遺書として残したってことに
>>「カルチャーショック」を受けてくれ
>君は下らないことに「カルチャーショック」を受けるんだね（呆れ）
・以前、ラグランジュの分解式＝ガロワ理論と錯覚していたアホがいたけど
そいつが、数学科出身と聞いて「カルチャーショック」を受けたよｗ
・君は>>224『むしろ第二段階で
「部分群による左同値類と右同値類が同じになるとは限らない？
で、同じになる場合は、同値類同士の演算が群を為す？
おお、なるほど！数学ってこんな”細かいこと”まで考えてるんですね！
で、これ何に使うんですか？」
というのが「カルチャーショック」』
というが、それは
ガロア20歳の遺稿（シュバリエへの手紙）そのものってことさ>>229
まあ、落ちこぼれには分からないだろうさｗ
242:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:21:00.19 8mu8mYo+.net
>>241
>以前、ラグランジュの分解式＝ガロワ理論と錯覚していたアホがいたけど
君の記憶は、君の都合で改変されるねｗ
「代数方程式の解がベキ根で表せることとラグランジュの分解式で解けることは同値」
といった人がいるのは知っているし、それは正しい
>（正規部分群について）
>それはガロア20歳の遺稿（シュバリエへの手紙）そのもの
だから何なんだろう？
そもそももっと驚くべき結果についても述べてたと思うがな
そこか理解できないので割愛？ 君は本当にわかりやすいね
243:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:27:43.79 8mu8mYo+.net
さて、シキタカK君に問題
（初級）リーマン積分の定義を書け
（中級）いかなる関数がリーマン可積分かその条件を書け
（上級）ルベーグ積分の定義およびルベーグ可積分の条件を書け
さらにリーマン可積分でないがルベーグ可積分な関数を１つ挙げ
そのことをリーマン可積分の条件及びルベーグ可積分の条件に照らして示せ
最初の２問は大学１年の微分積分学を理解していれば答えられる
最後の１問もルベーグ積分を理解していれば答えられる
ま、頑張ってｗ
244:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:27:45.01 HL7mh5IY.net
>>236
>>社会で現実に起こっていることを議論するとき、
>>たいていは なんらかの単純化が必要です
>単純化が必要、ならば、単純化が正しい、といえるか？
例えば、ニュートン力学では
物体の運動を、質点というもので考える
しかし、実際の物体は大きさを持つから、質点はあくまで現実を単純化したものです！！
すべからく、現実に対しての理論を考えるとき、なんらかの単純化をした方が
理論的には、取り扱い易くなるのです
これは、囲碁でいう”常用の筋（スジ）”というやつですよｗ
>大学レベルのものなど一つもなかったが
あれあれ？ｗ >>203 一般関数 英語ではgenerallized function 「線形位相空間と一般関数 共立数学講座16」山中健
完全にスルーかよ シュワルツの超函数論、佐藤 hyperfunction 壊滅かな
245:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:31:29.13 8mu8mYo+.net
>>244
ニュートン力学の単純化が「正しい」とされたのは
当時の実験結果と整合したから
しかし、より精密な実験では整合しなくなった
マイケルソン＝モーリーの実験のことだけどな
＞あれあれ？一般関数 完全にスルーかよ
シキタカK君、自分の言葉で何一つ説明できてないのでノーカウント
ま、君が積分分かってるかどうか、
>>243の答えで判定してあげるから
頑張ってｗ
246:１３２人目の素数さん
24/01/27 15:32:38.44 8mu8mYo+.net
243は文字小さいので再書き込みｗ
さて、シキタカK君に問題
（初級）リーマン積分の定義を書け
（中級）いかなる関数がリーマン可積分かその条件を書け
（上級）
１ ルベーグ積分の定義およびルベーグ可積分の条件を書け
２ さらにリーマン可積分でないがルベーグ可積分な関数を１つ挙げ
そのことをリーマン可積分の条件及びルベーグ可積分の条件に照らして示せ
最初の２問は大学１年の微分積分学を理解していれば答えられる
最後の１問もルベーグ積分を理解していれば答えられる
ま、頑張ってｗ
247:１３２人目の素数さん
24/01/27 20:13:53.56 HL7mh5IY.net
>>245
>ニュートン力学の単純化が「正しい」とされたのは
>当時の実験結果と整合したから
>しかし、より精密な実験では整合しなくなった
>マイケルソン＝モーリーの実験のことだけどな
分かってないな
・君は、論理の首尾一貫性の貫徹が弱いね
それじゃ数学は、出来ないだろうな
・そもそも>>244”物体の運動を、質点というもので考える
しかし、実際の物体は大きさを持つから、質点はあくまで現実を単純化したものです！！”
だった
・これに対して、「マイケルソン＝モーリーの実験」は、特殊相対性理論の範囲だから
”実際の物体は大きさを持つ→質点近似”
は、なお有効です
・しかし、一般性相対性理論では、質点近似が不適切になる場合は多い
質点近似で、大きさの無い１点に質量が集中するという近似は
一般性相対性理論では特異点になるから、ブラックホールなどを考える必要が出てくる
(参考)
URLﾘﾝｸ(www.oit.ac.jp)
岩手大学 2021年度「現代物理学１（後半）」集中講義 2022年2月 version3(2022-0219)
相対性理論 アインシュタインはどこまで正しいのか真貝寿明（大阪工業大学）URLﾘﾝｸ(www.oit.ac.jp)
本講義では，相対性理論とその検証にまつわる技術を紹介する． 理学的な視点としては，Einsteinの導いた2つの相対性理論（特殊相対性理論と一般相対性理論）の概略，およびそれらが導くブラックホールや重力波の問題を概観する．
248:１３２人目の素数さん
24/01/27 20:53:20.71 HL7mh5IY.net
一つ質問に答えると、味をしめて 新たに二つ質問が
それに答えると、また味をしめて 新たに二つ三つ質問が
・
・
・
そしてエンドレスになる
見えているじゃんｗ
その手には
乗りませんよｗｗ
249:１３２人目の素数さん
24/01/27 21:38:34.35 bKK5TuJm.net
一つも答えてない輩の言う台詞じゃないな
250:１３２人目の素数さん
24/01/27 22:58:58.03 l3IhlFhD.net
>>248
247と249は
スルーしてよい
251:１３２人目の素数さん
24/01/28 06:43:26.15 DigaRTeo.net
>>248
>一つ質問に答えると、味をしめて 新たに二つ質問が
>それに答えると、また味をしめて 新たに二つ三つ質問が
>そしてエンドレスになる 見えているじゃん
>その手には乗りませんよ
>>249
>一つも答えてない輩の言う台詞じゃないな
まったくだ
完璧に答えれば次の質問はない
次の質問があるのは答えがまずいから
要するに自ら答えられないって白状してんじゃん
252:１３２人目の素数さん
24/01/28 06:49:08.80 DigaRTeo.net
>>246
＞（初級）リーマン積分の定義を書け
積分区間を、任意の小区間の集まりに細分し、その中からそれぞれ１点をとる
その１点での関数の値と小区間の長さを掛けた値の和をとる
小区間の細分によって、和の値がある値に収束するとき、
その収束値が関数の区間でのリーマン積分の値である
（収束の定義にはもちろん小区間の長さの最大値δと範囲εに関するε‐δ論法を使う）
253:１３２人目の素数さん
24/01/28 06:58:20.85 DigaRTeo.net
>>246
＞（中級）いかなる関数がリーマン可積分かその条件を書け
実は252でリーマン可積分の条件書いちゃったので、
同値な条件を一つ書いておく
R^n の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → R に対し、
f が I 上リーマン可積分であることと、
f がほとんど至るところ連続であること（※）は同値
（※ f の不連続点全体の集合が零集合）
254:１３２人目の素数さん
24/01/28 07:03:38.26 DigaRTeo.net
>>246
（上級）問題は残しておくわｗ
ただ、リーマン可積分でない関数の例だけ示してあげるねｗ
区間[0,1]について有理数の点で0、無理数の点で1となる関数
これは区間の至るところで不連続なのでリーマン可積分でない
一方以下の関数はリーマン可積分である
区間[0,1]について有理数の点で1-1/n (nは既約分数の分母)、無理数の点で1となる関数
なぜなら、有理数点では不連続だが、無理数点では連続だから
255:１３２人目の素数さん
24/01/28 07:14:12.83 DigaRTeo.net
余談だけどリーマン積分は実は「ルベーグ式」にも定義できる
その場合、測度をルベーグ測度ではなく別の”測度”にする
さてその”測度”とは何で、ルベーグ測度とは何が違うでしょう？
ルベーグ可測だがその”測度”では非可測な集合の例は？
（ヒント >>254）
256:１３２人目の素数さん
24/01/28 09:30:36.88 /f7wCbMr.net
>>254
>区間の至るところで不連続なのでリーマン可積分でない
これの証明を３行以内で述べよ
257:１３２人目の素数さん
24/01/28 09:51:56.76 CwYPAyWB.net
pを素数としn=p-1とおく。
[0,1]をn等分し左から順にΔkとする。
各Δkに分母がpの既約分数がちょうどひとつずつあるのでそれをXkとする。
一方各Δkから無理数Ykを選んでおく
Σf(Xk)|Δk| = p(1-1/p)/(p-1)
Σf(Yk)|Δk| = 0
258:１３２人目の素数さん
24/01/28 10:18:39.70 DigaRTeo.net
>>256
リーマン可積分なら253で述べた通りほとんど至るところで連続である
一方、至るところで不連続といってる、これは矛盾である
したがってリーマン可積分でない ほら三行でいえた
259:１３２人目の素数さん
24/01/28 11:27:56.77 DigaRTeo.net
ちなみに>>253の証明なら以下
ほとんど至るところで連続
⇔ほとんど至るところの点を含むδ以内の区間でその中での関数の値の差がε以内になるようなものがとれ
δを小さくすればするほどその区間の合計の長さが元の区間の長さに収束する
⇔リーマン可積分
260:１３２人目の素数さん
24/01/28 19:32:26.96 /f7wCbMr.net
>>259
不明確
261:１３２人目の素数さん
24/01/28 22:28:18.67 CwYPAyWB.net
>>259
kwsk
リーマン可積分⇒微分可能でない点の集合が測度０
の方がわからん
262:１３２人目の素数さん
24/01/28 22:41:25.37 woJqKGbY.net
>>259-260
なるほど
某Ｎ大Ｏゼミか
”大学数学ゼミ、かくあるべし”！
そう主張していた人が居たねｗ
ツッコミが有って本望だろう
頑張れよ
263:１３２人目の素数さん
24/01/29 05:39:10.75 /E26NdWV.net
>>260 その指摘が不明確かと
264:１３２人目の素数さん
24/01/29 05:42:43.68 /E26NdWV.net
>>261
区間[0,1]について有理数の点で0、無理数の点で1となる関数、は至る所不連続
区間[0,1]について有理数の点で1-1/n (nは既約分数の分母)、無理数の点で1となる関数、はほとんど全ての点（無理数点）で連続
なのは、わかる？
265:１３２人目の素数さん
24/01/29 05:50:37.58 /E26NdWV.net
>>262
そういう君に問題
以下の関数のどれがリーマン可積分、ルベーグ可積分かわかる？
１．区間[0,1]のうち２進数でｎ桁以内の有限小数の点で０、それ以外で１
２．区間[0,1]のうち２進数で有限小数の点で０、それ以外で１
３．区間[0,1]のうち点０と２進数で無限小数の点で、
差が有限小数という同値関係を入れた場合の同値類の代表となる場合１
その他の点で０
266:１３２人目の素数さん
24/01/29 07:58:17.77 2Tor3z84.net
>>261-263
>>>260 その指摘が不明確かと
やれやれ、日wikipediaに書いてあることを自慢して
ちょっとツッコミあると沈没か？ｗ
さて
リーマン可積分⇒微分可能でない点の集合が測度０
↓
リーマン可積分⇒連続でない点の集合が測度０
ですな
"R^n の有界閉区間 I 上の有界関数 f: I → R に対し、
f が I 上リーマン可積分であることと、
f がほとんど至るところ連続であること（※）は同値
（※ f の不連続点全体の集合が零集合）"
だったね
これの証明は、下記の英wikipediaにある
（Integrability 可積分性条件 the Lebesgue-Vitali theorem な）
(参考)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Riemann integral
Integrability
A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions). It has been proven independently by Giuseppe Vitali and by Henri Lebesgue in 1907, and uses the notion of measure zero, but makes use of neither Lebesgue's general measure or integral.
The integrability condition can be proven in various ways,[4][5][6][7] one of which is sketched below.
Proof
The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition.
One direction can be proven using the oscillation definition of continuity:[8] For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε. Since every point where f is discontinuous has a positive oscillation and vice versa, the set of points in [a, b], where f is discontinuous is equal to the union over {X1/n} for all natural numbers n.
つづく
267:１３２人目の素数さん
24/01/29 07:58:35.71 2Tor3z84.net
つづき
If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure. Thus there is some positive number c such that every countable collection of open intervals covering X1/n has a total length of at least c. In particular this is also true for every such finite collection of intervals. This remains true also for X1/n less a finite number of points (as a finite number of points can always be covered by a finite collection of intervals with arbitrarily small total length).
For every partition of [a, b], consider the set of intervals whose interiors include points from X1/n. These interiors consist of a finite open cover of X1/n, possibly up to a finite number of points (which may fall on interval edges). Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.
We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] For every ε, Xε is compact, as it is bounded (by a and b) and closed:
For every series of points in Xε that is converging in [a, b], its limit is in Xε as well. This is because every neighborhood of the limit point is also a neighborhood of some point in Xε, and thus f has an oscillation of at least ε on it. Hence the limit point is in Xε.
Now, suppose that f is continuous almost everywhere. Then for every ε, Xε has zero Lebesgue measure. Therefore, there is a countable collections of open intervals in [a, b] which is an open cover of Xε, such that the sum over all their lengths is arbitrarily small. Since Xε is compact, there is a finite subcover – a finite collections of open intervals in [a, b] with arbitrarily small total length that together contain all points in Xε. We denote these intervals {I(ε)i}, for 1 ≤ i ≤ k, for some natural k.
The complement of the union of these intervals is itself a union of a finite number of intervals, which we denote {J(ε)i} (for 1 ≤ i ≤ k － 1 and possibly for i = k, k + 1 as well).
つづく
268:１３２人目の素数さん
24/01/29 07:58:50.16 2Tor3z84.net
つづき
We now show that for every ε > 0, there are upper and lower sums whose difference is less than ε, from which Riemann integrability follows. To this end, we construct a partition of [a, b] as follows:
Denote ε1 = ε / 2(b － a) and ε2 = ε / 2(M － m), where m and M are the infimum and supremum of f on [a, b]. Since we may choose intervals {I(ε1)i} with arbitrarily small total length, we choose them to have total length smaller than ε2.
Each of the intervals {J(ε1)i} has an empty intersection with Xε1, so each point in it has a neighborhood with oscillation smaller than ε1. These neighborhoods consist of an open cover of the interval, and since the interval is compact there is a finite subcover of them. This subcover is a finite collection of open intervals, which are subintervals of J(ε1)i (except for those that include an edge point, for which we only take their intersection with J(ε1)i). We take the edge points of the subintervals for all J(ε1)i － s, including the edge points of the intervals themselves, as our partition.
Thus the partition divides [a, b] to two kinds of intervals:
Intervals of the latter kind (themselves subintervals of some J(ε1)i). In each of these, f oscillates by less than ε1. Since the total length of these is not larger than b － a, they together contribute at most ε∗
1(b － a) = ε/2 to the difference between the upper and lower sums of the partition.
The intervals {I(ε)i}. These have total length smaller than ε2, and f oscillates on them by no more than M － m. Thus together they contribute less than ε∗
2(M － m) = ε/2 to the difference between the upper and lower sums of the partition.
In total, the difference between the upper and lower sums of the partition is smaller than ε, as required.
(引用終り)
以上
269:１３２人目の素数さん
24/01/29 08:07:05.92 2Tor3z84.net
補足
>Proof
>The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition.
”the Darboux integral definition of integrability”は、日wikipediaにも説明あるよ
もちろん、英wikipediaにも詳しい説明がある（下記）
(参考)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リーマン積分
類似概念
リーマン積分の定義によく用いられるのがダルブー積分である。これは、ダルブー積分が技術的に単純で、リーマン可積分性とダルブー可積分性が同値になることによる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Darboux integral
In the branch of mathematics known as real analysis, the Darboux integral is constructed using Darboux sums and is one possible definition of the integral of a function. Darboux integrals are equivalent to Riemann integrals, meaning that a function is Darboux-integrable if and only if it is Riemann-integrable, and the values of the two integrals, if they exist, are equal.[1] The definition of the Darboux integral has the advantage of being easier to apply in computations or proofs than that of the Riemann integral. Consequently, introductory textbooks on calculus and real analysis often develop Riemann integration using the Darboux integral, rather than the true Riemann integral.[2] Moreover, the definition is readily extended to defining Riemann–Stieltjes integration.[3] Darboux integrals are named after their inventor, Gaston Darboux (1842–1917).
Definition
略
270:１３２人目の素数さん
24/01/29 09:37:37.61 2GVFwqXV.net
>>266-269 それ日本で要約して書いてみ
271:１３２人目の素数さん
24/01/29 10:41:46.50 F9Ii6wqO.net
>>270
>>>266-269 それ日本で要約して書いてみ
面白い漫才師だな
するりとうまく「体を入れ替える」話法ねｗ
下記は、君が”大学数学ゼミ、かくあるべし”！>>262
と主張していたことだよ
で、そのしたり顔の主張をつぶしに行ったのが、私です
”定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
そういうところを素通りするのは数学の本の読み方として根本的に誤っています．”
のところだが、一見道理だが河東泰之氏の主張は 彼の実際の勉強法と乖離している（下記）
河東氏は、麻布中入学後「数学の本はわかってもわからなくても手当たり次第に読んだ」
「このころ一番難しくてわからないと思った本は，ヘルマンダー「多変数複素解析学入門」だった」という
思うに、理解というのは 多少分からないところがあっても、先に進むと分かるときがある
逆に、先に進まないと分からないことも多い
しかし、セミナーの進め方としては、それらを全部ひっくるめて”準備してこい”ってことでしょう
普段の勉強とセミナーの準備を混同して主張するやつがいるから、それを潰しに行ったのです ；ｐ）
(参考)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:11番)-18
河東泰之「セミナーの準備のしかたについて」は本当に正しいのか？
>まず，当然書いてあることを理解することが第一歩です．
>黙って「何々である」とか，"It is easy to see...", "We may assume that...", "It is enough to show..."などと書いてあるのは
>すべて，なぜなのか徹底的に考えなくてはいけません．
>また自分の知らない定理や定義を使っているところがあれば当然，調べたり聞いたりしなくてはいけません．
>定義や定理を知らなければそこの部分が理解できないに決まっているんですから，
>そういうところを素通りするのは数学の本の読み方として根本的に誤っています．
そういう修行はまっぴら御免という人は
数学科に入って数学者になろうなんて思うのが間違いだよ
要は数学が分かりたくて数学科に入ったんだろうということ
別に全然分からんでもいいと諦めても結構だが
そういうことなら即刻転科しな
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
履歴書（非公式版） (5/1/2019)
1975年3月 私立麻布中学入学
このころは，数学の本はわかってもわからなくても手当たり次第に読んだ． 今に影響してるのは，Rudin "Functional Analysis", Arveson "An invitation to C*-Algebras", 斎藤正彦「超積と超準解析」，シュヴァルツ「位相と関数解析」など． 岩波「基礎数学」，ブルバキ「数学原論」(日本語訳)も当時出はじめたので買って読んだ． 数学セミナーも1年生の時から熱心に読んで，「エレガントな解答を求む」などをやっていた． このころ一番難しくてわからないと思った本は，ヘルマンダー「多変数複素解析学入門」だった． 友隣社や東大数学科の図書館にもこのころ行った．東大教養の自主セミナーでやっていた， "Topology from the differentiable viewpoint" (Milnor)にも出た．
272:１３２人目の素数さん
24/01/29 10:48:03.51 2qHwHFEV.net
>>271
>したり顔の主張をつぶしに行ったのが、私です
他人の文章のコピペじゃ、つぶせないけど
例えば>>259が要約でないというなら、何が決定的に足りないか示せば？
ダルブー積分が何だか分かってますか？定義確認してます？
>普段の勉強とセミナーの準備を混同して主張するやつがいるから、それを潰しに行ったのです
なんでそんなことでムキになるのかわからんけど
潰しに行ったとかいって、わけもわからず他人の文章コピペしてすましてたら
そりゃこういわれますよ
「で、要点は何？」
273:１３２人目の素数さん
24/01/29 10:48:24.33 ZP2RUSu3.net
麻布の出身では昔は
中村という先生が有名だった
274:１３２人目の素数さん
24/01/29 10:51:58.35 ZP2RUSu3.net
一高での数学の記憶と言えばやはり例の「事件」であろう。
それはメンゲこと田中正夫先生がレポート問題として出した、
「円環を平面で斜めに上手に切ると切り口が２つの相交わる円になることを示せ」という問題である。
私はそれを「真面目に」計算して、それでも一工夫を加えて、
田中先生のご著書「立体解析幾何学」によるものよりはかなり短い証明を得て満足していた。
ところが中村得之君はそれをベクトルを使って解き、
数行ですむ簡潔な解を示して、『これでいいんだよ』と言った。
僕は論理的には解っても情緒的にはあまり解った気がしなかった。
そこで私は自分には数学の才能がないことを悟って数学科を諦め、
才能がなくてもつぶしがききそうな物理学科を選んだ。 もっとも、
数学科へ進んだ中村君は後で『数学科で君と一緒でライバルになるのは困るなと思っていた』と言ってくれた。
275:１３２人目の素数さん
24/01/29 11:08:20.39 oZlKMp+8.net
>>271
>するりとうまく「体を入れ替える」話法
それをやろうとしたのは ID:F9Ii6wqO
でも他人の文章のコピペでごまかそうとしたのが失敗
ゼミで問われているのは、どこかのだれかの理解ではなく説明者自身の理解
そこが、まだわかってないみたいだね わけもわからずレスバに勝ちたいだけの人には
276:１３２人目の素数さん
24/01/29 11:16:49.79 0ceLSWdy.net
>>274
「「解析概論」では第１章練習問題(4)
「 x が無理数ならば f(x)=0、x=p/q が有理数（ p/q は既約分数で、q＞0 ）ならば f(x)= 1/q とする。
このようにして区域 ｘ＞0 において定義された函数 f(x) の連続性はどうであるか」
（文章は改訂第三版による）という問題が気に入った。
[解]は ｘ が有理数ならば x において不連続、ｘ が無理数ならば x において連続である。
私はこの関数のグラフを頭の中でイメージし、そのイメージをもとに ε-δ 論法で証明を組み立てた。
そして数学とはこういうものであるといたく感激した。」
この人は分かってるよ
分かってない人はグラフを描いて、そのあとなんも考えずにこういう
「いたるところで不連続」
ε-δ による連続性の定義が分かってなく、そもそも分かる気もない人の典型
積分でも同じことがいえる
上記の関数はリーマン可積分です
では、以下の関数は？
「xが有理数のとき１ 無理数のとき０」
277:１３２人目の素数さん
24/01/29 11:34:51.05 ZP2RUSu3.net
>>276
261へのレスは？
278:１３２人目の素数さん
24/01/29 11:49:05.89 2qHwHFEV.net
>>277
>>261の訂正は？
279:１３２人目の素数さん
24/01/29 12:41:17.99 ZP2RUSu3.net
>>278
261でないので代わりに訂正
>>259
kwsk
リーマン可積分⇒微分可能でない点の集合が測度０
の方がわからん
訂正
微分可能ーー＞連続
280:１３２人目の素数さん
24/01/29 12:58:59.63 BYlciRP1.net
>>279 ご苦労様
259ではないが、259のどこが問題なんだろう？
281:１３２人目の素数さん
24/01/29 14:22:10.91 +GqtUDRE.net
つまり主張は
Riemann可積分 ⇔ 連続でない点の(Lebesgue?)測度0
証明kwsk
282:１３２人目の素数さん
24/01/29 15:35:33.27 2GVFwqXV.net
>>281
>Riemann可積分 ⇔ 連続でない点の(Lebesgue?)測度0
Riemann可積分 ⇔ 連続でない点のLebesgue測度0
逆に言えば、不連続点のLebesgue測度が0より大きいとき、そのときに限りRiemann可積分でない、ってことだね
Darboux積分で上積分と下積分の差をある限界より小さくできない障害は不連続点
その測度が0でない場合は区分をいくら小さくしても上積分と下積分の差が0に収束させることができない
283:１３２人目の素数さん
24/01/29 20:50:26.35 GSuzGfk/.net
>>282
>その測度が0でない場合は区分をいくら小さくしても上積分と下積分の差が0に収>束させることができない
これは測度の定義からすぐ出せますか？
284:１３２人目の素数さん
24/01/29 21:26:10.19 /E26NdWV.net
>>283 ジョルダン外測度、ジョルダン内測度を用いる
285:１３２人目の素数さん
24/01/30 06:58:20.53 +E0UF9j4.net
>>284
測度の定義をきいたのではないよ
286:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:23:04.29 0O1eEeBq.net
>>283
>>その測度が0でない場合は区分をいくら小さくしても上積分と下積分の差が0に収束させることができない
>これは測度の定義からすぐ出せますか？
カンニングですが、下記ですね
（>>266より再録）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Riemann integral
Integrability
A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions). It has been proven independently by Giuseppe Vitali and by Henri Lebesgue in 1907, and uses the notion of measure zero, but makes use of neither Lebesgue's general measure or integral.
The integrability condition can be proven in various ways,[4][5][6][7] one of which is sketched below.
Proof
The proof is easiest using the Darboux integral definition of integrability (formally, the Riemann condition for integrability) – a function is Riemann integrable if and only if the upper and lower sums can be made arbitrarily close by choosing an appropriate partition.
One direction can be proven using the oscillation definition of continuity:[8] For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε. Since every point where f is discontinuous has a positive oscillation and vice versa, the set of points in [a, b], where f is discontinuous is equal to the union over {X1/n} for all natural numbers n.
つづく
287:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:23:57.32 0O1eEeBq.net
つづき
If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure. Thus there is some positive number c such that every countable collection of open intervals covering X1/n has a total length of at least c. In particular this is also true for every such finite collection of intervals. This remains true also for X1/n less a finite number of points (as a finite number of points can always be covered by a finite collection of intervals with arbitrarily small total length).
For every partition of [a, b], consider the set of intervals whose interiors include points from X1/n. These interiors consist of a finite open cover of X1/n, possibly up to a finite number of points (which may fall on interval edges). Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.
We now prove the converse direction using the sets Xε defined above.[9] ・・
(引用終り)
＜補足＞
１）Proofで、Darboux integral URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
に持ち込むのが、定石のようです
Darboux integralを見ると、"supとinf" URLﾘﾝｸ(manabitimes.jp) 高校数学の美しい物語 sup(上限)とinf(下限)の意味，max・minとの違い 2022/08/15
この"supとinf"は、数学では常用の手筋ですね
２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zero→Darboux integral 不可」ですね
背理法ですね。”If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure.”
３）そして、測度0でなければ
”Thus these intervals have a total length of at least c. Since in these points f has oscillation of at least 1/n, the infimum and supremum of f in each of these intervals differ by at least 1/n. Thus the upper and lower sums of f differ by at least c/n. Since this is true for every partition, f is not Riemann integrable.”
を導きます
このとき、”oscillation ”URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
を使って、不連続の評価をしています。（不勉強で、”oscillation ”は初見でしたが、面白いですね。定石かも）
”For every positive ε, Let Xε be the set of points in [a, b] with oscillation of at least ε.”に続きます
つづく
288:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:24:24.41 0O1eEeBq.net
つづき
この後、We now prove the converse direction は、各自ご参照ください
余談ですが、ある数学者の本の奥付に、囲碁７段格とあって やりすぎと思いましたが
囲碁用語の定石＆手筋で、数学を説明すると 分かりやすい
この方の場合、囲碁も数学の役に立っているのではと思っています ^^)
以上
289:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:30:25.36 0O1eEeBq.net
>>287 訂正
２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zero→Darboux integral 不可」ですね
２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」ですね
290:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:40:54.25 0O1eEeBq.net
>>287-289 補足の補足
>２）上記”One direction”は、「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」ですね
> 背理法ですね。”If this set does not have zero Lebesgue measure, then by countable additivity of the measure there is at least one such n so that X1/n does not have a zero measure.”
えーと、対偶だったな？ (>_<)
「不連続の点の集合がmeasure zeroでない→Darboux integral 不可」
の対偶
「Darboux integral 可 → 不連続の点の集合がmeasure zero 」
で
Darboux integral 可＝Riemann integral 可
ですね
訂正追加か (>_<)
291:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:42:09.36 M4oEAf6o.net
>"supとinf"は、数学では常用の手筋ですね
それだけだとバカでもいえる
supとinfの差を0に近づけられるというのが、常用の手筋
といえばバカでないなとわかる
292:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:47:22.23 M4oEAf6o.net
コピペするからバカにされる
自分の言葉で書けばバカにされない
それ分からない奴は大バカ
293:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:53:58.53 0O1eEeBq.net
>>286 補足追加
>URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>Riemann integral
>Integrability
>A bounded function on a compact interval [a, b] is Riemann integrable if and only if it is continuous almost everywhere (the set of its points of discontinuity has measure zero, in the sense of Lebesgue measure). This is the Lebesgue-Vitali theorem (of characterization of the Riemann integrable functions).
この”A bounded function on a compact interval [a, b]”
「コンパクト区間[ a , b ]上の有界関数」
この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
抜かすと、証明が複雑になる（反例がある？）
294:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:56:19.28 0O1eEeBq.net
>>291-292
漫才師か？ｗ
あんたは、ボケ役なのにｗｗ
必死にツッコミ役やっているｗｗｗ
295:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:56:53.20 0O1eEeBq.net
まあ、”手筋”の意味が分かってないみたいだ
296:１３２人目の素数さん
24/01/30 11:58:16.85 Hz3OOh/7.net
>>293
>”A bounded function on a compact interval [a, b]”
>「コンパクト区間[ a , b ]上の有界関数」
>この有界の条件は、抜かさない方が良いようですね
あんたやっぱり大学入ったことないだろ？ 無知すぎる
297:１３２人目の素数さん
24/01/30 12:18:22.37 0O1eEeBq.net
>>259-260
>ちなみに>>253の証明なら以下
> ほとんど至るところで連続
>⇔ほとんど至るところの点を含むδ以内の区間でその中での関数の値の差がε以内になるようなものがとれ
> δを小さくすればするほどその区間の合計の長さが元の区間の長さに収束する
>⇔リーマン可積分
>
>不明確
>
>kwsk
>リーマン可積分⇒連続でない点の集合が測度０ >>279
>の方がわからん
戻ると
・いま仮に院試の口頭試問だとしましよう
試験官が「不明確」と言ったとする
・そうすると
a)ほとんど至るところを、”（※ f の不連続点全体の集合が零集合）”へ戻さないといけない
b)その上で、命題 PとQ 同値の定石として
P→Q ＆ Q→P の二つに分けて
証明をすること
・これをやらないと、合格点は出ないでしょう
別の試験官も”リーマン可積分⇒連続でない点の集合が測度０”を要求しているでしょ